Autor Tema: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

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14 Abril, 2012, 09:05 pm
Respuesta #600

Raúl Aparicio Bustillo

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Tú razonamiento no afecta a la existencia (obvia) de la sucesión [(1, -1, 1, -1, \ldots)] , sino a la posible convergencia de la serie infinita que determina. Lo que has probado es que si la serie fuera convergente su suma debería ser 0.5 y, por otra parte, argumentas que la suma no puede ser 0.5, con lo cual has demostrado que la serie no es convergente. Tu razonamiento es correcto, pero la contradicción no prueba que la sucesión no exista, sino que la serie no es convergente.

Creo que me he expresado algo equívocamente, no me refería a la existencia de la sucesión \(   [(1, -1, 1, -1, \ldots)]  \), que entendida como toda sucesión, como una aplicación de \(  \mathbb{N}  \) en \(  \mathbb{R}  \), es desde luego válida,  sino a considerar el término \(  +1-1+1-1+1....  \) como una suma con "infinitos" sumandos, lo que nos lleva a un absurdo. He elegido este ejemplo por simplicidad, por supuesto que hay infinidad: la diferencia de resultado al permutar los sumandos de una serie condicionalmente convergente, la "demostración" de la inconsistencia de PA, etc....No se me ocurre nínguna otra forma de verlo más que asumiendo que una fórmula  o término de longitud infinita de caracteres carece de significado, por mucho que podamos definirlas en el sentido de tener un método para calcular su caracter nº para todo n finito.

14 Abril, 2012, 09:26 pm
Respuesta #601

Carlos Ivorra

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Creo que me he expresado algo equívocamente, no me refería a la existencia de la sucesión \(   [(1, -1, 1, -1, \ldots)]  \), que entendida como toda sucesión, como una aplicación de \(  \mathbb{N}  \) en \(  \mathbb{R}  \), es desde luego válida,  sino a considerar el término \(  +1-1+1-1+1....  \) como una suma con "infinitos" sumandos, lo que nos lleva a un absurdo.

Eso es cierto en sentido estricto, no creo que nadie lo discuta. Otra cosa (que es lo estándar) es que puedas considerar el término  \(  +1-1+1-1+1\ldots  \) o mejor \( \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \) como una serie infinita en el sentido de una sucesión de sumas parciales, es decir, el objeto  \( \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \) no pretende representar ningún número (lo cual sería contradictorio, por las razones que tú mismo das), sino meramente la sucesión \( \{\sum\limits_{n=0}^N (-1)^n\}_{N=0}^\infty \), es decir, la sucesión \( 1, 0, 1, 0, 1, 0,\ldots \), que tampoco da lugar a ninguna contradicción.

He elegido este ejemplo por simplicidad, por supuesto que hay infinidad: la diferencia de resultado al permutar los sumandos de una serie condicionalmente convergente,

Ese caso es completamente distinto, pero tampoco presenta ningún problema. Una serie condicionalmente convergente es una sucesión, y otra serie que resulte de permutar sus sumandos es otra sucesión, que bien puede tener otro límite. No hay ninguna contradicción en ello.

la "demostración" de la inconsistencia de PA, etc....

Supongo que te refieres a la "demostración" que resulta de añadir como axioma a PA la negación de la consistencia de PA. Eso es harina de otro costal, ahí tienes una sucesión que es "formalmente finita", en cuanto que en un modelo de dicha teoría está definida por un número natural (por ejemplo, por los exponentes de su descomposición en factores primos), pero que en realidad no tiene nada de "sucesión". Su "dominio" será un conjunto totalmente ordenado muy diferente del conjunto de los números naturales "de verdad", a pesar de que en el modelo en cuestión cumplirá los axiomas de Peano. En cualquier caso, ¿qué es lo que se supone que de ahí se deduce que no existe?

No se me ocurre nínguna otra forma de verlo más que asumiendo que una fórmula  o término de longitud infinita de caracteres carece de significado, por mucho que podamos definirlas en el sentido de tener un método para calcular su caracter nº para todo n finito.

Esto es demasiado general como para que se pueda decir si es verdadero o falso. Por otra parte, aunque ciertamente es posible estudiar lenguajes formales con fórmulas de longitud infinita, ninguno de los ejemplos que has citado lo requiere. Por ejemplo, lo de escribir \( 1-1+1-1+\cdots \) es sólo una forma cómoda de representar el término  \( \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \), que no tiene longitud infinita, sino que, desarrollando las definiciones de sumatorio y todas las que aparecen o aparecerán al desarrollar las que aparecen explícitamente, lo terminarás transformando en un término explícito (de longitud finita) en el que sólo aparecerán los signos lógicos, y el signo \( \in \).

14 Abril, 2012, 09:37 pm
Respuesta #602

Jabato

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La gracia del asunto es que en matemáticas se suele trabajar a menudo con objetos de los que resulta muy difícil demostrar su existencia, no me refiero a su existencia física, sino a su existencia lógica. La continuidad, el infinito, lo infinitamente pequeño, etc. Son objetos que basan su existencia en los axiomas, pero no es fácil demostrar que tales objetos deben existir sin aceptarlos a ellos mismos ó a sus antecedentes lógicos de forma axiomática. Dentro de la matemática no existen contradicciones con esos objetos pero si nos remontamos en el proceso de las inferencias acabamos llegando siempre a callejones sin salida.

Podemos afirmar que una recta está formada por infinidad de puntos, y aceptarlo sin más, ahora bien intentad demostrarlo. Yo cada día que pasa tengo más claro que el mundo de la matemática es un mundo imaginado, y que los modelos que usa se basan en el mundo real, al menos en la experiencia que tenemos de él, pero no debemos perder de vista que eso no quita para que sea un mundo imaginado, ficticio, artificial, creado a imagen y semejanza de nuestra visión del mundo real, pero totalmente inventado por nuestra mente, individual ó colectiva, entonces tratar de buscar fundamentos inamovibles en él, es un sueño, una utopía porque tales fundamentos no existen.

Saludos, Jabato. ;D

15 Abril, 2012, 12:35 am
Respuesta #603

argentinator

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Jabato: Yo ya no sé qué pensar.

A lo mejor hay que aplicar la interpretación de Coppenaghe también a la matemática: callarse y hacer las cuentas.

volviendo un momento a lo de chap, que no sé si lo entendí o no, parece que habla de qué es una "X".

Una "X" como objeto físico no tiene relación con la matemática en forma directa.
Uno puede decir que la "X" es un símbolo escrito, y por lo tanto una configuración de ciertos átomos concretos que tienen forma de "X".

Sería algo bien empírico, pero eso no funciona para entender la "X" de una variable matemática, puesto que la "X" que figura en la pantalla de la computadora se altera constantemente debido a las operaciones de refresco de la pantalla.
Las pantallas de otros usuarios en otras partes del mundo tienen a su vez distintos átomos cuya configuración conforma algo en forma de "X".

Y también si se escribe una "X" en un papel, y con distintas formas según la caligrafía de cada persona, sigue siendo considerada la misma "X".

Entonces esa "X" es un objeto social. Habrá que estudiarlo como un signo lingüístico, o un tema de semiótica.

Lo importante para los matemáticos es que podamos aceptar un punto de partida del que tengamos certeza de que no habrá ambiguedad, petición de principio, ni ningún otro vicio mental indeseable.

Si hubiera una porción de la intuición de la mente humana claramente delimitada, y que funcione de manera indiscutiblemente predecible y uniforme para todos los seres humanos, sería también ése un punto de partida aceptable, sin importar en el fondo el funcionamiento de la mente o de la intuición.

_____

Por eso evito en lo posible seguir la corriente a ideas que se van por lo filosófico, porque opino que no es del todo importante entender qué son los objetos matemáticos, si existen en algún sentido o no, sino que es más importante que tenga un fundamento preciso y bien delimitado.

En lo personal, me llevo mal con las intuiciones y/o los objetos platónicos, porque tengo un punto de vista absolutamente materialista y escéptico de la realidad.
Los atributos que surgen en la imaginación me parecen de índole muy dudosa.

Pero tampoco es fácil despegarse de elementos que están arraigados en la tradición y proponer una alternativa inteligente y útil.

15 Abril, 2012, 09:38 am
Respuesta #604

Cristian C

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Hola Argentinator. Dices:
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Jabato: Yo ya no sé qué pensar.

A mi me está ocurriendo lo contrario. Mi pensamiento acerca de estos temas ha evolucionado desde que comenzó el hilo, en gran medida debido a la lectura de Carlos Ivorra y a las charlas que pude mantener con él, y en parte también a un curso sobre Teorema de Incompletitud que está dictando Gustavo Piñero en Buenos Aires y al que estoy asistiendo.

Dice Jabato:

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Podemos afirmar que una recta está formada por infinidad de puntos, y aceptarlo sin más, ahora bien intentad demostrarlo. Yo cada día que pasa tengo más claro que el mundo de la matemática es un mundo imaginado, y que los modelos que usa se basan en el mundo real, al menos en la experiencia que tenemos de él, pero no debemos perder de vista que eso no quita para que sea un mundo imaginado, ficticio, artificial, creado a imagen y semejanza de nuestra visión del mundo real, pero totalmente inventado por nuestra mente, individual ó colectiva, entonces tratar de buscar fundamentos inamovibles en él, es un sueño, una utopía porque tales fundamentos no existen.


Los conceptos matemáticos no refieren ni objetos ni hechos reales. Son ideas abstractas. Pero una cosa es que una idea sea abstracta y otra cosa es que sea ficticia o artificial. Nuestro intelecto es real y también lo es nuestra capacidad intuitiva. Ambos atributos forman parte de nosotros y nosotros somos reales.
Claro que esa realidad que llamamos intuición puede proveernos de conceptos que no refieren hechos reales, como el número tres, o conceptos que refieren objetos inexistentes, como el unicornio. Pero el segundo es ficticio y el primero no. ¿Qué es entonces el primero?

Hay algo que diferencia los conceptos tipo "unicornio" de los conceptos tipo "tres".
Nosotros podemos enterarnos de lo que es un unicornio viendo una imagen de él, o leyendo una descripción  y memorizando las características mencionadas, las cuales podrían ser otras y no esas si alguien hubiera imaginado al unicornio con plumas y no pelos, por ejemplo. Pero con los conceptos matemáticos ocurre algo diferente.

Nosotros podemos aprender que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a la dada, pero este aprendizaje es más bien un descubrimiento. Nosotros aprendemos el postulado, pero además, nos convencemos de que debe ser así y de ninguna otra forma. Esto se debe a que cuando aprendemos los conceptos matemáticos básicos, en realidad estamos descubriendo una capacidad de nuestro intelecto que es así y de ninguna otra manera. Esa capacidad no empieza a existir cuando nos enseñan el postulado; existe desde antes y solo tomamos conciencia de ella cuando nos fuerzan a pensar en eso. Entonces reconocemos que por un punto exterior a una recta no puede pasar más que una recta paralela a ella. Y por más que juguemos a explorar otras posibilidades con nuestra imaginación, la intuición se resiste y nos muestra siempre una única recta. Respecto a ese tópico, nuestro intelecto da una respuesta única.

Aprender los conceptos básicos de la matemática es, en realidad, descubrir cómo los intuimos. Y si existe un núcleo de verdades matemáticas en las que todos coincidimos de hecho, entonces esa cosa que tenemos allí, la intuición, funciona de un modo muy parecido en todos nosotros.

Llegados a este punto, la pregunta ¿Cuáles son los fundamentos de la matemática? Se abre en un haz de preguntas distintas:

¿Qué es y como se originó nuestra capacidad de intuir objetos matemáticos?
¿Debemos basar la matemática en nuestra intuición?
¿Existe algo distinto a la intuición que nos provea verdades matemáticas?
¿Todos intuimos exactamente lo mismo? ¿Cómo asegurarlo?
¿Es consistente la intuición? ¿Cómo asegurarlo?
¿Existe un núcleo de intuiciones comunes sobre el cuál basar una axiomática?
¿Es lícito incluir axiomas no intuitivos?
¿Qué, de todo esto, hacemos con ZFC y similares?

No es la intención responder todas estas preguntas, aunque hemos estado hablando de ello de una manera asistemática a lo largo de todo este hilo. La idea es, más bien, reconocer que no se pueden plantear las preguntas sin tener antes un claro concepto de qué es intuir un objeto o una  verdad matemática.

Por eso, cuando argentinator dice:
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En lo personal, me llevo mal con las intuiciones y/o los objetos platónicos, porque tengo un punto de vista absolutamente materialista y escéptico de la realidad.
Los atributos que surgen en la imaginación me parecen de índole muy dudosa.

Creo que comete dos errores:

En primer lugar, se niega a hablar de la cosa de la que hay que hablar para referirse a los fundamentos de la matemática: La intuición. Aún si crees que la intuición no puede fundamentar la matemática, debes hablar de ella y meterte en los meandros de su funcionamiento para justificar tu argumentación.

En segundo lugar, confundes la intuición con la imaginación. La diferencia entre ellas es tan radical como sencilla: Puedes imaginar cualquier cosa, pero no puedes intuir cualquier cosa. Siquiera puedes intuir unas cuantas posibilidades frente a la misma cosa. Puedes imaginar dos colecciones cuya unión no sea conmutativa, pero no puedes tener una representación intuitiva de ello. Puedes imaginar libremente que por un punto exterior a una recta pasan muchas paralelas a la dada, o bien puedes imaginar que no pasa ninguna, pero no puedes más que intuir que pasa una sola. Y las tres cosas se pueden formalizar consistentemente. De las tres posibilidades, tu intuición de permite concebir solo una. Esto nos permite decir que la intuición es una cosa concreta que está allí si la queremos ver y que no es de cualquier forma.
Por lo tanto, la intuición no es un objeto difuso “de índole dudosa” como la presentas.
Este es el segundo error.

Y hay una cosa más que puedo decirte. Si te imponen el problema de descubrir y precisar un programa de  computadora a partir de observar como funciona, no dirías que no puedes hacerlo porque tu visión materialista y escéptica de la realidad te lo impide.
Del mismo modo, una visión materialista y escéptica de la realidad no obsta para que podamos descubrir y precisar nuestra intuición sobre la base de ver cómo funciona. Solo necesitamos reconocer que la introspección es un método válido para proveernos de afirmaciones verdaderas respecto a cómo funciona la razón.

Dices:
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Por eso evito en lo posible seguir la corriente a ideas que se van por lo filosófico, porque opino que no es del todo importante entender qué son los objetos matemáticos, si existen en algún sentido o no, sino que es más importante que tenga un fundamento preciso y bien delimitado.

Pedir que los objetos matemáticos tengan un fundamento preciso y bien delimitado sin saber qué cosa son, es una… incoherencia semántica. ¿Cuál es la cosa a la que le reclamas fundamento preciso y buena delimitación? Pero además, fundamentar con precisión un objeto y delimitarlo bien, es describir qué objeto es.

Sospecho de esta última afirmación tuya, que ves la matemática como un simple juego de signos del que solo hay que definir con precisión las reglas; como un mero sistema deductivo formal, sin significado. Si esto es así ¿Qué te hace preferir ZFC de “peynopé”, por ejemplo? Tu sabes en el fondo que perseguimos algo concreto y definido y no cualquier cosa. Pero te niegas a mirar allí donde ese “algo” está, porque para eso debes reconocer que los objetos matemáticos son conceptos y afirmaciones abstractas, independientes de, y preexistentes al lenguaje, que viven en nuestro cerebro y que son algo bien definido y no cualquier cosa. Y  puedo decirte que muchos materialistas y escépticos de talla no han tenido prurito de mirar allí.

Bueno, en realidad yo venía a decir por qué creo que la matemática y tal vez también el intuicionismo, no debieran negarse a admitir al infinito actual; lo que es un descubrimiento para mí, porque siempre había pensado lo contrario. Pero por ahora paro aquí.

Saludos.
Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.

15 Abril, 2012, 12:36 pm
Respuesta #605

argentinator

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Esto que dijiste:

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Aún si crees que la intuición no puede fundamentar la matemática, debes hablar de ella y meterte en los meandros de su funcionamiento para justificar tu argumentación.

es un error de interpretación de lo que dije en mi último post.
Por ejemplo, allí puse este párrafo:

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Si hubiera una porción de la intuición de la mente humana claramente delimitada, y que funcione de manera indiscutiblemente predecible y uniforme para todos los seres humanos, sería también ése un punto de partida aceptable, sin importar en el fondo el funcionamiento de la mente o de la intuición.

Yo no digo que la intuición no sirva para fundamentar la matemática.

Lo que digo es que los defensores de la intuición "no sirven" no tienen la capacidad de dar un fundamento de la matemática a través de esa cosa llamada la "intuición".

Vos tenés clara parece la diferencie entre intuición e imaginación.
Entonces, según lo que has dicho, yo carezco de intuición, pues los objetos matemáticos yo me los "imagino", pero no los intuyo.

Entonces no sé qué es la intuición, llegado este punto.

Y cuando decís cosas como que "la intuición te fuerza a pensar tal o cual cosa", yo pienso que een realidad ahí no estás siendo del todo libre, y que te estás "imaginaodo" o "intuyendo" lo que determinada persona te fuerza a ver, o lo que cierta teoría te obliga a que veas.

La intuición es "aprendida", no es algo que "ya estaba ahí de antes".
No hay nada antes.

Y si lo hubiera (en realidad parece que heredamos ciertas capacidades para luego desarrollar el lenguaje o el pensamiento abstracto, sin que nadie sepa definir bien qué son estas cosas), eso no quiere decir que haya un trasfondo claro y preciso de eso que "ya había".

En cuanto a que la matemática no son más que signos y demás, la verdad no sé.
Es posible que para mí no sean más que signos vacíos de significado.
Pero francamente no me importa la diferencia.
Lo que pretendo es que la matemática no peque de ambigua o de imprecisa.

Después se verá si caben o no infinitos "actuales" o "potenciales".
Eso es lo que menos importa.
Lo que importa es que se pueda confiar en la matemática, por su precisión.

Y en cuanto a ZFC, no recuerdo haber dicho que la prefiera a otra cosa.
Yo no prefiero nada.
No tengo gustos personales en relación a la ciencia.

Las cosas funcionan o no funcionan, y están bien fundamentadas o no.
Los gustos personales o las preferencias no existen en la ciencia.
O no debieran existir.


15 Abril, 2012, 12:56 pm
Respuesta #606

Jabato

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Bueno, la cuestión, tal y como yo lo veo, es encontrar un punto de partida lo suficientemente sólido como para que sea indiscutible a los ojos de cualquier persona.

La matemática tiene sus fundamentos, de eso no hay duda, y la lógica probablemente también, de eso ya no estoy tan seguro probablemente por propio desconocimiento, pero la cuestión estriba en saber donde se apoya toda esa estructura. ¿Es que alguien piensa que existe un pilar inamovible que pueda sostener todo el montaje?

Solo hay que encontrarlo siguiendo los razonamientos desde el más elemental, pero ¿porqué es tan difícil hacer eso? Pues la respuesta a esa pregunta es la que quizás le da la razón a argentinator, porque ese nivel de razonamiento elemental es confuso, no tiene una base suficientemente sólida, adolece de ciertos vicios tales como la circularidad, que ya ha comentado argentinator y otros tantos como la imprecisión, la indefinición, etc. Si esos pilares fueran sólidos y preclaros no estaríamos debatiendo en este hilo probablemente.


\( MATEMATICA\quad\longrightarrow{}\quad LOGICA\longrightarrow{}\quad METALOGICA\quad\longrightarrow{}\quad ? \)


¿Podemos considerar que existen algunas verdades que son absolutamente ciertas (ciertas hasta para los calamarers gigantes del planeta Neptuno)? Si, pero no conducen a gran cosa. Son las tautologías.

¿Podemos considerar que existen algunas verdades universalmente ciertas (ciertas para todos los hombres)? Eso ya parece menos claro, aunque es posible que sí existan.

Aunque una cosa si es cierta, si queremos encontrar esos pilares suficientemente sólidos debemos buscar en el mundo, en nuestra propia esencia, y no imaginar que tales ó cuales objetos existen, debemos encontrar esos objetos que buscamos, en alguna parte existirán digo yo, si es que verdaderamente existen.

Imaginar que el conjunto vacío existe está bien, y declarar su existencia como axioma, también es posible, pero claro ... ¿alguien lo ha visto ó ha demostrado su existencia? Entonces ¿porqué nos quejamos de que no somos capaces de encontrar unos fundamentos suficientemente sólidos? Pues porque todo el asunto no es más que un montaje, muy bien hecho, de eso no hay duda, pero un montaje al fin y al cabo.

Saludos, Jabato. ;D

15 Abril, 2012, 01:49 pm
Respuesta #607

Raúl Aparicio Bustillo

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Esto es demasiado general como para que se pueda decir si es verdadero o falso

Perdonad, no sé cómo se pone "cita de...." encima del recuadro, es de Carlos Ivorra refiriendose a mi planteamiento de que fórmulas de longitud infinita carecen de sentido. No termino de entender tu posición, Carlos, entonces, por un lado, las secuencias infinitas de 0´s y 1´s, o de x e y´s, carecen de sentido (según tu visión), y las demostraciones de infinitos pasos ( que de hecho no se aceptan en lógica de primer orden). Bien es verdad que la explicación que das (con x e y´s) muy en los orígenes de este hilo, no he llegado a comprenderla, cuando dice que se sale de nuestra intuición las cadenas generales de signos, si bien no algunas determinadas que podemos definir.

15 Abril, 2012, 02:11 pm
Respuesta #608

argentinator

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Cita de: Sailor Starruler
Perdonad, no sé cómo se pone "cita de...." encima del recuadro, 

[quote author=Sailor Starruler]
Perdonad, no sé cómo se pone "cita de...." encima del recuadro, 
[/quote]

15 Abril, 2012, 02:16 pm
Respuesta #609

Carlos Ivorra

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Perdonad, no sé cómo se pone "cita de...." encima del recuadro, es de Carlos Ivorra refiriendose a mi planteamiento de que fórmulas de longitud infinita carecen de sentido.

En lugar de poner "a mano" [quote]...[/quote], pon el cursor en el punto de tu mensaje donde quieras la cita, luego baja por la pantalla donde están los últimos mensajes y pincha en "Insertar cita" en el mensaje que quieras citar. Te aparecerá la cita automáticamente, con su cabecera. Luego borras toda la parte del mensaje que no quieras citar.

Si quieres citar varias partes de un mensaje, en lugar de borrar el resto, interrúmpelo con [/quote] y luego reanuda la cita copiando la cabecera que te ha aparecido automáticamente. Suena aparatoso, pero si le coges el truco es bastante mecánico.

No termino de entender tu posición, Carlos, entonces, por un lado, las secuencias infinitas de 0´s y 1´s, o de x e y´s, carecen de sentido (según tu visión),

No exactamente. Lo que digo es que la intuición nos proporciona ejemplos de cadenas infinitas de ceros y unos, pero nada a lo que podamos llamar "la totalidad de las cadenas infinitas de ceros y unos". No creo que ese concepto, aunque, por supuesto, es formalizable, tenga un contenido intuitivo y (aunque lo uno es completamente independiente de lo otro), tampoco creo que tenga ningún significado físico, como tú pretendes que lo tenga.

y las demostraciones de infinitos pasos ( que de hecho no se aceptan en lógica de primer orden).

Obviamente una demostración en infinitos pasos no es una demostración en el sentido de un razonamiento convincente, sin perjuicio de que se pueda construir una lógica formal que las admita. Si te refieres a las "demostraciones" que surgen al añadir como axioma a una teoría aritmética la negación de su consistencia, eso es otro asunto diferente. Formalmente, esas demostraciones son finitas, pero tampoco son auténticas demostraciones intuitivas, pues son sucesiones finitas respecto de un conjunto de números naturales que no es el de los números naturales intuitivos.

Bien es verdad que la explicación que das (con x e y´s) muy en los orígenes de este hilo, no he llegado a comprenderla, cuando dice que se sale de nuestra intuición las cadenas generales de signos, si bien no algunas determinadas que podemos definir.

En efecto, olvida las x y las y, que sólo marean. Mejor hablamos de ceros y unos. Considera la sucesión:

100100010000010000000100000000000100000000000001...

donde el número de ceros entre cada par de unos es 2, 3, 5, 7, 11, ... (la sucesión de los números primos). Esta es una sucesión completamente determinada por la intuición, sin necesidad de asociarla a ninguna teoría axiomática, y sé qué significa cualquier afirmación sobre ella (que no involucre otros objetos no intuitivos, naturalmente). De hecho, cualquier propiedad de la sucesión de los números primos (incluso las que no sabemos si son ciertas o falsas) podría reformularse como una propiedad de esta sucesión, y yo sé lo que significa que cualquiera de esas afirmaciones sea verdadera o falsa con independencia de si sé o no demostrar que lo es. Ésa es la clave (siempre a mi juicio) de lo que distingue qué conceptos formales tienen un contenido intuitivo y cuáles no. En cambio, yo no sabría, no ya demostrar o refutar, sino siquiera atribuir un significado a una afirmación sobre la totalidad de las sucesiones de ceros y unos que me permitiera afirmar que tiene que ser verdadera o falsa. Por el contrario, sólo sé asignarles un valor de verdad haciendo referencia a un determinado modelo de la teoría de conjuntos, de modo que una misma afirmación puede ser verdadera o falsa según el modelo considerado, y no hay ninguna razón objetiva por la que podamos decir que un modelo es "el bueno" y otro "falso".

Cuando hablamos de objetos intuitivos, como los números naturales, también es posible construir modelos en los que tengan propiedades distintas, pero entonces sí tiene sentido distinguir los modelos "estándar", en los que los números naturales son los intuitivamente correctos, y los modelos "no estándar", donde los "números naturales" son meramente unos objetos que satisfacen unos axiomas o una definición que también cumplen los números naturales intuitivos, pero que no son los números naturales intuitivos, en el sentido de que además del objeto que se corresponde con el número natural intuitivo 0, y el que se corresponde con el 1, y el 2, etc. hay otros objetos que también cumplen la definición de número natural y no son ninguno de ellos, sino números que no se pueden obtener a partir del cero mediante un número finito (en el sentido intuitivo) de aplicaciones de la operación "siguiente".

15 Abril, 2012, 02:51 pm
Respuesta #610

Carlos Ivorra

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Suscribo todo lo dicho por Cristian C. Yo no habría sabido expresarlo mejor.

No quiero volver a repetir todo lo ya dicho, pero no puedo resistirme a preguntar cómo puedes afirmar esto:

Y cuando decís cosas como que "la intuición te fuerza a pensar tal o cual cosa", yo pienso que een realidad ahí no estás siendo del todo libre, y que te estás "imaginaodo" o "intuyendo" lo que determinada persona te fuerza a ver, o lo que cierta teoría te obliga a que veas.

Es evidentemente falso. Coge a un niño que no sepa nada de geometría y enséñale lo que son puntos, rectas y rectas paralelas. Enséñaselo como quieras, pero no le engañes, es decir, no le hagas creer que una recta es algo distinto de lo que cualquier otro niño "bien educado" llama recta. Y ahora trata de convencerlo de que existen dos rectas paralelas a una dada con un punto en común. Pero convéncelo de forma que tú le enseñes un dibujo y él diga: "veo dos rectas paralelas a una tercera con un punto en común". ¡Pero si ni siquiera eres capaz de hacer ese dibujo! ¿Cómo podrías conseguir eso?

Tú puedes construir una teoría formal que contradiga esa intuición (una geometría no euclídea), pero nadie dirá por ello que la intuición está mal, como has afirmado, sino que la conclusión será que dicha teoría no es intuitiva, sin perjuicio de que incluso pueda ser físicamente correcta. No tiene nada que ver.

15 Abril, 2012, 03:32 pm
Respuesta #611

chap

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Hola. Es algo bueno tener la sensación de dialogar con alguien comprometido a fondo con la tarea de radiografiar el esqueleto
matemático, como en este caso Argentinator. Sin esa radiografía sólo vemos la carne en acción y las mismas acciones podrían estar
sustentadas por varios tipos de esqueletos compatibles con los movimientos observados. Completar un programa como ese que Argentinator
intenta llevar adelante serviría para descartar muchos tipos de esqueletos propuestos, hasta quedarse finalmente con un tipo solo, que
incluso puede llegar a revelarse distinto de todos aquellos propuestos antes de radiografíar. Esta reducción de variantes es
intrínsecamente valiosa. Tan valiosa como para regocijarme si fuese lograda y sentir que satiface al máximo lo que me animo a exigir de
una investigación de fundamentos. Una radiografía ofrece una imagen menos pictórica que una foto tomada con luz visible, pero para
fotografiar con luz visible un esqueleto se requeriría matar al mismo organismo que se desea conocer. Con esto último quiero significar
que aún en la investigación de fundamentos, no podemos salirnos de ese modo de adquirir conocimiento denominado razonar, es decir
construir razonamientos articulados. Articulados porque siempre quedan constituidos por piezas interconectables, cuyos nexos admiten
muchas formas posibles de conexión y el juego es encontrar la forma más adecuada y/o con menos riesgo previsible de erogar alguna vez
contradicciones u oposiciones entre partes de un mismo sistema.

11 Noviembre, 2012, 12:47 pm
Respuesta #612

Garubi

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  • El beodo anumérico
Hola,

Se me ha ocurrido ponerlo aquí, que es un hilo más elástico:

En la foto del conjunto de todos los conjuntos, siempre falta la cámara que dispara la foto.

Un saludo.
La esfera es un cubo romo

11 Noviembre, 2012, 01:13 pm
Respuesta #613

feriva

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Hola,

Se me ha ocurrido ponerlo aquí, que es un hilo más elástico:

En la foto de el conjunto de todos los conjuntos, siempre falta la cámara que dispara la foto.

Un saludo.

¿Seguro?



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Saludos.

11 Noviembre, 2012, 02:46 pm
Respuesta #614

argentinator

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Ah, pero es la foto del reflejo de la cámara que dispara la foto,
no la cámara misma. Casi se obtuvo todo.

Interesante situación intermedia. ¿Querrá decir algo?
Ninguna teoría de conjuntos actual es así (aunque Ivorra desarrolló acá en el foro la teoría de NFU, que contiene un conjunto universal...)


11 Noviembre, 2012, 05:25 pm
Respuesta #615

feriva

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Ah, pero es la foto del reflejo de la cámara que dispara la foto,
no la cámara misma. Casi se obtuvo todo.

Interesante situación intermedia. ¿Querrá decir algo?
Ninguna teoría de conjuntos actual es así (aunque Ivorra desarrolló acá en el foro la teoría de NFU, que contiene un conjunto universal...)



Es verdad, Argentinator, y además sólo es una 2-esfera, que probablemente no reflejaría todos los puntos de su alrededor en un espacio de más dimensiones. Y habría que probar que una (n-1)-esfera sí los refleja, porque, por muy simplemente conexa que pueda ser, a saber cómo se comporta la luz metida entre tantas dimensiones; sin prueba empírica no se podría afirmar nada. 

Saludos.

11 Noviembre, 2012, 06:09 pm
Respuesta #616

argentinator

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Y además Garubi confundió el fotografo del Universo con el Universo mismo, lo cual de entrada podría considerarse un error.

Pero el sentido esotérico detrás de estas imágenes, la metáfora implicada en esto, creo que se entiende.
Y además los dilemas de la lógica, creo yo, están emparentados con preguntas como estas.


11 Noviembre, 2012, 09:36 pm
Respuesta #617

feriva

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Y además Garubi confundió el fotografo del Universo con el Universo mismo, lo cual de entrada podría considerarse un error.

Pero el sentido esotérico detrás de estas imágenes, la metáfora implicada en esto, creo que se entiende.
Y además los dilemas de la lógica, creo yo, están emparentados con preguntas como estas.

Sí, yo también he pensado que están emparentados. Sin embargo, al hacer la comparación entre conjuntos abstractos y conjuntos construidos con cosas materiales surge el dilema de cómo considerar el conjunto de las imágenes —no imágenes matemáticamente hablado— de esos objetos, si dentro del mismo universo de elementos o en otro. Quizá podríamos prescindir del conjunto de los objetos y quedarnos sólo con el de las imágenes; al fin y al cabo, la matemática no necesita de la materialidad física, esa suerte que tiene ella.

Saludos.

12 Noviembre, 2012, 12:31 am
Respuesta #618

Kaspar Hauser

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Podemos afirmar que una recta está formada por infinidad de puntos, y aceptarlo sin más, ahora bien intentad demostrarlo. Yo cada día que pasa tengo más claro que el mundo de la matemática es un mundo imaginado, y que los modelos que usa se basan en el mundo real, al menos en la experiencia que tenemos de él, pero no debemos perder de vista que eso no quita para que sea un mundo imaginado, ficticio, artificial, creado a imagen y semejanza de nuestra visión del mundo real, pero totalmente inventado por nuestra mente, individual ó colectiva, entonces tratar de buscar fundamentos inamovibles en él, es un sueño, una utopía porque tales fundamentos no existen.
Podríamos decir que los objetos matemáticos son abstracciones del mundo físico. La abstracción es una operación mental por la cual omitimos propiedades de los objetos reales, para formarnos ideas más manejables; es diferente de la imaginación, que no tiene límites, y de la intuición, que provee de contenidos mentales por formación biológica, lo que está cableado en nuestro cuerpo.
Así como alguien dijo que la ontología es la física del objeto cualquiera, la matemática comenzó siendo la física de las cantidades y de las formas (geometría).
Los fundamentos (y esto es polémico, pero hay que charlarlo) podrían estar en el lenguaje (Frege: "la cantidad es la extensión de un concepto"), y los de éste, en lo que Chomsky caracterizó como "la gramática universal", que también pertenecería a nuestro acervo genético.

Saludos



12 Noviembre, 2012, 01:07 am
Respuesta #619

Piockñec

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Hola,

Se me ha ocurrido ponerlo aquí, que es un hilo más elástico:

En la foto de el conjunto de todos los conjuntos, siempre falta la cámara que dispara la foto.

Un saludo.

¿Seguro?



 :laugh:

Saludos.

¿Ese eres tú feriva?  :laugh: