Hola,

1.- Pienso que es intuitivamente complicado pero puedo convencerme de que los pedazos de la esfera de algún modo son no Lebesgue medibles de algún modo pero entonces si no se puede asignar una medida a los pedazos de la esfera como siquiera se puede definir a la misma si hasta donde yo tengo entendido estamos hablando del espacio euclideo en el cual la esfera se define como el conjunto de puntos que equidistan del centro. ¿?¿?

mas aún ! no se supone que un subconjunto abierto o cerrado de R^n es Lebesgue medible ¿?¿

Que un conjunto sea Lebesgue-medible (la esfera por ejemplo), no implica que cualquier subconjunto suyo lo sea. En particular aquí se parte la esfera en varios subconjuntos, de manera que alguno de ellos es tan "raro" que es no medible.
Y sí, todos los subconjuntos abiertos o cerrados de R^n son Lebesgue-medibles (y en general todos los de Borel: abiertos, cerrados, union numerable de cerrados, interseccion numerable de abiertos, interseccion numerable de uniones numerables de cerrados, ...), así que el hecho de que un trozo sea no medible te indica que ese subconjunto no medible de la esfera no es de Borel, en particular, no es abierto ni cerrado.

2.-Esta paradoja se origina según las fuentes del axioma de elección, pero yo no veo que sea así mas bien !veo todo lo contrario!, después de mucho analizar el hecho de que exista un conjunto al que no se le puede asignar una medida, llego a la conclusión de que esto devería deberse a la negación del axioma de elección puesto que existe un conjunto que no se puede inyectar en otro (eso sería la negación del axioma de elección que reza: el producto cartesiano de 2 dos conjuntos no vacío es no vacío) ¿o no?

Te equivocas, el axioma de elección no dice eso. El hecho de que el producto cartesiano de dos conjuntos no vacios sea no vacío se deduce de los demás axiomas, sin necesidad de elección (y menos mal, si no estaríamos jodido pues ¡ni tan siquiera podríamos demostrar en ZF, sin elección, la existencia de una función no vacía!). Lo que dice el axioma de elección, en una de sus múltiples formas, que es a la que te referías, es que dada una família arbitraria de conjuntos no vacíos, su producto cartesiano es no vacío. Fíjate que en particular esto dice que el producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos es no vacío, pero esto ya se puede demostrar sin elección. El interés de elección, y lo que no se puede probar sin este axioma, es en el caso de que las famílias sean infinitas.

Por otro lado, existen modelos de ZF + ¬AC (los axiomas de la teoría de conjuntos sin elección, junto con la negación del axioma de eleccion) en que todos los subconjuntos de \( \mathbb{R} \) son Lebesgue-medibles. Así que de la negación del axioma de elección no se puede demostrar la existencia de subconjuntos de reales no Lebesgue-medibles. En cambio, hay una demostración muy sencilla de que en ZFC (con elección) existen subconjuntos no medibles, en particular los llamados conjuntos de Vitali). Puedes consultar la demostración aquí:

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Vitali

En esa demostración se usa la misma forma del axioma de elección que en la demostración de Banach-Tarski: dada una relación de equivalencia R sobre un conjunto A, existe un conjunto X que contiene exactamente un representante de cada clase de equivalencia. Aunque este enunciado suene bastante distinto de el de los productos cartesianos, es equivalente a él.

Saludos