Autor Tema: Esperanza

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10 Agosto, 2006, 02:48 am
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Amaliasusana

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Estoy empantanada con un ejercicio que no logro buscarle la vuelta. Tengo que demostrar que es Verdadero o falso y en caso de ser falso dar un contraejemplo de la siguientes propiedades:

1) P(X>Y) = 1 => E(X) > E(Y)

2) E(X) > E(Y) => P(X>Y) = 1

No sé por dónde puedo encararlo. ¿Puede ser que sea alguna consecuencia de la desigualdad de  Cauchy-Schwarz? ¿¿¿

Lo que sí sé es que si la probabilidad de que X>Y es igual a 1, quiere decir que todos los valores de X son mayores que los valores de Y. Ahora que, ésto me lleve a la conclusión de que sus esperanzas a su vez sean mayores entre sí??

Por favor, si alguien puede ayudarme, mañana tengo el parcial, y no sé qué voy a hacer si no entiendo ésto!!

Gracias.

10 Agosto, 2006, 10:29 am
Respuesta #1

teeteto

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Vamos a ver... empecemos por el primero:
Considero la variable \( Z=X-Y \) con lo que la condición inicial se traduce en que

\( P(Z>0)=1 \)
\( P(Z\leq0)=0 \)

voy a hacerlo en el caso discreto, pero el continuo se razonaría igual (creo). Su pongamos que Z puede tomar los valores \( z_1,z_2,\dots \) Por definición resulta que:

\( E(Z)=\sum_{i=1}^{\infty}z_iP(Z=z_i) \)

Ahora si \( z_j\leq0  \) resulta (propiedades elementales de la probabilidad) que \( P(Z=z_j)=0 \) y por tanto:

\( E(X)-E(Y)=E(Z)=\sum_{z_j>0}z_jP(Z=z_j)>0\Rightarrow E(X)>E(Y) \)

Observa que esta última esperanza debe ser estrictamente positiva porque al ser \( P(Z>0)=1 \) debe existir al menos un \( z_j>0 \) con \( P(Z=z_j)>0 \)

La segunda es falsa, veamos un contraejemplo:
Consideramos las variables \( X \) e \( Y \) tales que:

\( X=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox P(X=1)=1/2\\6 & \mbox P(X=6)=1/2\end{matrix} \right \)

\( Y=\left\{\begin{matrix} 2 & \mbox P(Y=2)=1/2\\3 & \mbox P(Y=3)=1/2\end{matrix} \right \)

Es muy fácil ver que \( E(X)=7/2>5/2=E(Y) \) pero, sin embargo, \( P(X>Y)=P(X=6)=1/2 \)

Espero haber sido más o menos claro. Para el segundo no hace falta nada más porque ya se da un contraejemplo. En el primero, en el caso de variable absolutamente continua por ejemplo habría que razonar parecido pero con integrales. Un saludo.
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

10 Agosto, 2006, 05:00 pm
Respuesta #2

Amaliasusana

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Gracias teeteto!!! muy buena la explicación. Estoy muy contenta ahora. Te sacaste un 10!!!

Bueno, tengo que seguir estudiando, estoy muy asustada.

Cariños

Amalia