Autor Tema: Número no estándar, y omega consistencia

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22 Noviembre, 2010, 01:24 pm
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Raúl Aparicio Bustillo

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Cuando una teoría es w-inconsistente, eso ¿implica la existencia de números no estándar en cualquier modelo de la misma?

26 Noviembre, 2010, 10:00 am
Respuesta #1

Óscar Matzerath

  • Lathi
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Hola,

Así es. Si la teoría T es \( \omega \)-contradictoria, existe una fórmula \( \alpha(x) \) tal que para todo numeral \( \bar{n} \) (es decir, un término de la forma S...S0 con n S's, donde 0 representa el 0 y S el siguiente en la teoría) \( T \vdash \alpha(\bar{n}) \) pero \( T \vdash \exists x (Nat(x) \wedge \neg \alpha(x)) \), donde Nat(x) es el predicado en T que "dice" "x es natural". Supongamos ahora que hay un modelo estándar M. Todo natural estándar se obtiene a partir del 0 a partir de un número finito de aplicaciones de la operación siguiente. Por tanto, todo natural estándar n viene representado por algún numeral \( \bar{n} \) en la teoría T. Entonces si tenemos que \( M \models \alpha(\bar{n}) \) para todo n, como no hay más naturales en el modelo M aparte de los de estándar (representados por numerales), tenemos que \( M \models \neg \exists x (Nat(x) \wedge \neg \alpha(x)) \). Por tanto, por completitud de la lógica de primer orden, no puede pasar que \( T \vdash \exists x (Nat(x) \wedge \neg \alpha(x)) \) (ya que hay un modelo de T dónde esto es falso). Así pues, no puede existir un modelo de T en el que todos los naturales sean estándar.

Más intuitivamente, el ser \( \omega \)-contradictoria quiere decir que hay una fórmula que es demostrable para todos los naturales "estándar" (esto es un abuso de lenguaje, porque de estándar o no estándar sólo podemos hablar en un modelo, nunca sintácticamente, pero intuitivamente se entiende) , pero refutable para algún natural. Claramente, esto no lo puede satisfacer ningún modelo donde sólo haya naturales estándar.

Saludos