Vamos a ver... empecemos por el primero:
Considero la variable \( Z=X-Y \) con lo que la condición inicial se traduce en que
\( P(Z>0)=1 \)
\( P(Z\leq0)=0 \)
voy a hacerlo en el caso discreto, pero el continuo se razonaría igual (creo). Su pongamos que Z puede tomar los valores \( z_1,z_2,\dots \) Por definición resulta que:
\( E(Z)=\sum_{i=1}^{\infty}z_iP(Z=z_i) \)
Ahora si \( z_j\leq0 \) resulta (propiedades elementales de la probabilidad) que \( P(Z=z_j)=0 \) y por tanto:
\( E(X)-E(Y)=E(Z)=\sum_{z_j>0}z_jP(Z=z_j)>0\Rightarrow E(X)>E(Y) \)
Observa que esta última esperanza debe ser estrictamente positiva porque al ser \( P(Z>0)=1 \) debe existir al menos un \( z_j>0 \) con \( P(Z=z_j)>0 \)
La segunda es falsa, veamos un contraejemplo:
Consideramos las variables \( X \) e \( Y \) tales que:
\( X=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox P(X=1)=1/2\\6 & \mbox P(X=6)=1/2\end{matrix} \right \)
\( Y=\left\{\begin{matrix} 2 & \mbox P(Y=2)=1/2\\3 & \mbox P(Y=3)=1/2\end{matrix} \right \)
Es muy fácil ver que \( E(X)=7/2>5/2=E(Y) \) pero, sin embargo, \( P(X>Y)=P(X=6)=1/2 \)
Espero haber sido más o menos claro. Para el segundo no hace falta nada más porque ya se da un contraejemplo. En el primero, en el caso de variable absolutamente continua por ejemplo habría que razonar parecido pero con integrales. Un saludo.
