Hola, tengo problemas con el siguiente ejercicios, pues como el conjunto de índices no es numerable, no sé como puedo trabajar, para construir una sucesión. Espero que me puedan ayudar
Este es el ejercicio:
Una familia de conjuntos \( (K_{\lambda})_{\lambda\in L} \) se llama una CADENA cuando para cualesquiera \( \lambda, \mu\in{L} \) se verifica que \( K_{\lambda}\subset{K_{\mu}} \) o \( K_{\mu}\subset{K_{\lambda}} \). Demostrar que si \( (K_{\lambda})_{\lambda\in L} \) es una cadena de compactos no vacíos, entonces su intersección \( \displaystyle\bigcap_{\lambda\in{L}}^{}K_{\lambda} \)es no vacía y compacta

Muchas gracias
Saludos

Para empezar, la intersección de compactos va a ser siempre un compacto (eventualmente el conjunto vacío, que también es compacto). Supongamos que la intersección de una familia de compactos \( (K_{\lambda})_{\lambda\in L} \) cualquiera (todavía no necesitamos que sea una cadena) es no vacía. Tomamos una sucesión cualquiera \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\displaystyle\bigcap_{\lambda\in L} K_{\lambda} \). Tomamos un \( \lambda_0\in L \) cualquiera y sabemos que \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq K_{\lambda_0} \). Como \( K_{\lambda_0} \) es compacto, sabemos que \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) tiene una subsucesión \( (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} \) convergente a un \( x_0\in K_{\lambda_0} \). Necesitamos ver que \( x_0\in\displaystyle\bigcap_{\lambda\in L} K_{\lambda} \). Supongamos que no. Entonces existe un \( \lambda_1\in L \) tal que \( x_0\not\in K_{\lambda_1} \). Ahora bien, la subsucesión de \( (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} \) convergente a \( x_0 \) es a su vez una sucesión contenida en \( K_{\lambda_1} \), por estar contenida en la intersección de todos. Por unicidad del límite, toda subsucesión de \( (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} \) converge a \( x_0 \). O sea que \( (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} \) no admite ninguna subsucesión convergente en \( K_{\lambda_1} \), lo que es imposible porque \( K_{\lambda_1} \) es compacto.



Lo que nos faltaría ver es que la intersección de toda cadena de compactos no vacíos es no vacía. Dada una cadena de compactos \( (K_{\lambda})_{\lambda\in L} \), suponemos que \( \displaystyle\bigcap_{\lambda\in L}K_{\lambda}=\emptyset \) y tomamos un \( \lambda _0 \) cualquiera. Sabemos que \( \forall x\in K_{\lambda_0},\quad\exists\lambda_x\in L \;\; / \;\; x\not\in K_{\lambda_x} \). También tenemos que \( K_{\lambda_0}-K_{\lambda_x} \) es abierto en \( K_{\lambda_0} \) para todo \( x\in K_{\lambda_0} \). Es decir que \( \displaystyle\bigcup_{x\in K_{\lambda_0}} \left( K_{\lambda_0}-K_{\lambda_x}\right) \) es un cubrimiento por abiertos de \( K_{\lambda_0} \). Como \( K_{\lambda_0} \) es compacto, ese cubrimiento admite un subcubrimiento finito, es decir, existen \( x_1,\ldots ,x_n\in K_{\lambda_0} \) tales que \( K_{\lambda_0}=\displaystyle\bigcup_{1\leq i\leq n} \left( K_{\lambda_0}-K_{\lambda_{x_i}}\right) \). Como \( (K_{\lambda})_{\lambda\in L} \) era una cadena, sabemos que existe \( 1\leq i_0\leq n\;\; / \;\; K_{\lambda_{x_{i_0}}}\subseteq K_{\lambda_{x_i}}\quad\forall 1\leq i\leq n \). Y es más que claro que tiene que ser \( K_{\lambda_{x_{i_0}}}=\emptyset \), dado que \( \displaystyle\bigcup_{1\leq i\leq n} \left( K_{\lambda_0}-K_{\lambda_{x_i}}\right)=K_{\lambda_0}-K_{\lambda_{x_{i_0}}} \).



Me dio bastante laburo esto... es un buen ejercicio.

PD: Esto depende fuertemente del axioma de elección.