Autor Tema: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

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03 Agosto, 2010, 07:50 pm
Respuesta #60

argentinator

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Pero no, no has contestado a mi pregunta creo,

 ¿quien ó qué establece cuales deben ser las reglas y porqué unas son correctas y otras no?


Creo que sí te he contestado.

En las lógicas más comunes o parecidas a la nuestra, las regla del razonamiento es el Modus Ponens, solamente eso permite deducir unas sentencias de otras.

Según la lista de 10 axiomas que puse antes, el ejemplo que pusiste

\( a=b\wedge a=c\quad\Rightarrow{}\quad b=c \)

sería "demostrable", porque no figura entre los axiomas.
Habrá que deducirlo paso a paso a partir de la lista de 10 axiomas lógicos.

Lo que ocurre es que aquí se "asume" la definición de los símbolos \( \wedge,\vee \), como "meras abreviaturas" de:
\( a \vee b  \) abreviatura de \( \sim{a}\Rightarrow{b} \)
\( a\wedge b \) abreviatura de \( \sim{(\sim{}a\vee \sim{}b)} \)

Así que hay que usar eso en combinación con los axiomas del 1 al 10 para probar tu primer enunciado.
Sin embargo, seguro que sale en pocos pasos a partir del Axioma 8, que es muy similar.

En cuanto a este otro enunciado que pusiste:

\( a=b\quad\Rightarrow{}\quad b=a \)

Ése es exactamente el Axioma 7.



En cuanto a "quién" decide cuáles son esos axiomas, bueno, también te lo he contestado: "los que son expertos en lógica".





03 Agosto, 2010, 08:09 pm
Respuesta #61

Jabato

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Si, tienes razón en lo de que me habías contestado, aunque por alguna razón no leí esa parte de tu respuesta, donde se muestran los 10 axiomas. Aunque si recuerdo haber leido la primera parte del mensaje.

De todas formas sigo sin tener respuesta a mi pregunta, me dices que son los expertos lógicos quienes deciden si un razonamiento es válido ó no. Disculpa pero no me vale como respuesta. Tendrá que haber unas reglas de tipo general porque sino algo se me queda bailando en el aire que no me encaja.

Vamos a ver consideremos los 10 axiomas que mostraste antes y aceptémoslos como válidos. Y tratemos hipotéticamente de programar una computadora para que partiendo de ese sistema lógico, con sus símbolos, etc la computadora pueda trabajar con ellos para deducir teoremas.

Digo yo que habrá que darle a la computadora algún método de trabajo para que, partiendo de ciertas cadenas, pueda obtener otras que serán los teoremas ¿no? ¿Como sabe la computadora que cadenas son válidas y cuales no? ¿como construye las nuevas cadenas a partir de las anteriores? Resumiendo ¿cuales son las reglas de inferencia? ¿Solo el Modus Ponens?

Yo creo que mi pregunta es clara pero hasta ahora nadie me ha contestado satisfactoriamente.

Saludos, Jabato. ;D

03 Agosto, 2010, 09:13 pm
Respuesta #62

Jabato

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Encontré este texto en Wikipedia que aclara un poco el asunto pero que deja demasiados flecos sin concretar:

Algunas de las reglas de inferencia más conocidas son:

En la lógica proposicional:

-Modus ponendo ponens
-Modus ponendo tollens
-Modus tollendo ponens
-Modus tollendo tollens
-Silogismo hipotético
-Silogismo disyuntivo

En lógica de primer orden:

-Regla de Generalización universal

Imagino que para la lógica de primer orden valen las de la lógica proposicional además de la regla de generalización universal, que no sé exactamente lo que dice, pero bueno al menos hay una regla.

Aunque realmente Wilkipedia las vende como algunas de las reglas de inferencia más conocidas, pero en mi modesta opinión este asunto debería quedar bien sentado y concretado para que no existan interpretaciones vagas y no se, lo veo poco preciso para ser algo en lo que fundamentar la matemática. Es probable que sea por desconocimiento propio pero me gustaría concretar y precisar al máximo este asunto, por salir de dudas claro.

Saludos, Jabato. ;D

03 Agosto, 2010, 09:20 pm
Respuesta #63

argentinator

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Analicemos algunos ejemplos en detalle, por favor.

En Wikipedia está explicada la lógica proposicional, pero está algo incompleto el material, y además creo que puede confundir las cosas porque es un ejemplo distinto al que estoy discutiendo. Igual pongo el enlace:

http://es.wikipedia.org/wiki/Lógica_proposicional

En la lógica de primer orden, las proposiciones no son necesariamente "objetos" de la teoría, sino de la "metateoría", aunque en ciertos libros lo he visto presentado de otra forma... y eso complica las definiciones y todo lo demás.



Lógica proposicional:

Tenemos una lista de símbolos:

\( S = \{\wedge,\vee,\sim{,\Rightarrow{,\Longleftrightarrow{,=,p,q,r,...}}}\} \)

He puesto variables p, q, r, ..., dando a entender que tengo tantas variables como yo quiera.
Esto se puede formalizar mejor, diciendo que las variables son \( p,p|,p||,p|||, \), etc., o sea, usando "palitos" como un "subíndice" n. Pero por ahora es más claro si usamos letras.

Hay dos caminos posibles, o se quitan  los símbolos \( \wedge,\vee, \) de la lista y se los pone como "metasímbolos", o sea, abreviaturas de alguna expresión, o se procura dar una axiomática que sea consecuente con esas "abreviaturas", o sea, que funcionen como uno espera.

Es claro que, formando cadenas de caracteres con los símbolos de S, se pueden formar cualesquiera combinaciones posibles: \( \wedge\Rightarrow r{\Rightarrow{p\Rightarrow{\sim{p\sim{}}}}} \)

Muchas de ellas no nos interesan, y las que sí interesan se de deben especificar mediante reglas gramaticales de un cierto lenguaje \( L \):

Lenguaje L para la lógica proposicional:

Se especifica mediante axiomas de "construcción":

(R1) Una letra aislada, como p, q, r, etc., se considera una expresión del lenguaje \( L \).
(R2) Si \( \phi \) es alguna expresión de L, entonces \( \sim \phi \) también es expresión válida en L.
(R3) Si \( \phi,\psi \) son expresiones de L, también lo son \( \phi\wedge\psi,\phi\vee\psi,\phi \Rightarrow{\psi,}\phi\Longleftrightarrow{\psi} \).
(R4) No se permiten otras maneras de generar expresiones de L.

También hay reglas para usar los paréntesis (), pero no las voy a poner.
Tan sólo vamos a usar los paréntesis en la medida que sea conveniente para que las expresiones se entiendan mejor.

Así que p, q, r, etc. son expresiones.
Y luego a partir de ellas vamos "construyendo" las demás, mediante las reglas (R2) y (R3).
Por ejemplo: \( p\Rightarrow{(\sim{q\wedge r})} \).

Ahora bien, esas expresiones del lenguaje L son cosas que uno puede escribir, nada más.
No significa esto que sean demostraciones de nada, ni que tengan valor verdadero o falso.
No son más que reglas que nos permiten formar frases de L.
Esas frases pueden ser cosas con sentido o no, ciertas o no, demostrables o no.
Eso se establece después.



Axiomas para la lógica proposicional:

Según Wikipedia, son sólo 3, y voy a tomar esos, aungue voy a tener que agregar otros más para darle sentido a las operaciones \( \wedge,\vee,\Longleftrightarrow{} \).
Habría que agregar axiomas para las demás operaciones (también los saco de Wikipedia):

http://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_calculus

Supongamos que \( \phi,\psi,\chi \) representan expresiones válidas en L.

(1) \( \phi\Rightarrow{(\psi\Rightarrow{\phi})} \)
(2) \( (\phi\Rightarrow{(\psi\Rightarrow{\chi}})\Rightarrow{((\phi\Rightarrow{\psi})\Rightarrow{(\phi\Rightarrow{\chi})})} \)
(3) \( (\phi\wedge\chi)\Rightarrow{\phi} \)
(4) \( (\phi\wedge\chi)\Rightarrow{\chi} \)
(5) \( \phi\Rightarrow{(\chi\Rightarrow{\phi\wedge\chi})} \)
(6) \( \phi\Rightarrow(\phi \vee\chi){} \)
(7) \( \chi\Rightarrow(\phi \vee\chi){} \)
(8) \( (\phi\Rightarrow{\psi})\Rightarrow{(\chi\Rightarrow\psi) \Rightarrow(\phi\vee\chi}\Rightarrow{\psi})} \)
(9) \( (\phi\Rightarrow{\chi})\Rightarrow{(\phi\Rightarrow\sim{}\chi) \Rightarrow(\sim\phi)} \)
(10) \( \phi\Rightarrow{(\sim{\phi}\Rightarrow{\chi})} \)
(11) \( \phi\vee\sim\phi \)

Y también hay axiomas para la flechita doble \( \Longleftrightarrow{} \), pero no los voy a escribir porque me cansé.
En todo caso, considerémoslo un "metasímbolo" que abrevia una expresión de la forma:
\( (\phi \Rightarrow{\psi})\wedge(\psi\Rightarrow{\phi}) \).

Estas letras \( \phi, \psi, \chi \), obviamente no son "símbolos" de L, porque no figuran en la lista S que pusimos arriba. Se toman, tan sólo, como una "abreviatura" o algo por el estilo, en el "metalenguaje".
O sea, sirven para "entendernos entre nosotros".
O sea, en realidad estamos dando infinitos axiomas, no sólo 3.
Supongamos que \( \phi\equiv{(p\Rightarrow{q})}, \psi\equiv{(\sim r)} \).
Entonces una "instancia" del axioma (1) sería
\( (p\Rightarrow{q})\Rightarrow{(\sim r\Rightarrow{(p\Rightarrow{q})})} \)

Mas, hay infinitas posibilidades para \( \phi,\psi \), y en vez de enumerarlas una por una, se usan "axiomas esquemáticos" como (1), (2) y (3).
Espero se entienda ahora que \( \phi,\psi \), son parte del "metalenguaje".
Quieren decir que, por cada caso posible de expresión válida \( \phi,\psi \), valen los axiomas de arriba.



Reglas de Inferencia:

Se supone que tenemos una lista de expresiones escritas, digamos, una debajo de la otra, tal que todas ellas, o son algún axioma sacado de la lista (1) a (11), o bien se han "demostrado" mediante las reglas de inferencia.

Sólo hay una regla:

(Modus Ponens) Si en la lista de proposiciones tenemos \( \phi \), y también \( \phi\Rightarrow{\psi} \), entonces podemos agregar a la lista la expresión \( \psi \).

Esto se escribe abreviadamente "en el metalenguaje", así:

(Modus Ponens) \( \phi, \phi\Rightarrow{\psi}\vdash \psi \)

El símbolo \( \vdash \) es una abreviatura de "si... entonces...".
Podemos decir: Si \( \phi \) y \( \phi\Rightarrow{\psi} \) entonces \( \psi \).

Una demostración es una lista de expresiones de L (finita, por si alguien pregunta), que contiene, o bien axiomas, o bien expresiones obtenidas mediante Modus Ponens.

La última expresión de la lista es la "conclusión" o teorema.



Hasta ahora, todo lo anteriore es meramente "formal", sintáctico.
No ha habido ocasión de preguntarse por los valores de verdad.

Supongamos que sólo vamos a considerar dos valores de verdad: 1 = verdadero, y 0 = falso.

A las proposiciones de arriba no podemos asignarle "un único" valor de verdad.

El valor de verdad de una expresión de L es algo que uno puede elegir.
Doy un ejemplo, y los demás los hacen ustedes.

(V1) Si \( \phi, \psi \) valen "1", entonces a la expresión \( \phi\wedge\psi \) se le asigna el valor "1". En otro caso, se le asigna el valor "0".
(V2) A las expresiones "atómicas" p, q, r, etc., se les asigna alguno de los valores "0" o "1", pero no se especifica cuál.

A partir de ahí, y de definiciones similares para los demás conectores \( \sim{,\vee,\Rightarrow{,}} \), podemos asignar un valor "0" o "1" a cualquier expresión del lenguaje L.

Sin embargo, tenemos que darnos cuenta de que a las variable p, q, r, ... les podemos asignar distintos valores de verdad.

Cada asignación de valores de verdad es una "interpretación" del lenguaje L.
Por ejemplo, \( p \equiv{"0"}, q \equiv{"1"}, r \equiv{"0"} \), sería una de las tantas interpretaciones.
El valor de verdad de todas las proposiciones de L dependerá de estos.

Sin embargo, la gracia está en que, para cualquier "interpretación", tanto los axiomas lógicos como las expresiones que han sido "demostrados" con la regla "modus ponens", tengan siempre valor de verdad "1".

Pero esto ya corresponde a la "semántica".
O sea, la interpretación de un sistema axiomático se llama "semántica".



Sin embargo, este ejemplo de la lógica proposicional es distinto en apariencia del de la lógica de primer orden...
Mas los elementos que figuran siempre son estos: símbolos, reglas de un lenguaje, axiomas lógicos, reglas de inferencia (puede haber varias), semántica o interpretación.

Un sistema axiomático lógico es "bueno" si para toda "interpretación" en que los axiomas son verdaderos (se les asignó valor "1"), las expresiones demostradas (Teoremas) siempre valen "1" también.




03 Agosto, 2010, 09:25 pm
Respuesta #64

argentinator

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Yo creo que mi pregunta es clara pero hasta ahora nadie me ha contestado satisfactoriamente.


La primera vez que preguntaste no había entendido cuál era exactamente tu duda, ni siquiera si era una duda o parte de una argumentación.

En el post anterior te doy un ejemplo de cómo se trabaja en lógica actualmente, usando la lógica proposicional

La lógica de primer orden es distinta, y como hay ciertas "diferencias" en las distintas fuentes que estoy consultando, y además hay "complicaciones" en la mera definición (funtores y otros entes extraños), preferí olvidarme por un rato de eso.

Pues entiendo lo que hacen, pero explicarlo es largo y laborioso.

Encontré este texto en Wikipedia que aclara un poco el asunto pero que deja demasiados flecos sin concretar:

Algunas de las reglas de inferencia más conocidas son:

En la lógica proposicional:

-Modus ponendo ponens
-Modus ponendo tollens
-Modus tollendo ponens
-Modus tollendo tollens
-Silogismo hipotético
-Silogismo disyuntivo

En lógica de primer orden:

-Regla de Generalización universal

Imagino que para la lógica de primer orden valen las de la lógica proposicional además de la regla de generalización universal, que no sé exactamente lo que dice, pero bueno al menos hay una regla.

Aunque realmente Wilkipedia las vende como algunas de las reglas de inferencia más conocidas, pero en mi modesta opinión este asunto debería quedar bien sentado y concretado para que no existan interpretaciones vagas y no se, lo veo poco preciso para ser algo en lo que fundamentar la matemática. Es probable que sea por desconocimiento propio pero me gustaría concretar y precisar al máximo este asunto, por salir de dudas claro.

Saludos, Jabato. ;D

Bueno, Wikipedia es lo que es.
Yo la uso para tener algo a mano, pero hay que sabe qué usar y qué no.

En cuanto a la regla de "generalización", en efecto, es una segunda regla de inferencia que se usa en la lógica de primer orden.
Pero en realidad "no es necesaria", basta el "modus ponens" y algún que otro axioma lógico que "comense" y ya está...

Modus ponens: sólo él.

03 Agosto, 2010, 09:34 pm
Respuesta #65

Jabato

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Bien, bien, no te esfuerces más, ya quedó claro que existen las reglas de inferencia y también sé hasta donde se puede llegar con Wilkipedia y como usarla, ya sé que suele dar una visión bastante simple de los temas, pero en principio válida para ir avanzando. Y ahora sigamos avanzando. Ese que pusiste es un ejemplo pero podría haber otros imagino.

¿Puede haber más de un conjunto de reglas de inferencia? (... SI)

¿Cualesquiera conjunto de reglas de inferencia es válido? (... NO)

¿Porqué unos son válidos y otros no? (... ?)

Saludos, Jabato. ;D

03 Agosto, 2010, 09:42 pm
Respuesta #66

argentinator

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¿Cualesquiera conjunto de reglas de inferencia es válido?

¿Porqué unos son válidos y otros no? (... ?)


En realidad cualquier lista (fijate que no uso la palabra "conjunto" porque me pone nervioso) de reglas de inferencia es válida.
No hay ningún criterio.

A lo sumo, uno puede analizar qué pasa al aplicar esa regla de inferencia.

Eso depende qué axiomas lógicos haya.
Si entre los axiomas no hay "negaciones", no hay modo de deducir contradicciones. ¿Qué regla de inferencia puede ser considerada "mala"?

Ahora, supongamos que sí hay "negaciones".
Si vemos que una regla de inferencia permite deducir de una expresión \( \phi \) a su negación \( \sim{\phi} \), entonces algo está mal.

Pero en principio no sabemos qué es lo que está "mal".
¿La regla de inferencia está mal?
¿O la lista de axiomas está mal?

A veces los problemas están en los axiomas.
Quitando un axioma "vicioso", la teoría completa queda "consistente" sin cambiar la regla de inferencia.
¿No?






03 Agosto, 2010, 09:50 pm
Respuesta #67

Jabato

  • Visitante
Bien pero el punto a donde yo quería llegar ya lo has citado, en principio cualquier lista de símbolos, cualquier lenguaje, cualquier lista de axiomas y cualquier lista de reglas de inferencia podría valer. Todos salvo aquellos que conduzcan a contradicción:

\( \phi \rightarrow{}\sim\phi \)

¿Voy bien encaminado?

Saludos, Jabato. ;D

03 Agosto, 2010, 09:53 pm
Respuesta #68

argentinator

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Citar
Os repito que esas preguntas son las que intento responder Wittgenstein. No quiero ser pesado pero en serio que este debate empezaría a dar sus frutos si lo estudiáramos cuanto más posible.


Bueno Alexey, no nos retes, ya vamos a leer el libro.
Yo recién voy por la introducción.
Mientras tanto, hablamos de lo que sabemos hasta ahora.
Después veremos si Wittgenstein ayuda realmente o no.

Citar
Lo que buscamos con la lógica por tanto es la base que nos permite tener nuestra forma de ver el mundo. Si cambiáramos algún axioma de la lógica o de la teoría de conjuntos desarrollaríamos nuevas matemáticas con las cuales habría otras formas de analizar los fenómenos o incluso predecir otros. Seguramente hayamos descartado todas las posibles gracias al hecho de que nuestra visión del mundo es una muy concreta y otra lógica no tiene lugar en nuestra visión. Es como cuando nació la geometría de Lobachevsky con tan solo cambiar un axioma (el de las paralelas) de la geometría de Euclides. Ese axioma nos parece evidente e imposible de refutar, pero si le damos otra forma (que en principio parecerá no tener cabida en nuestro mundo) como la que le otorgaron los nuevos matemáticos se puede construir toda una nueva geometría que explique muchas cosas de nuestro entorno y permita a nuestra mente expandir su cosmovisión.

Esto nos lleva a una duda importante: ¿todos los seres pensantes (perdonan esta jerga pero no siempre se encuentran palabras adecuadas) desarrollarían unos axiomas lógicos como los nuestros? es mas, ¿todas las culturas comparten los mismos axiomas de la lógica? Numerosos antropólogos investigan en esta línea y creen que no. Solo la cultura occidental puede ver estos axiomas lógicos (hoy en día se considera que occidente se extiende por toda la tierra y son pocas las culturas que no han entrado en choque con esta).

Ahí esta el meollo de la cuestión.

Y sí, yo cuestiono a la lógica de la misma manera, admitiendo que hay muchas otras posibilidades, y que no se sabe por qué se usa siempre una y la misma.
Incluso hasta me he planteado las mismas imaginaciones con extraterrestres, otras mentes, y todo eso.
O sea que ya somos dos.


Citar
Este ultimo axioma debe ser indiscutible o todo nuestros razonamientos se vendrían abajo ya que todos tendrían su raíz en el. Seria como una formula todo poderosa y omnipresente en nuestro mundo. Quizás sea el Dios al que los científicos ateos (entre los que me incluyo) tendemos en creer. Es como la teoría del todo.

Bueno, no sé, mis dudas a este respecto no van tan lejos.
No me interesa encontrar "el axioma" fundamental y básico de todo.

Tan sólo me conformo conque los libros de lógica y teoría de modelos tengan claro cuál es el razonamiento que ellos mismos están empleando, tomen recaudos, vayan despacio, y no se tomen a la ligera estas "circularidades" que he mencionado.

No estoy cuestionando la verdad última, sino las metodologías actuales en el campo de investigación en lógica.

Que yo llegue a descubrir o aclarar cuál es el "axioma de todo" no cambia el hecho de que los libros de lógicas están, desde mi punto de vista, mal escritos.
Porque seguirán estando "mal escritos" (desde mi punto de vista).

Así que, o ellos cambian su manera de abordar el discurso "metalógico", o yo me reconcilio con ellos descubriendo que lo que hacen está justificado de alguna forma.
O bien desarrollo una teoría mejor.



03 Agosto, 2010, 10:00 pm
Respuesta #69

argentinator

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Bien pero el punto a donde yo quería llegar ya lo has citado, en principio cualquier lista de símbolos, cualquier lenguaje, cualquier lista de axiomas y cualquier lista de reglas de inferencia podría valer. Todos salvo aquellos que conduzcan a contradicción:

\( \phi \rightarrow{}\sim\phi \)

¿Voy bien encaminado?


Yo diría que sí, pero ocurre que incluso eso de "evitar las contradicciones" es algo que no está claramente definido.
Es algo que "los lógicos procuran hacer".
Y lo hacen así: se preguntan si entre todas las expresiones demostrables hay alguna contradicción.

Pero eso no quita que ese sistema lógico autocontradictorio no puede definirse.
De hecho, se lo definió, se lo estudió, y después se concluyó que "contiene una expresión contradictoria".
La consecuencia de eso es que es un sistema que a los lógicos les cae "antipático".

Se les dan nombres, y todo eso.

Pero ocurre que también se demuestran "metateoremas" que tienen que ver con la "existencia de contradicciones".
Son los teoremas de consistencia.

Un "sistema lógico" es "consistente" si y sólo sí, bla bla blah.

En particular, no se sabe si la aritmética misma es "consistente".
Es algo que no se puede demostrar.
Así que estamos fritos.

Aunque la lógica de primer orden sí se ha probado que es consistente,
al agregarle los axiomas de peano ya no se puede asegurar consistencia...
Pero todo esto es muy sutil, es el teorema de Godel, y aún no lo manejo con la debida destreza.

Como sea, ¿cómo se han "demostrado" esos resultados de "consistencia"?
Pues bien, "razonando". ¿Con qué lógica? Mmmm Esa es la cuestión.


03 Agosto, 2010, 10:07 pm
Respuesta #70

argentinator

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O sea, ahora ya estamos "hablando" del sistema axiomático (1) a (11), del lenguaje L, etc., todo ese rollo que escribí en el post de antes.

Pero al "hablar" de esa "teoría" estamos haciendo "metateoría", porque estamos usando otro lenguaje para decir cosas sobre el lenguaje L y sus axiomas.
No usamos al L mismo.

Si dijéramos que usamos "la misma lógica" que L, estaríamos haciendo "interpretaciones" de L en nuestro lenguaje.
Pero estaríamos, pues, extrayendo conclusiones de L usando al mismo L, vía una interpretación intermedia.

No es que no pueda hacerse... pero si yo hablo de otra lógica, L2, ¿la estudio con L o con L2?
¿Con qué hago la "metateoría"?

La metateoría se hace "en lenguaje natural", pero inevitablemente aparecen "razonamientos" y "números naturales".
Para mí esto es una "petición de principio" encubierta.

Estoy usando la rueda para inventar la rueda.


03 Agosto, 2010, 10:19 pm
Respuesta #71

Jabato

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Sí, es claro que tienes razón, pero sospecho que si quieres resolver esa cuestión tendrás que inventar el "metalenguaje", un lenguaje que fuera válido para la lógica en general, para cualquier tipo de lógica y que nos permitiera hablar de lógica sin recurrir a ninguna lógica en particular. Y por lo que yo sé eso aún no existe. Tendremos que usar el lenguaje natural en ausencia de otro más preciso. Digo yo.

Saludos, Jabato. ;D

03 Agosto, 2010, 10:28 pm
Respuesta #72

argentinator

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A mí me han dicho que sí se puede formalizar el metalenguaje, pero en realidad nunca lo he visto hasta ahora escrito en algún texto.

En todo caso, la cuestión es la misma, porque para razonar sobre el metalenguaje se necesita una "metametalenguaje", y así sucesivamente, en forma infinita, y hacia "atrás".

O sea, no habría punto de partida.

Y supongo que es por eso que hay que resignarse a usar, en algún momento "el lenguaje natural".

Pero aún así, formalizando el metalenguaje, prevalecen los mismos problemas.
Porque los métodos no diferirían mucho de los que ya existen.
Las situaciones son análogas: ¿qué lógica usar en los metametarrazonamientos para justificar los metateoremas? ¿puedo usar números naturales para "contar" o "poner subíndices"? Y así por el estilo.

Se necesitaría, digo yo, que haya un método válido de razonamiento "universal", quizá "intuitiva", que no amerite formalización alguna.
Y también se necesitaría una versión "intuitiva" de número, no formalizada.
Tal sería el caso de la versión intuicionista de los números.

Las mismas cosas aparecen una y otra vez.

Además, para "generar" la teoría del lenguaje de primer orden se necesita de un metalenguaje bastante complejo, así que no sé si hay salida de todo esto.


03 Agosto, 2010, 10:32 pm
Respuesta #73

argentinator

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Tendremos que usar el lenguaje natural en ausencia de otro más preciso. Digo yo.


Y sí... esa es la situación, pero entonces ¿a qué se redujo la ciencia? ¿A la imprecisión del lenguaje natural? ¿No era eso lo que estábamos evitando con toda la matemática y la lógica?
Eso es lo que me molesta de todo esto.

Estoy leyendo por ejemplo "Foundations of Mathematical Logic" de un tal Haskel Curry.
Se puede bajar de Gigapedia.
Cuando empezás a leerlo dice cosas como: "Y bueno, todo queda expresado en el lenguaje natural (...) y es cierto que esto puede ser impreciso, pero más o menos lo vamos perfeccionando, como toda cosa humana que es perfectible (...)".

(Sería del capítulo 2 en adelante, que el 1 es sólo introductorio e intuitivo).

En eso se basan los fundamentos de la "lógica" moderna.
Es terrorífico.
Aunque es del año 1976. Ý me faltan muchos textos que leer, y más modernos, en los que quizá las cosas se hagan un poco mejor... Pero lo dudo.

04 Agosto, 2010, 12:34 am
Respuesta #74

Jabato

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Entiendo, lo que parece que es imposible es la construcción de un sistema lógico sin recurrir al menos a otro sistema lógico, lo que nos lleva a la pescadilla que se muerde la cola, ó en algún momento al lenguaje natural, y eso es lo que te reconcome por dentro, ¿es así?

Saludos, Jabato. ;D

04 Agosto, 2010, 02:20 am
Respuesta #75

argentinator

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04 Agosto, 2010, 08:30 am
Respuesta #76

Cristian C

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Hola a todos.
Comparto el desasosiego intelectual de argentinator con estos temas.
Esta es mi opinión al respecto.

Si bien podemos concebir esa regresión sin fin de metalógicas para fundamentar lógicas, pienso que no es necesaria ni útil. La cadena tiene un principio; humilde y basto como una roca sin pulir, pero principio al fin: nosotros, yo.

La lógica es un intento de abstraer los procesos que ejecutamos cuando razonamos. La acción de razonar es un hecho subjetivo. Yo no sé como razonas tú y tú no sabes como razono yo, porque ni yo puedo “ver” tus ideas ni tu puedes “ver” las mías.

Para que las ideas se tornen visibles a los demás, es necesario representarlas mediante objetos lingüísticos, esto es, mediante un lenguaje. Lo elementos del lenguaje son físicos (un garabato, un sonido) y todos los pueden ver. Mediante estas representaciones físicas de las ideas, podemos descubrir cuales son las características de nuestro razonamiento que son comunes a los demás individuos. Podemos abstraerlas y registrarlas como un conjunto de reglas.

Pero ese proceso de socialización del conocimiento de las habilidades racionales, nunca será cien por ciento segura (jamás podremos saber si todos los individuos razonan siguiendo el mismo esquema). Frente a esto, lo único que se puede hacer es elegir la lógica que más consenso tenga, esto es, aquella donde exista más acuerdo respecto a su capacidad de abstraer las reglas del razonamiento humano.

Esta elección de LA logica, tampoco es un asunto resuelto. Las lógicas utilizadas se irán modificando con el tiempo conforme vayamos desentrañando mejor nuestro comportamiento racional. Y aun es posible que esas capacidades racionales humanas vayan cambiando con el tiempo y que sea necesario adaptar las lógicas una y otra vez, cono se hace con las teorías en las ciencias empíricas.

En resumen, veo a la lógica como un intento de normalizar nuestras habilidades racionales. Y estas últimas son el punto de partida de la cadena.

Naturalmente, una vez que se ha hecho abstracción de un sistema lógico, uno empieza a probar cambiándole cosas para ver que ocurre. Así, se obtienen otros sistemas de reglas no triviales (por ejemplo, una lógica trivial sería una que nos permite demostrar que todos los enunciados tienen el mismo valor de verdad), otras lógicas, parecidas a la lógica que normaliza nuestro razonamiento, pero no exactamente iguales. Puede pasar que esas otras lógicas sean tan distintas de la lógica que describe nuestro razonamiento, que no tengamos dudas de que se trata de unas estructuras interesantes pero distintas de nuestro razonamiento, unos meros constructos artificiales.
Pero también podría ser que esas otras lógicas sean tan parecidas a la consensuada, que no quede claro cuál de las dos representa mejor a nuestro razonamiento.

En todo caso, creo que la única guía para elegir qué lógica representa mejor nuestra actividad racional es el consenso y el estudio de los especialistas. Es una conclusión un tanto decepcionante para un matemático, pero creo que es la conclusión correcta. Y es decepcionante porque uno siempre tendrá derecho a no consensuar. Y siempre habrá quien polemice. En mi opinión, esta discrepancia residual es inevitable e irresoluble. Y decepcionante.

El punto de partida para una lógica es pues nuestro intelecto y su naturaleza.

Esto se puede ver cuando hacemos el viaje de argentinator:

En cuanto intentamos estudiar la lógica usual desde “afuera” nos sorprendemos a nosotros mismos utilizando de facto la lógica usual (la lógica y otros elementos primarios como los números naturales). Eso se debe a que la lógica usual ha realizado denodados esfuerzos por parecerse a nuestra forma natural de razonar correctamente. Podemos desprendernos de la lógica normalizada, pero no podemos desprendernos de nuestros hábitos racionales naturales. Y no es posible razonar sin razonar.

Saludos. 
Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.

04 Agosto, 2010, 08:54 am
Respuesta #77

argentinator

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Podemos desprendernos de la lógica normalizada, pero no podemos desprendernos de nuestros hábitos racionales naturales. Y no es posible razonar sin razonar.


Sí, todo lo que has dicho parece muy razonable, y es posible que yo también haya pensado cosas similares alguna vez, así que se podría decir que compartimos algunas ideas.

Pero esto último que has dicho, que es tan natural, pareciera que no se toma debidamente en cuenta en los textos de lógica, y simplemente los autores "usan" el razonamiento que tienen como "hábito".

Lo lamentable de eso es que dan por sentado que cualquier persona que lee un tal libro comparte dichos hábitos, o que está de acuerdo, o que no se los cuestiona.

Aceptar las cosas así nada más, por consenso, o por costumbre, no me parece para nada científico.

Me parece que hace falta una actitud más cuidadosa, no sólo "decidirse por alguna lógica que más o menos funcione".
Aún así, lo grave es "ni siquiera mencionar" que se está haciendo cosa semejante.

Y más grave es que cuando en los "metateoremas" aparecen "cardinales de la teoría de conjuntos".
¿En qué están pensando cuando hablan del cardinal de algo, ya sea un conjunto de símbolos, proposiciones, o el "modelo" que se usa en el "costado semántico" para alguna interpretación?

Yo sé que esos resultados son muy lindos e interesantes, pero hay demasiadas cosas en el aire.
No es sólo un problema de qué lógica se usa, sino de por qué se usan resultados potentes de la teoría de conjuntos y la lógica, sin una debida "autorización" o el debido cuidado.

Gracias Cristian por meterte por acá, y  soportar este calvario.    ;)

04 Agosto, 2010, 09:39 am
Respuesta #78

Fernando Revilla

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Comparto en esencia las ideas de Cristian C. Con respecto a lo siguiente:

El punto de partida para una lógica es pues nuestro intelecto y su naturaleza.

El profesor de Lógica José Fernández-Prida decía que nunca se debía olvidar que para construir la "Lógica" estábamos pensando de manera lógica. ¿De qué manera?.

No obstante comento dos cosas concretas:

(i) Respecto al sistema formal \( L \) del cálculo de enunciados nuetra creencia en su "potencia y veracidad"  no debería ser nunca porque lo han dicho los especialistas en Lógica. Lo es porque cualquier humano tiene la capacidad de entender (independientemente de su intelecto) que es consistente y con los axiomas iniciales y la regla de deducción, los teoremas son exactamente las tautologías.

(ii) Respecto al sistema formal \( K_{\mathcal{L}} \) del cálculo de predicados nuetra creencia en su "potencia y veracidad" no debería ser nunca porque lo han dicho los especialistas en Lógica. Lo es porque cualquier humano tiene la capacidad de entender (independientemente de su intelecto) que es consistente y con los axiomas iniciales y las reglas de deducción, los teoremas son exactamente las fórmulas logicamente válidas (aquellas verdaderas en cualquier interpretación).

Como ya comenté otras veces estos dos sistemas, satisfacen a los paladares intelectuales más exquisitos independientemente del intelecto inicial y su naturaleza. ¿Ha habido alguna polémica al respecto?. Sería absolutamente inaceptable.

Otro asunto es cuando aparecen las matemáticas. Asunto no resuelto e intuyo que nunca lo será. Espero que de alguna manera esto sirva como bálsamo para argentinator, pero claro argentinator es un rebelde con causa.  :laugh: 

04 Agosto, 2010, 10:24 am
Respuesta #79

Jabato

  • Visitante
Hay una cuestión interesante en todo esto, me explico. Sabemos que son posibles distintas lógicas y que todas ellas deben satisfacer al menos el Principio de no contradicción. La pregunta del millón es si con todas ellas deberíamos poder construir los números naturales y en consecuencia conducirnos a las mismas matemáticas que ya conocemos ó si existe la posibilidad de que en algún caso eso no sea así.

La conclusión sería alucinante, si con cualquier lógica posible (que no sea contradictoria) debieramos poder contruir la matemática tal y como la conocemos hoy en día entonces tendríamos ya a nuestra disposición la herramienta que busca nuestro amigo argentinator y se habrían consolidado los pilares de la ciencia, y si en caso contrario fuera posible la construcción de otras matemáticas distintas a las que ya conocemos hoy entonces ... ¿como serían? Yo creo que esta última opción no debiera ser posible, que solo es posible una única matematica, aunque claro, a ver quien es el guapo que lo demuestra.

El caso de la lógica no standard es un caso especial, creo, porque lo que hace es potenciar la matemática actual, de manera que permite la construcción de una matemática como la que tenemos hoy en día y añade algo más que son los números infinitos e infinitesimales, pero debe considerarse que contiene también a los números naturales y en consecuencia no modifica nada de lo que ya tenemos.

Saludos, Jabato. ;D