Autor Tema: Hallar Esperanza de una distribución exponencial

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17 Octubre, 2010, 07:43 pm
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super_eman

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Hola estimados!!!
Estoy luchando con los ejercicios del libro de Kai Lai Chung, más precisamente el ejercicio 10 del capitulo 4, que dice algo por el estilo: " Según el ejemplo 4, \( Y=\begin{Bmatrix}{ 5X-3000}&\mbox{ si }& X\leq{1000,}\\2000+3(X-1000) & \mbox{si}& 1000<X\leq{5000,}\\14000+4(X-5000) & \mbox{si}& X>5000\end{matrix} \) Donde X es la variable aleatoria el número de ejemplares que se venderan, donde Y es función de X donde Y es el beneficio.
pero suponiendo ahora que X= 3000+X' siendo X' la distribución exponencial de media 7000. Hallar E(Y). La respuesta que figura en el libro es \( E(Y)=29000+7000.e^{\displaystyle\frac{-2}{7}} \)

19 Octubre, 2010, 09:03 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 El enunciado debe de decir:

\( \color{red}Y\color{black}=f(x)=\begin{Bmatrix}{ 5X-3000}&\mbox{ si }& X\leq{1000,}\\2000+3(X-1000) & \mbox{si}& 1000<X\leq{5000,}\\14000+4(X-5000) & \mbox{si}& X>5000\end{matrix} \)

 en otro caso uno no sabe que tiene que ver la variable \( Y \) con todo lo demás.

 Ahora sabemos que la variable \( X' \) tiene por función de densidad:

\(  g(x)=\begin{Bmatrix} \lambda e^{-\lambda x} & \mbox{ si }& x\geq 0\\0 & \mbox{si}& x=0\end{matrix} \)

 con \( \lambda=1/7000 \). Queremos hallar:

\(  E(Y)=E(f(3000+X'))=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(3000+x')g(x')dx'=\lambda\displaystyle\int_{0}^{\infty}f(3000+x')e^{-\lambda x'}dx' \)

 Ahora sólo tienes que tener en cuenta que:

\(  3000+x'\leq 1000\quad \Leftrightarrow{}\quad x'\leq -2000 \)
\(  1000<3000+x'\leq 5000\quad \Leftrightarrow{}\quad -2000<x'\leq 2000 \)
\(  3000+x> 5000\quad \Leftrightarrow{}\quad x'>2000 \)

 Por lo que tu integral queda:

\(  \lambda\displaystyle\int_{0}^{2000}(2000+3(3000+x'-1000))e^{-\lambda x'}dx'+ \)

\( \quad +\lambda\displaystyle\int_{2000}^{\inft}(14000+4(3000+x'-5000))e^{-\lambda x'}dx' \)

 Solo resta hacer las cuentas.

Saludos.

19 Octubre, 2010, 11:56 am
Respuesta #2

super_eman

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Estimado el_manco, como siempre absolutamente comprensible e impecable tu explicación  :aplauso:.  Muchas Gracias y Saludos.