Me solicitan lo siguiente: emplear algún desarrollo en serie de Maclaurin conocido para obtener la serie homonima de:
a) \( f(x)=\cos (x^3) \)
Aquí emplee la serie de Taylor para \( \cos (x)= 1-\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}-\displaystyle\frac{x^6}{6!}+.....+\displaystyle\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) y luego reemplacé \( x=x^3 \) en la serie quedando:
\( \cos (x^3)= 1-\displaystyle\frac{x^6}{2!}+\displaystyle\frac{x^{12}}{4!}-\displaystyle\frac{x^{18}}{6!}+.....+\displaystyle\frac{(-1)^n x^{6n}}{(2n)!} \)
b) \( f(x)= x^2 \cos(x) \) Aqui si hago el desarrollo de Maclaurin para el e-nésimo termino de la función \( x^2 \) tendría
\( f(0) = 0^2=0 \)
\( f^{\prime}(x)=2x \Longrightarrow{f^{\prime}(0)}=0 \)
\( f^{\prime\prime}(x)=2 \Longrightarrow{f^{\prime\prime}(0)=2 \) y a partir de aqui en adelante todos los demás términos son 0.
Por lo que \( P_n(x)= 0+0.x +\displaystyle\frac{2x^2}{2!}+0+0+..+0 = x^2 \)
Si tomo la serie de \( \cos (x)= 1-\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}-\displaystyle\frac{x^6}{6!}+.....+\displaystyle\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) ¿ multiplico todos los términos de la serie de coseno por por \( p_n(x)=x^2 \)
