Autor Tema: Polinomio Característico

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08 Diciembre, 2010, 09:23 pm
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hupavi

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tengo un problema que creo que es clásico, no sé como abordarlo y agradeceria una orientación.
si tengo una matriz sobre un campo \( \mathbb{K} \) si el polinomio caracteristico esta dado por \( \varphi(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_n^n \) demostrar que
\( a_0=det(A),  a_n=(-1)^n  \) y \( a_d=(-1)^d tr(A) \) donde \( d=n-1 \)
gracias de antemano

09 Diciembre, 2010, 12:26 am
Respuesta #1

pepito

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Usá el hecho de que toda matriz cuadrada es semejante a una matriz triangular superior (y que las matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico, determinante y traza) y hacé inducción. Una forma más directa de ver que \( a_0=det(A) \) es simplemente notar que \( a_0=\varphi (0) \).
"...parecido pero nada que ver"

09 Diciembre, 2010, 03:30 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Otra forma para la traza es tener en cuenta que

\( \begin{vmatrix} a_{11}-x & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} &a_{22}-x & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} &\ldots & a_{nn}-x\end{vmatrix}=(a_{11}-x)(a_{22}-x)\cdot\ldots\cdot(a_{nn}-x)+\ldots \)

y que los términos que no se han escrito son de grado \( \leq \color{red}n\color{black}-{2} \).

09 Diciembre, 2010, 06:35 am
Respuesta #3

pepito

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¿Será grado \( \leq n-2 \)? Con la definición del determinante que usa las permutaciones.
"...parecido pero nada que ver"

09 Diciembre, 2010, 02:39 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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