Autor Tema: ¿Demostración de la conjetura de Goldbach para números grandes?

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18 Abril, 2011, 10:03 am
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bolorsociedad

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Hola, quisiera saber si vale esta demostración para probar la conjetura de Goldbach para números grandes:

Para el que no lo sepa, la conjetura de Goldbach dice lo siguiente:

"Todo número par mayor que 2 se puede expresar como suma de dos números primos"

Bueno, he aquí la "supuesta" demostración:

Spoiler

Un número \( n \) se puede expresar de como suma de dos números entre el 0 y \( n \) de \( \displaystyle\frac{n}{2} \) formas distintas si \( n \) es par. Además, la cantidad de números primos menores que \( n \) es:

\( \pi (n)\sim{\displaystyle\frac{n}{\ln(n)}} \)

Y, a su vez, la cantidad de números primos menores que \( \displaystyle\frac{n}{2} \):

\( \pi (\displaystyle\frac{n}{2})\sim{\displaystyle\frac{n}{2\ln(\displaystyle\frac{n}{2})}} \)

Y los números primos entre \( \displaystyle\frac{n}{2} \) y \( n \) es igual a \( \pi (n) - \pi (\displaystyle\frac{n}{2}) \)

Cada uno de los números primos menores que \( n \) tiene una pareja, que puede ser primo o no, que sumando los dos números da \( n \).

Sea \( p \) un número primo entre \( \displaystyle\frac{n}{2} \) y \( n \). Su pareja será \( n-p \). La probabilidad de que dicho número sea primo es de:

\( \displaystyle\frac{2\pi (\displaystyle\frac{n}{2})}{n} \)

Por lo tanto, la probabilidad de que no ocurra es de:

\( 1-\displaystyle\frac{2\pi (\displaystyle\frac{n}{2})}{n}=\displaystyle\frac{n-2\pi (\displaystyle\frac{n}{2})}{n} \)

Tiene que repetirse tantas veces como primos entre \( \displaystyle\frac{n}{2} \) y \( n \), y luego calculamos la probabilidad de que ocurra:

\( P = 1-\left ( \displaystyle\dfrac{n-2\pi (\displaystyle\dfrac{n}{2})}{n} \right ) ^{\pi (n) - \pi (\displaystyle\frac{n}{2}) \)

Ahora, si hacemos tender \( n \) a infinito:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{1-\left ( \displaystyle\dfrac{n-2\pi (\displaystyle\dfrac{n}{2})}{n} \right ) ^{\pi (n) - \pi (\displaystyle\frac{n}{2})}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{1-\left ( \displaystyle\dfrac{n-2\cdot \displaystyle\frac{n}{2\ln (n/2)}}{n} \right ) ^{\displaystyle\frac{n}{\ln (n)} - \displaystyle\frac{n}{2\ln (n/2)}}=1 \)

Por lo tanto, la probabilidad de que un número relativamente grande "n" sea igual a la suma de dos números primos es igual a 1 cuando n tiende a infinito.
[cerrar]
"El segundo es simplemente el primero de los perdedores"
-- Anónimo

18 Abril, 2011, 12:01 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola, quisiera saber si vale esta demostración para probar la conjetura de Goldbach para números grandes:

Para el que no lo sepa, la conjetura de Goldbach dice lo siguiente:

"Todo número par mayor que 2 se puede expresar como suma de dos números primos"

Bueno, he aquí la "supuesta" demostración:

Spoiler

Un número \( n \) se puede expresar de como suma de dos números entre el 0 y \( n \) de \( \displaystyle\frac{n}{2} \) formas distintas si \( n \) es par. Además, la cantidad de números primos menores que \( n \) es:

\( \pi (n)\sim{\displaystyle\frac{n}{\ln(n)}} \)

Y, a su vez, la cantidad de números primos menores que \( \displaystyle\frac{n}{2} \):

\( \pi (\displaystyle\frac{n}{2})\sim{\displaystyle\frac{n}{2\ln(\displaystyle\frac{n}{2})}} \)

Y los números primos entre \( \displaystyle\frac{n}{2} \) y \( n \) es igual a \( \pi (n) - \pi (\displaystyle\frac{n}{2}) \)

Cada uno de los números primos menores que \( n \) tiene una pareja, que puede ser primo o no, que sumando los dos números da \( n \).

Sea \( p \) un número primo entre \( \displaystyle\frac{n}{2} \) y \( n \). Su pareja será \( n-p \). La probabilidad de que dicho número sea primo es de:

\( \displaystyle\frac{2\pi (\displaystyle\frac{n}{2})}{n} \)

Por lo tanto, la probabilidad de que no ocurra es de:

\( 1-\displaystyle\frac{2\pi (\displaystyle\frac{n}{2})}{n}=\displaystyle\frac{n-2\pi (\displaystyle\frac{n}{2})}{n} \)

Tiene que repetirse tantas veces como primos entre \( \displaystyle\frac{n}{2} \) y \( n \), y luego calculamos la probabilidad de que ocurra:

\( P = 1-\left ( \displaystyle\dfrac{n-2\pi (\displaystyle\dfrac{n}{2})}{n} \right ) ^{\pi (n) - \pi (\displaystyle\frac{n}{2}) \)

Ahora, si hacemos tender \( n \) a infinito:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{1-\left ( \displaystyle\dfrac{n-2\pi (\displaystyle\dfrac{n}{2})}{n} \right ) ^{\pi (n) - \pi (\displaystyle\frac{n}{2})}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{1-\left ( \displaystyle\dfrac{n-2\cdot \displaystyle\frac{n}{2\ln (n/2)}}{n} \right ) ^{\displaystyle\frac{n}{\ln (n)} - \displaystyle\frac{n}{2\ln (n/2)}}=1 \)

Por lo tanto, la probabilidad de que un número relativamente grande "n" sea igual a la suma de dos números primos es igual a 1 cuando n tiende a infinito.
[cerrar]

Hola, Bolorsociedad. ¡¡¡Cierto!!! Pero siento decirte que esa probabilidad ya la demostró Vinogradov (siempre llega uno tarde  :laugh: )

Un cordial saludo.

18 Abril, 2011, 01:16 pm
Respuesta #2

bolorsociedad

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Hola, quisiera saber si vale esta demostración para probar la conjetura de Goldbach para números grandes:

Para el que no lo sepa, la conjetura de Goldbach dice lo siguiente:

"Todo número par mayor que 2 se puede expresar como suma de dos números primos"

Bueno, he aquí la "supuesta" demostración:

Spoiler

Un número \( n \) se puede expresar de como suma de dos números entre el 0 y \( n \) de \( \displaystyle\frac{n}{2} \) formas distintas si \( n \) es par. Además, la cantidad de números primos menores que \( n \) es:

\( \pi (n)\sim{\displaystyle\frac{n}{\ln(n)}} \)

Y, a su vez, la cantidad de números primos menores que \( \displaystyle\frac{n}{2} \):

\( \pi (\displaystyle\frac{n}{2})\sim{\displaystyle\frac{n}{2\ln(\displaystyle\frac{n}{2})}} \)

Y los números primos entre \( \displaystyle\frac{n}{2} \) y \( n \) es igual a \( \pi (n) - \pi (\displaystyle\frac{n}{2}) \)

Cada uno de los números primos menores que \( n \) tiene una pareja, que puede ser primo o no, que sumando los dos números da \( n \).

Sea \( p \) un número primo entre \( \displaystyle\frac{n}{2} \) y \( n \). Su pareja será \( n-p \). La probabilidad de que dicho número sea primo es de:

\( \displaystyle\frac{2\pi (\displaystyle\frac{n}{2})}{n} \)

Por lo tanto, la probabilidad de que no ocurra es de:

\( 1-\displaystyle\frac{2\pi (\displaystyle\frac{n}{2})}{n}=\displaystyle\frac{n-2\pi (\displaystyle\frac{n}{2})}{n} \)

Tiene que repetirse tantas veces como primos entre \( \displaystyle\frac{n}{2} \) y \( n \), y luego calculamos la probabilidad de que ocurra:

\( P = 1-\left ( \displaystyle\dfrac{n-2\pi (\displaystyle\dfrac{n}{2})}{n} \right ) ^{\pi (n) - \pi (\displaystyle\frac{n}{2}) \)

Ahora, si hacemos tender \( n \) a infinito:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{1-\left ( \displaystyle\dfrac{n-2\pi (\displaystyle\dfrac{n}{2})}{n} \right ) ^{\pi (n) - \pi (\displaystyle\frac{n}{2})}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{1-\left ( \displaystyle\dfrac{n-2\cdot \displaystyle\frac{n}{2\ln (n/2)}}{n} \right ) ^{\displaystyle\frac{n}{\ln (n)} - \displaystyle\frac{n}{2\ln (n/2)}}=1 \)

Por lo tanto, la probabilidad de que un número relativamente grande "n" sea igual a la suma de dos números primos es igual a 1 cuando n tiende a infinito.
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Hola, Bolorsociedad. ¡¡¡Cierto!!! Pero siento decirte que esa probabilidad ya la demostró Vinogradov (siempre llega uno tarde  :laugh: )

Un cordial saludo.

¿En serio?

No lo sabía...  :(
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-- Anónimo

18 Abril, 2011, 01:39 pm
Respuesta #3

feriva

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¿En serio?

No lo sabía...  :(

Sí, en serio, lo leí no hace demasiado tiempo, pero no sé decirte dónde; de todas formas busca el nombre de ese matemático ruso en Internet junto al de Goldbach. Recuerdo también, si no me falla la memoria, que fue espía del KGB.

Otro saludo.

18 Abril, 2011, 01:47 pm
Respuesta #4

bolorsociedad

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¿En serio?

No lo sabía...  :(

Sí, en serio, lo leí no hace demasiado tiempo, pero no sé decirte dónde; de todas formas busca el nombre de ese matemático ruso en Internet junto al de Goldbach. Recuerdo también, si no me falla la memoria, que fue espía del KGB.

Otro saludo.

He mirado en Internet y tienes razón, he aquí la demostración:

http://www.matmor.unam.mx/~euba/goldbach.pdf

Qué mala suerte  :-\
"El segundo es simplemente el primero de los perdedores"
-- Anónimo

18 Abril, 2011, 02:24 pm
Respuesta #5

feriva

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He mirado en Internet y tienes razón, he aquí la demostración:

http://www.matmor.unam.mx/~euba/goldbach.pdf

Qué mala suerte  :-\

Ah, pero la de Vinogradov es para la conjetura impar, no para la par, no me acordaba de eso.

Saludos.

18 Abril, 2011, 05:22 pm
Respuesta #6

bolorsociedad

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He mirado en Internet y tienes razón, he aquí la demostración:

http://www.matmor.unam.mx/~euba/goldbach.pdf

Qué mala suerte  :-\

Ah, pero la de Vinogradov es para la conjetura impar, no para la par, no me acordaba de eso.

Saludos.

Eso no importa, ya que una conjetura implica la otra.
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-- Anónimo

18 Abril, 2011, 06:41 pm
Respuesta #7

feriva

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Eso no importa, ya que una conjetura implica la otra.

Hola. Ya no me acuerdo bien. Sí que la par implica la impar, puesto que los pares se descomponen en suma de dos impares, pero no estoy seguro de si ocurría al revés.
 Un saludo más.

No, no la implica, mira este enlace en el que yo, hace ya unos cuantos meses, hice el intento, mira lo que me dijo el_manco. Como verás por lo que planteo ahí, si la débil implicara la fuerte, quedarían demostradas ambas

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,37948.msg152616.html#msg152616

18 Abril, 2011, 07:01 pm
Respuesta #8

bolorsociedad

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Sí que ocurre al revés. De hecho, la carta que envió Goldbach a Euler contando la conjetura solo mencionaba la conjetura con que has mencionado tú (la impar), y fue Euler quien simplificó el problema, dando lugar a la conjetura de Goldbach que se conoce hoy en día (la de "Todo número par mayor que 2 se puede expresar como suma de dos números primos")
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-- Anónimo

18 Abril, 2011, 07:15 pm
Respuesta #9

feriva

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Sí que ocurre al revés. De hecho, la carta que envió Goldbach a Euler contando la conjetura solo mencionaba la conjetura con que has mencionado tú (la impar), y fue Euler quien simplificó el problema, dando lugar a la conjetura de Goldbach que se conoce hoy en día (la de "Todo número par mayor que 2 se puede expresar como suma de dos números primos")

Yo estoy seguro de que la implica, pero existe ese problema, se podría dejar de cumplir la par y seguirse cumpliendo la impar mucho tiempo; ahora, en caso de que se cumpliera una, se cumpliría la otra; cosa que seguro que pasa, aunque no haya una demostración contundente de ello.

22 Abril, 2011, 05:25 pm
Respuesta #10

luchoferronir

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Hola, bolorsociedad, la prueba que pusiste no es válida. Mira en este hilo, donde, curiosamente está la misma demostración que escribiste en tu primer post.

Saludos.