[Atila]

Supongamos un experimento de Bernoulli con \( P(E)=p \), \( 0<p<1 \), que se repite de forma independiente hasta que se obtiene el segundo éxito.
Sea X la variable aleatoria que mide el número de fracasos antes del segundo éxito.
Determinar:

1) La distribución de probabilidad asociada a X y comprobar que lo es
2) La función generatriz de momentos de X
3) \( E(X) \) y \( var(X) \)

Nos indica que: \( \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{(k+1)x^k}= 1/(1-x)^2 \)

PD: sobre todo lo que me interesa es el apartado 1, la distribución...conociendo ésta creo q podré realizar los siguientes.

[Atila]

Creo que encontré algo...lo expongo y ya me dicen.

Lo propuse por casos hasta que encontré algún tipo de recursividad:
Si X=0 tenemos EE luego \( P(X=0)= p^2 \)
Si X=1 tenemos FEE, EFE luego tenemos: \( P(X=1) = 2*(1-p)*p^2 \)
Si X=2 tenemos FFEE, FEFE,EFFE luego tendremos \( P(X=2) =3*(1-p)^2 p^2 \)

Así tendremos que en un caso general: \( P(X=k)= (k+1)*(1-p)^k p^2 \)


Hechenle un vistazo y me dicen, gracias y un saludo!

[Héctor Manuel]

Veamos.  El experimento que describes no tiene memoria.   Por ejemplo, en un lanzamiento de una moneda, cara=éxito y cruz=fracaso,  si en el tercer lanzamiento sale cara, entonces la probabilidad de que en el cuarto se vuelva a tener éxito sigue siendo la misma; es decir, la probabilidad de que ahora salga cara no tiene por qué cambiar.  Por eso no hay memoria.


Por tanto, la probabilidad de que el segundo éxito se obtenga \( x \) intentos después del primero es la misma que al resolver el problema de hallar la probabilidad de que el primer éxito se obtenga en el intento \( x \).  Me entiendes?

Con eso es muy sencillo concluir. Sabes cómo?

Saludos.

[Atila]

Sí, pero la variable que me solicitan mide el número de fracasos antes del segundo intento...los cuales también incluyen los que hay (si es que los hay) antes del primer éxito. Si sólo me pidiera los fracasos entre el primer éxito y el segundo si estaría de acuerdo con tu razonamiento y sería el nº de fracasos antes del "primer éxito" (aunque realmente sería el segundo).

[Héctor Manuel]

No has entendido entonces mi mensaje anterior.  Te repito: el experimento no tiene memoria..

Saludos.