[Noitra]

Hola 

Supongamos que se tiene una función \( f : A\longrightarrow{}B \)

Si hallo una función \( g \) tal que \( g o f = id_A \) y \( f o g = id_B \), ¿significa esto que g es la inversa de f, y por lo tanto, \( g : B\rightarrow{}A \)?

O, por el contrario, ¿es posible hallar una función \( g \) tal que  \( g o f = id_A \) y \( f o g = id_B \) pero que no sea necesariamente inversa de f?

Gracias 

[mathtruco]

Hola Noitra,

 Estás en lo correcto.

 Si, dada \( f : A\longrightarrow B \) una función, existe una función  \( g : B\longrightarrow A \) tal que \( g o f = id_A \) y \( f o g = id_B \), entonces \( g \) es la inversa de \( f \).

 Nota que en estas dos condiciones está implícita la biyectividad de \( f \).


 Por otro lado, supón que existen \( h,g:B\longrightarrow A \) tales que

\( g o f = id_A \) y \( f o g = id_B \)

y \( h o f = id_A \) y \( f o h = id_B \).

¿Puedes concluir que \( g=h \)?

[Noitra]

Sí  gracias!

Pero ahora otra pregunta, (mismas notaciones de antes!)

podría existir una aplicación \(  g : B\rightarrow{}X \), \( X\neq{}A \), (por ejemplo, \( A\subseteq{}X \), o \( X \) y \( A \) disjuntos, etc) tal que

\( g o f = id_A \) y \( f o g = id_B \)?

[mathtruco]

\( g o f = id_A \) y \( f o g = id_B \)?   esto sólo se cumple si ambas funciones son biyectivas, en particular \( g \) es sobreyectiva.

Si existe\( x\in X \) tal que \( g(x)\notin A \), entonces \( g(x)\notin dom(f) \) y por tanto \( fog \)  no tiene sentido.