Bueno, tengo un inconveniente. En realidad estoy buscando una cota para el error de una integración por método aproximado, usando el método de Simpson.
Tengo que aproximar \( \displaystyle\int_{0}^{1}\cos(x^2)dx \) con un error menor a 0.001.
Yo empece buscando la derivada de orden cuarto, y obtuve:
\( f^4(x)=48x^2\sen(x^2)-12\cos(x^2)+16x^4\cos(x^2) \)
Ahora, yo tengo que buscar una cota K para esta derivada en el intervalo [0,1]. Lo que se me ocurrió hacer fue fijarme si habían máximos y minimos relativos en el intervalo, entonces calcule la derivada de orden cinco:
\( f^5(x)=120x\sen(x^2)+160x^3\cos(x^2)-32x^5\sen(x^2) \)
A partir de acá lo que hice fue plantear:
Sea \( f^5(x) \) tal que \( x\in{[0,1]}\Rightarrow{f^5(x)=0\Longleftrightarrow{x=0}} \)
Entonces acá lo que se es que en cero hay un máximo o un mínimo. Entonces quise fijarme en la concavidad de la curva, y pensé que lo mas sencillo sería mirar en la derivada sexta, para saber como se comportaría la derivada cuarta de la función original.
\( f^6(x)=720x^2\cos(x^2)-480x^4\sen(x^2)-64x^6\cos(x^2)+120\sen(x^2) \)
El problema es que cuando evalúo
\( f^6(0)=120\sen(0^2)=0 \)
O sea, me da cero la derivada sexta, y esto no me dice si es cóncava hacía arriba o si es cóncava hacía abajo.
¿Que debería hacer entonces? tal vez haya una forma menos engorrosa de trabajar esto, de ser así me gustaría saberlo.
Saludos.
