Autor Tema: El perímetro de la circunferencia es 4 ?

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24 Noviembre, 2010, 12:33 pm
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Troll

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Primero disculpas por el problema tan tonto que planteo, no es la solución lo que busco de él sino la comprensión del mismo.
Soy nuevo y la razón de mi registro es sencillamente contactar con una comunidad que pueda aclararme una duda.

El problema que planteo es el siguiente:

Es una broma que circula por internet mediante la cual se propone que el perímetro de una circunferencia es 4.
Evidentemente todos sabemos que esto no es así.
Por desgracia las matemáticas no son mi especialidad y aunque se que el tema tiene mucho que ver con la integración de la curva me pregunto lo siguiente.

1.- El problema tal y como se muestra


2.- Sabiendo que es una falacia y experimentelmente es comprobable...
¿Cómo se entiende que se reduzca la longitud del perímetro (de 4 a 3,14159265...) haciendo sucesivos cambios que en principio no lo modifican. (los cambios son ir invirtiendo hasta el infinito las puntas del cuadrado en cada iteración.)

Es decir, mi pregunta busca no la fórmula del perímetro de la circunferencia ni la de la integración de una curva sino la respuesta a la pregunta en negrita.
¿Dónde se empieza a perder longitud?
¿Por qué ocurre eso?
¿Acaso no debería conservarse ya que las iteraciones conservan la longitud?


Muchísimas gracias por todo lo que me podáis aclarar. :)

24 Noviembre, 2010, 02:05 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Un ejemplo más sencillo de la misma idea es la paradoja de la diagonal escalonada.

http://www.epsilones.com/paginas/t-paradojas.html#paradojas-diagonal-escalera

 Esencialmente el problema es que el límite de las longitudes de una sucesión de curvas no tiene porque coincidir con la longitud de la curva límite.

 De hecho en tu caso lo único que podemos asegurar con seguridad es cada una de las curvas formadas por trozos de cuadrados tiene longitud mayor que el perímetro de la circunferencia, es decir, lo único que podemos asegurar es que:

\( \pi\leq 4 \)

 Lo cuál es cierto.
 
 Aquí se discutió el tema.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=15555.0

Saludos.

24 Noviembre, 2010, 03:11 pm
Respuesta #2

Troll

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"el límite de las longitudes de una sucesión de curvas no tiene porque coincidir con la longitud de la curva límite."

Ajá. Eso junto con la paradoja de la diagonal escalonada me ha hecho verlo un poco mejor.

¿Podríamos decir que la serie de sumas de los lados de los cuadraditos tendería finalmente desde 4-unidades a 3,14... PI-unidades?
¿Es decir que convergería a ese valor? ¿o no?

¿Cómo la serie 1/(2^n) tiende a 2?
N entero = [0..Infinito]

24 Noviembre, 2010, 05:06 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Citar
¿Podríamos decir que la serie de sumas de los lados de los cuadraditos tendería finalmente desde 4-unidades a 3,14... PI-unidades?

¡No!. Precisamente lo que significa esta frase:

"el límite de las longitudes de una sucesión de curvas no tiene porque coincidir con la longitud de la curva límite."

es lo contrario. En este caso la serie de las sumas de los cuadraditos no tienede a \( \pi \) sino a \( 4 \). Es decir el límite de longitudes de sucesión de curvas (nuestra longitud de los trozos de cuadraditos que van encerrando la cicunferencia) no coincide con la longitud de la curva límite (no coincide con la longitud de nuestra circunferencia).

Saludos.

24 Noviembre, 2010, 05:56 pm
Respuesta #4

Troll

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De acuerdo. Ahora ya no tengo dudas de lo que ocurre.

Es semejante a doblar una cuerda en pliegues muy pequeños e infinitos de modo que acortas su aparente longitud tanto como desees (en el mundo matemático no en la realidad) y de este modo puedes rodear con esa cuerda de 4 una curva de 3,14 (por ejemplo) el truco del infinito disimula que en realidad la cuerda está infinitamente arrugada y todavía y siempre sigue midiendo 4.

Doy por satisfecha mi pregunta, muchas gracias.