Ejercicio 1.1
Tenemos que \( a\in{(f^{-1}(v))}' \) para algún \( v\in{\mathbb{R}^n} \), entonces existe una sucesión \( \left\{{t_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}\subseteq{f^{-1}(v)} \) con \( t_k\neq{a} \) para todo k, tal que \( t_k\rightarrow{a} \) luego tenemos \( f(t_k)=v \) y tambien por continuidad que \( f(a)=v \). Utilizando la definición de derivada tenemos
\( f'(a)=\displaystyle\lim_{t_k \to{a}}{\displaystyle\frac{f(t_k)-f(a)}{t_k-a}} \)
Como \( f(t_k)=v=f(a) \), entonces el numerador del límite es cero, \( t_k\neq{a} \) para todo k el denominador es diferente de cero, por tanto no tenemos indeterminación, así
\( f'(a)=\displaystyle\lim_{t_k \to{a}}{\displaystyle\frac{0}{t_k-a}}=0 \)
que es lo que pedían.
Suerte.