para que no haya dudas con el enunciado, lo pongo entero.
Sea x,y una variable bidimensional, con función conjunta:
\( f(x, y) = \left \{ \begin{matrix} c & 0 < y\le 1-x \le 1
\\ 0 & \mbox{ resto}\end{matrix}\right \)
1) Calcular constante c.
Cogemos\( y=1-x \) y vemos su gráfica. que se mueve sobre la \( x \) entre \( 0 \) y \( 1 \) y la \( y \) se mueve entre \( 0 \) y \( 1 \). se ve un triángulo rectángulo.
entonces, para resolver c, se utiliza:
\( f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dx.dy \)
que sabemos que es 1. De ahí:
\( f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dx.dy = 1 \)
Luego, comentó la profesora que cuando tenemos dos intervalos del tipo:
\( c\displaystyle\int_{0}^{1 - y}\displaystyle\int_{0}^{1-x}dy.dx \)
Se toma uno solo como incógnita:
\( \displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\int_{0}^{1-x} c.dy.dx = 1 \)
cosa que no entiendo, porque si al dibujar la gráfica hemos visto que tanto\( x \) como \( y \) se mueven en el intervalo (0,1)
¿Por qué no se utilizan estos intervalos? y si no se utilizan los dos, ¿Por qué solo se pone a uno como \( 1-x \)?
Cosa que no veo clara... A mí me dijeron que si yo tengo una integral así:
\( f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dx.dy = 1 \)
la primera integral pertenecía al intervalo de la \( x \) y la segunda integral al intervalo de la \( y \). por eso se pone \( dx \) \( dy \). Así a la hora de resolverlo se integra en función de \( dx \) con el intervalo de la \( y \) y en función de \( dy \) con el intervalo de la \( x \)
lo que está haciendo con esto:
\( c\displaystyle\int_{0}^{1 - y}\displaystyle\int_{0}^{1-x}dy.dx = 1 \)
es integrar la \( y \) con su propio intervalo y la \( x \) con su propio intervalo también...
La solución es \( c=2 \) pero sigue sin quedarme claro esto último que te he comentado...
Menudo lío...
Si no me he explicado bien, por favor, vuelve a preguntarme
Saludos!
