Autor Tema: Recta normal de un campo escalar

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11 Diciembre, 2010, 01:50 am
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SrCobranza

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Tengo el siguiente ejercicio:

Suponiendo que se cumplen las hipótesis de la regla de la cadena, analice si la recta normal a la superficie \( z=f[\bar{g}(x,y)] \) en el punto \( \bar{A}=(1,2,1) \) interseca al plano \( xz \), siendo:

\( f(u,v)=uv+v^2 \)

\( \bar{g}(1,2)=(0,1) \)

\( D\bar{g}(1,2)=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}  \)

Con los datos que dan, obviamente hay que hallar el gradiente de la composición de esas dos funciones en el punto dado, ya que por alguna razón que desconozco, su dirección coincide con la de la recta normal.

\( \overline{\nabla}z(1,2)=(4,13) \)

Luego, en la resolución del ejercicio, se afirma que la recta normal es: \( (1,2,1)+\lambda(4,13,-1) \)

Ese último \( -1 \) es el que me gustaría saber de dónde sale.

Gracias.

11 Diciembre, 2010, 08:26 am
Respuesta #1

alucard

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Hola SrCobranza para poder aplicar la regla de la cadena se tiene que cumplir que :

\( \bar{g}:H_1 \subset{R^n\longrightarrow{R^m}},\bar{g} \) diferenciable en \( A\in{H_1} \)

\( \bar{f}:H_2 \subset{R^n\longrightarrow{R^p}},\bar{f} \) diferenciable en \( g(A)\in{H_2} \)

entoncés \( h=f\circ{g} \) es diferenciable en \( \bar{A} \) , y además \( D\bar{h}(\bar{A})=D\bar{f}(g(\bar{A}))\cdot D\bar{g}(\bar{A}) \)

Claramente se cumplen estas hipótesis en el ejercicio tanto f y g son diferenciables es su domino.

Ahora no se si necesitas la resolución o solo la confirmación de tu problema

Tengo el siguiente ejercicio:

Suponiendo que se cumplen las hipótesis de la regla de la cadena, analice si la recta normal a la superficie \( z=f[\bar{g}(x,y)] \) en el punto \( \bar{A}=(1,2,1) \) interseca al plano \( xz \), siendo:

\( f(u,v)=uv+v^2 \)

\( \bar{g}(1,2)=(0,1) \)

\( D\bar{g}(1,2)=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}  \)

Con los datos que dan, obviamente hay que hallar el gradiente de la composición de esas dos funciones en el punto dado, \( \overline{\nabla}z(1,2)=(4,13) \)

Correcto

Citar
ya que por alguna razón que desconozco, su dirección coincide con la de la recta normal.

Desde un punto de vista geométrico el vector gradiente de una superficie, es un vector perpendicular a la misma, como te piden la recta normal a la superficie

entoncés el vector gradiente coincide con el vector director de la recta normal 

Citar
Luego, en la resolución del ejercicio, se afirma que la recta normal es: \( (1,2,1)+\lambda(4,13,-1) \)

Correcto

Citar
Ese último \( -1 \) es el que me gustaría saber de dónde sale.

Sale de la definición de diferenciabilidad

Dada \( f:H\subset{R^n\longrightarrow{R^m}}\quad A\in{H} \) punto interior. Se dice que \( \bar{f} \) es diferenciable en A si

\( \bar{f}(\bar{X})=\bar{f}(A)+D\bar{f}(A)(\bar{X}-A)+E(\bar{X})\Longleftrightarrow{\displaystyle\lim_{\bar{x} \to{A}}{\dfrac{E(\bar{X})}{||\bar{X}-A||}}}=0 \)

En el ejercicio \( f(\bar{g}(x,y))=z=1+4(x-2)+13(y-2) \) define la ecuación de un plano haciendo distributiva, acomodando términos tenemos

\( 4x+13y-z-29=0 \) , podés ver de donde sale el -1??

saludos
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

11 Diciembre, 2010, 01:12 pm
Respuesta #2

SrCobranza

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Gracias por la respuesta aoleonsr.

Todavía me quedan un par de dudas:

1) El plano del que hablás, ¿qué vendría a representar geométricamente?

2) Si reemplazo \( x=1 \) e \( y=2 \) en la ecuación del plano resulta \( z=1 \) y sigo sin ver de dónde sale el \( -1 \)

Saludos.

11 Diciembre, 2010, 05:25 pm
Respuesta #3

alucard

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Hola

Gracias por la respuesta aoleonsr.

Todavía me quedan un par de dudas:

1) El plano del que hablás, ¿qué vendría a representar geométricamente?

Geométricamente es un plano :P, representa la aproximación lineal a la superficie más conocido como el plano tangente a una superficie, de hecho decir

que una función es diferenciable equivale a decir que existe una aproximación lineal \( z=f(x,y) \) (plano tangente) en una función \( f:H\subset{R^2}\longrightarrow{R} \)

Citar
2) Si reemplazo \( x=1 \) e \( y=2 \) en la ecuación del plano resulta \( z=1 \) y sigo sin ver de dónde sale el \( -1 \)

Está bien que de 1, el \( (1,2,1) \) es el punto que pertenece al plano y a la superficie, fijate que verifica la ecuación del plano

\( \pi: 4x+13-z-29=0 \) cuya normal es \( n=(4,13,-1) \) que coincide con el vector director de la recta normal la cual pasa por el punto \( (1,2,1) \)

Entoncés la recta normal será \( L: (1,2,1)+\lambda (4,13,-1)\quad \lambda \in{R} \)  lo ves ahora ??

saludos

Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

11 Diciembre, 2010, 05:38 pm
Respuesta #4

SrCobranza

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Ahora sí me quedó claro.

Muchas gracias.