Autor Tema: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

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07 Noviembre, 2011, 02:56 am
Respuesta #580

Garubi

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Creí que ya habíamos acordado que bastaría con una refutación en ZFC que se ubicase entre a) y b). Lo que dices a argentinator supone volver a poner la burra de los teoremas detrás del carro de los axiomas, y acordamos -o eso creo- que había que ceñirse a la lógica clásica:

Entiendo que hay que actuar clásicamente, y poner unos axiomas al principio, los llamados axiomas de ZFC, y poner el teorema de Cantor después y considerarlo una derivación posterior, para poder refutarlo.
Si no actuamos así, no creo que se pueda refutar nada en ninguna teoría.


Vale. Pero si quieres refutar el teorema de Cantor en ZFC y pretendes apoyarte en que \( \mathbb{N} \) es un conjunto de partes, primero tendrás que demostrar esto en ZFC, pues de lo contrario tu "refutación" no estará en ZFC y no habrás logrado tu objetivo, que era encontrar una contradicción en ZFC.

No entiendo lo que me dices. El "vale" que me subrayas dice que estoy de acuerdo en que el teorema de Cantor es una derivación de los axiomas de ZFC. No sé qué es eso que habíamos acordado y de lo que, al parecer, me he retractado.

Lo único que le he dicho a argentinator es que tú pretendes demostrar una contradicción en ZFC, pero que lo cierto es que hasta ahora no has presentado ninguna demostración en ZFC de una contradicción, junto con mi convicción de que si lo haces, tendrá sin duda un fallo evidente, por la misma razón que si me escribe alguien con una demostración del teorema de Fermat en dos líneas (caso verídico) no necesito leer las dos líneas para saber que tienen un fallo.


En tu último mensaje a argentinator le dices que será muy fácil descabalgarme de mi eventual demostración porque indefectiblemente incurriré en uno de tres errores en la formalización del eventual argumento:

a) Contradecir uno de los axiomas de ZFC
b) Contradecir uno de los teoremas de ZFC
c) Contradecir alguna derivación lógica de los axiomas o los teoremas de ZFC

Yo digo que habíamos acordado previamente que sería suficiente dar la prueba en estos términos: que pudiese derivarse de los axiomas.
Es decir, que entiendo que si ZFC es contradictorio, pedir que la prueba verifique además las derivaciones de los axiomas (lo que recoges en los puntos b) y c)) sería pedirle demasiado.

Un saludo.
La esfera es un cubo romo

07 Noviembre, 2011, 07:01 am
Respuesta #581

Cristian C

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Hola Carlos:

Primero quiero hacer una analogía para asegurarme de que he comprendido, en términos generales, cómo conceptualizas la intuición.

Del mismo modo como tenemos cabeza tronco y extremidades, tenemos intuiciones. Del mismo modo que nuestros brazos o piernas son de cierta manera y no de otras, nuestras intuiciones son de cierta manera y no de otras. Del mismo modo como las partes de nuestro cuerpo son un hecho, lo son las intuiciones, aunque, tal vez, estas últimas son más difíciles de reconocer porque viven en nuestra mente y no se perciben por los sentidos sino por la introspección.

Visto así, no tiene sentido decir de una intuición (acto de intuir) que es verdadera o falsa, como no tiene sentido decirlo de una pierna. Y del mismo modo como podemos preguntarnos cuál ha sido el proceso formador de nuestro cuerpo, tal como es; podemos preguntarnos cuál ha sido el proceso formador de nuestra intuición, tal como es. Pero nada en esa investigación sobre la génesis refutará que tenemos piernas ni lo que podemos hacer con ellas, como no refutará que tenemos tales o cuales intuiciones ni lo que podemos hacer con ellas. Para saber lo que hacen las piernas, lo mejor es utilizarlas y ver lo que hacen. Del mismo modo, para saber lo que podemos intuir, lo mejor es “observar” qué y cómo intuimos. Pero ahora observar significa realizar una introspección para ver cómo funciona nuestro pensamiento. Es lo que hacemos, por ejemplo, para enterarnos si podemos o no podemos concebir dos paralelas que se corten en un punto.

Del mismo modo como nuestros cuerpos no son todos iguales sino que difieren en innumerables detalles, podemos presumir que no todos intuimos exactamente de la misma manera. Pero del mismo modo como reconocemos un grueso núcleo de atributos comunes a todos los cuerpos humanos, podemos presumir que existe un grueso núcleo de intuiciones comunes a todos nosotros. Sin embargo, para reconocer muchas de nuestras diferencias físicas, basta con la mera observación. En cambio, para reconocer siquiera una diferencia intuitiva entre solo dos personas, es necesario un nutrido intercambio de ideas entre ellas lo suficientemente profundo como para llegar a un alto nivel de sutileza, que es donde esas diferencias podrían comenzar a notarse. Si por el contrario, queremos encontrar intuiciones comunes, bastará con un intercambio comunicacional mucho menos exigente. Esto es, resulta casi inmediato constatar la coincidencia de intuiciones y harto trabajoso constatar eventuales diferencias.

(Esta analogía entre partes del cuerpo y la intuición no es tan sorprendente si aceptamos -siguiendo a Crick, por ejemplo- que debe existir un mecanismo biológico de nuestro desempeño mental.)

Ahora deseo introducirme en algunos detalles de nuestro último intercambio. Allí afirmé:

Citar
Yo puedo intuir un plano, puedo intuir una recta y puedo intuir un punto, pero no puedo intuir, por ejemplo, todos los  puntos de una recta. Cuando lo intento reconozco que siempre se me está escapando una porción indeterminada de ellos y no me reconozco ninguna capacidad intuitiva de  ir representándomelos a todos, cosa que sí puedo hacer con los números naturales.

También puedo intuir lo que representa que por un punto de una recta pase un único plano perpendicular a ella.

Ahora consideremos la siguiente afirmación de la geometría euclidea: Por cada punto de una recta, pasa un único  plano perpendicular a ella.
Haciendo introspección verifico que realmente puedo intuir esto, así, en general, para todo punto de una recta
.

Y quiero centrarme en la afirmación que he resaltado porque luego de leerte, la he revisado con mucho más cuidado para ver si realmente describe lo que intuyo.

La afirmación en cuestión dice dos cosas:

1. Por cada punto de una recta, pasa un plano perpendicular a ella.
2. Ese plano es único.

Lo que hago para intuir lo primero no es lo mismo que lo que hago para intuir lo segundo. Voy a hablar laxamente para describir como intuyo cada cosa:
Yo imagino un alambre delgadísimo y recto con extremos indefinidos que pincha a una lámina muy fina y plana con límites también indefinidos y que es perpendicular al alambre. (En rigor, no me es posible intuir ni una recta infinita ni un plano infinito pero esto no es atinente a lo que voy a decir. Podemos suponer que imagino la situación solo para un segmento del alambre). Me paro en un extremo del segmento, verifico que el plano es perpendicular al alambre y lo hago correr hasta el otro extremo sin variar la inclinación. Este experimento imaginario me convence de 1, esto es, de que por cada punto del segmento pasa un plano perpendicular a ella. Puedo recorrer en mi mente todo el segmento con el plano y esto me convence de que el plano ha pasado por todos los puntos del segmento. Mi intuición no necesita pararse punto por punto para eso.

Ahora vamos a la segunda parte de la afirmación: “ese plano es único”. Para intuir esto, yo necesito pararme en un punto y jugar allí con otros planos distintos para convencerme de que solo hay uno perpendicular al alambre. Yo me doy cuenta que esto sucederá cada vez que me pare en un punto, para cualquier punto que pueda concebir. Pero no me puedo parar en todos los puntos y no puedo intuir la unicidad con el plano en movimiento. La unicidad del plano perpendicular la intuyo solo con el plano detenido, en cambio, la existencia de un plano perpendicular la puedo intuir con el plano moviéndose de un extremo a otro del segmento.

De esta reflexión me convenzo de que:
1. Puedo intuir que por todos los puntos de una recta, pasa un plano perpendicular a ella
2. Puedo intuir que por todos los puntos que pueda concebir de una recta, pasa un único plano perpendicular a ella
Que modifica sutilmente lo que he afirmado en mi post anterior.


En un intento por engañar a mi intuición, podría decir que puedo imaginarme a mi mismo intuyendo la unicidad en cada punto, conforme el plano viaja de un extremo al  otro sin detenerse y decir entonces que podré intuir la unicidad en cada punto y que por eso, realmente no necesito hacerlo. Pero ¡ay! ¿Puedo considerar la intuición de mis intuiciones como una intuición de la unicidad del plano perpendicular? En este punto ya debo decirte que no estoy en la condición que tu planteas: “cuando uno intuye algo, no tiene dudas de que lo está intuyendo”

En otro intento por burlar lo que mi intuición no me deja hacer (y siguiendo tu explicación), podría decir: si puedo intuir la unicidad en un punto cualquiera, y puedo intuir que las condiciones relevantes al caso son idénticas en todos los puntos, entonces puedo intuir la unicidad para todos los puntos. Pero esto es una mera inferencia, y una intuición debe concebirse porque simplemente está allí y no porque ha sido inferida de otras. La verdad es que yo puedo intuir la unicidad en un punto, puedo intuir que las condiciones son las mismas en todos los puntos pero no puedo intuir la unicidad para todos los puntos porque solo puedo intuirla cada vez que me detengo y no puedo intuir que me detengo en todos los puntos.


Claro, tu podrías decirme “yo sí puedo intuir la unicidad con el plano en movimiento de un extremo a otro, sin tener que detenerlo para mirar”. Pero entonces, allí nos quedaríamos, tu con tu “si” honesto y yo con mi “no” igualmente honesto.


En general, esto es lo que observo respeto a la intuición.
1. No es tan simple saber exactamente qué cosas podemos intuir y cuales no.
2. Presumo que no todos intuimos exactamente lo mismo, pero lo presumo no en el sentido en que lo haces tu cuando comparas a un matemático con un nativo en estado salvaje o con un loro o con el Adán de tu artículo, donde la diferencia es que uno intuye más y el otro menos. No tiene por que haber un orden total, las intuiciones podrían ser incomparables.
3. Solo podemos aceptar que nuestra capacidad de intuir nunca llevará a resultados contradictorios, mediante un acto de fe.

Pero también,
1. Tenemos las suficientes intuiciones comunes y seguras como para fundar una matemática. (Mi único reparo aquí es ¿qué ocurre cuando a esas intuiciones les entremezclamos un axiomita no del todo intuitivo?)
2. No hay otra forma de fundar la matemática que no sea formalizando intuiciones preexistentes.

Saludos.
Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.

07 Noviembre, 2011, 06:10 pm
Respuesta #582

Carlos Ivorra

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Hola Carlos:

Hola, Cristian.

Como de costumbre, coincido con todo lo que dices excepto cuando dices que discrepas de mí. Yo creo que estamos de acuerdo incluso en eso.

Todo lo que no copio de tu mensaje es porque lo suscribo al 100%.

2. Puedo intuir que por todos los puntos que pueda concebir de una recta, pasa un único plano perpendicular a ella
Que modifica sutilmente lo que he afirmado en mi post anterior.

En un intento por engañar a mi intuición, podría decir que puedo imaginarme a mi mismo intuyendo la unicidad en cada punto, conforme el plano viaja de un extremo al  otro sin detenerse y decir entonces que podré intuir la unicidad en cada punto y que por eso, realmente no necesito hacerlo. Pero ¡ay! ¿Puedo considerar la intuición de mis intuiciones como una intuición de la unicidad del plano perpendicular? En este punto ya debo decirte que no estoy en la condición que tu planteas: “cuando uno intuye algo, no tiene dudas de que lo está intuyendo”

En otro intento por burlar lo que mi intuición no me deja hacer (y siguiendo tu explicación), podría decir: si puedo intuir la unicidad en un punto cualquiera, y puedo intuir que las condiciones relevantes al caso son idénticas en todos los puntos, entonces puedo intuir la unicidad para todos los puntos. Pero esto es una mera inferencia, y una intuición debe concebirse porque simplemente está allí y no porque ha sido inferida de otras. La verdad es que yo puedo intuir la unicidad en un punto, puedo intuir que las condiciones son las mismas en todos los puntos pero no puedo intuir la unicidad para todos los puntos porque solo puedo intuirla cada vez que me detengo y no puedo intuir que me detengo en todos los puntos.


Claro, tu podrías decirme “yo sí puedo intuir la unicidad con el plano en movimiento de un extremo a otro, sin tener que detenerlo para mirar”. Pero entonces, allí nos quedaríamos, tu con tu “si” honesto y yo con mi “no” igualmente honesto.

El único sentido intuitivo que sé darle a la afirmación de que por todo punto de una recta pasa un único plano perpendicular es que pasa al menos uno (cosa que aceptas) y que me es absolutamente imposible concebir una recta y uno de sus puntos por el que pasen dos planos perpendiculares distintos. Y tu aceptas que tu intuición te asegura eso cuando afirmas

Citar
Puedo intuir que por todos los puntos que pueda concebir de una recta, pasa un único plano perpendicular a ella

Tú estás aceptando que no puedes imaginarte una recta, un punto y dos planos perpendiculares, pues ese punto sería un punto que puedes concebir. No creo que haya más. Cuando pretendes que esa afirmación que aceptas es más débil que otra afirmación que valdría "para todo punto, lo puedas concebir o no" estás convirtiendo la afirmación "por todo punto de una recta pasa un único plano perpendicular" en una afirmación que va más allá de la intuición, pues es obvio que la intuición no puede afirmar nada sobre puntos que no puedes representarte intuitivamente. En otras palabras, lo que estás diciendo es que la intuición no puede garantizarte esa propiedad para "la totalidad de los puntos de una recta", lo cual no es de extrañar, porque ya habíamos convenido en que "la totalidad de los puntos de una recta" carece de contenido intuitivo. Yo creo que no discrepamos en nada a este respecto. No te digo que tú en el fondo dices lo mismo que yo, sino que yo no pretendo decir más de lo que tú dices.

En general, esto es lo que observo respeto a la intuición.
1. No es tan simple saber exactamente qué cosas podemos intuir y cuales no.

Si lo que quieres decir es que no es tan simple hacer afirmaciones generales sobre qué podemos intuir y qué no, totalmente de acuerdo. Y digo más: creo que es imposible hacer una teoría formal que describa exactamente la información que nos aporta la intuición. De ahí que axiomatizar la metamatemática no sea un buen proyecto.

Si quieres decir que sobre una cuestión en concreto es difícil saber si tenemos una intuición que nos la confirma o nos la refuta, también de acuerdo, en el sentido de que no toda afirmación intuitiva es intuitivamente evidente. Por ejemplo, no es inmediato si podemos intuir un triángulo cuyas bisectrices no se corten en un mismo punto.

Si lo que quieres decir es que tú y yo podríamos discrepar en si algo es o no intuitivamente evidente,...

Bueno, copio otro trozo de tu mensaje, porque entras precisamente en eso:

2. Presumo que no todos intuimos exactamente lo mismo, pero lo presumo no en el sentido en que lo haces tu cuando comparas a un matemático con un nativo en estado salvaje o con un loro o con el Adán de tu artículo, donde la diferencia es que uno intuye más y el otro menos. No tiene por que haber un orden total, las intuiciones podrían ser incomparables.

Admito que es posible a priori, dudo mucho que nos encontremos alguna vez con una afirmación que yo califique de intuitivamente evidente y tú lo niegues, o viceversa. Dudo que ello pueda suceder igual que dudo que puedas tener tres orejas. Posible a priori es, pero dudo mucho que así sea. En cualquier caso, no necesito apoyarme para nada en la identidad de nuestras intuiciones. Te admito que siempre hay que dejar abierta esa posibilidad y que no tenemos ningún derecho a negarla a priori.

3. Solo podemos aceptar que nuestra capacidad de intuir nunca llevará a resultados contradictorios, mediante un acto de fe.

Eso ya me parece más fuerte. Por lo menos, para aceptarlo te pediría que tú me aceptaras a cambio que aceptar la consistencia de ZFC es un acto de fe. Si entiendes que eso es un acto de fe, no me importa llamar igualmente acto de fe a lo que tu dices, aunque no creo que la descripción sea buena en ninguno de los dos casos.

La idea es que si razonando sobre premisas intuitivamente verdaderas pudieras llegar a una contradicción, entonces deberías ser capaz de intuir algo contradictorio, porque un razonamiento lógicamente válido que parta de afirmaciones intuitivamente evidentes debería llevarte siempre a afirmaciones que describan intuiciones posibles. Desconfiar de esto es desconfiar de la lógica, no de la intuición. Y es difícil de entender que me aceptes tu convicción de que no puedes intuir dos planos perpendiculares a una recta por un punto y no me admitas que no puedes intuir una contradicción.

El único escape que se me ocurre a mi argumento sería que, por ejemplo, razonando intuitivamente llegaras a "justificar" que existen dos números naturales cuyo producto no conmuta, pero que fueran tan grandes que te fuera imposible intuirlos realmente. Yo creo que esos intentos de desconfiar en la intuición por cuestiones de escala no convencen a nadie que no lleve ya el escepticismo en las venas, pero tú verás qué opinas tú.

Pero también,
1. Tenemos las suficientes intuiciones comunes y seguras como para fundar una matemática. (Mi único reparo aquí es ¿qué ocurre cuando a esas intuiciones les entremezclamos un axiomita no del todo intuitivo?)

¡Ésa es la cuestión! Puede ser muy interesante explorar las posibilidades de la intuición, pero no necesitamos un inventario completo para fundamentar la matemática. No sé a qué te refieres con lo del axiomita. Una metamatemática rigurosa no debe aceptar ninguna afirmación no intuitiva. Esto basta para construir sistemas axiomáticos como ZFC en los que puedes incluir y añadir todos los axiomas que quieras, intuitivos o no, porque para manejar ZFC no necesitas atribuir un significado intuitivo a sus sentencias. Necesitas tener claro qué es intuitivamente un axioma, una regla de inferencia, un teorema, etc., pero no tienes que tener una representación intuitiva (ni creo que la tengamos) de lo que son conjuntos, conjuntos no numerables, espacios de infinitas dimensiones, etc.

2. No hay otra forma de fundar la matemática que no sea formalizando intuiciones preexistentes.

Aquí discrepo, pero creo que mi discrepancia no es esencial. Acepto tu posibilidad de que tus intuiciones no coincidan totalmente con las mías y que, por ello, necesitemos ponernos de acuerdo en la intersección común (aunque yo crea que esa intersección común es todo, pero no importa), pero ello no lleva necesariamente a una axiomática, sino que hay una salida intermedia que debería parecerte suficiente:

Si yo escribo un libro en el que fundamento la metamatemática intuitivamente (casualmente tengo uno, pero eso es aquí irrelevante, no "he venido a hablar de mi libro") tú puedes seguirlo y comprobar una a una si las afirmaciones que presento como intuitivamente evidentes (para mí) lo son también para ti. Si es así (y estoy convencido de que si haces la prueba así será), entonces todo cuadra: ha quedado demostrado que tu intuición y la mía coinciden lo suficiente como para que la fundamentación intuitiva de la matemática aceptable para mi intuición sea también una fundamentación intuitiva de la matemática aceptable para tu intuición.

¿Por qué mejor así que no mediante axiomas? Porque, como decía antes, dudo mucho que ningún conjunto de axiomas pueda recoger exactamente los puntos comunes de nuestra intuición. En una determinada demostración metamatemática necesitaré apelar a tu intuición para que reconozca que tal afirmación concreta es intuitivamente evidente, mientras que axiomatizar la intuición supondría buscar una afirmación general que puedas considerar intuitivamente evidente y que sea aplicable al caso particular que yo necesito, y las generalizaciones son muy complicadas, es difícil asegurar (si no imposible) que al generalizar no te sales del ámbito de la intuición, sin perjuicio de que el caso particular que realmente necesitamos sea intuitivamente evidente.

Hombre, si por axiomatizar te refieres simplemente a tomar todas las afirmaciones que el libro presenta como intuitivamente evidentes y ponerlas delante en una lista, entonces sí que es posible axiomatizar la metamatemática, pero ello supondría, para cada afirmación, ponerla en su contexto en concreto y decir: "Axioma: si tenemos este conjunto, este elemento, este número natural definido así y esta fórmula, es intuitivamente evidente que puedo tomar tal otra fórmula tal que no sé qué". Sería mucho más complicado ponerse en el caso en cuestión así en frío que no estando inmerso en el razonamiento que lleva a esa situación.

Axiomatizar la intuición exigiría desarrollar una teoría de conjuntos (porque intuitivamente podemos hablar de algunos conjuntos) y cuidar de que nuestros axiomas no permitan justificar la existencia de conjuntos de los que no tenemos una imagen intuitiva, incluso habría que retocar los convenios lógicos usuales para asegurar que el hecho de que un concepto esté definido no implique necesariamente que tenga sentido cuantificar sobre ese concepto, y así una serie de restricciones que yo no sabría imponer a priori. Como decíamos antes, no es nada fácil, si no es imposible, teorizar sobre qué conceptos en los que podamos pensar tienen realmente un contenido intuitivo, y es fácil partir de conceptos con contenido intuitivo, razonar intuitivamente con ellos, y llegar a conceptos sin contenido intuitivo, como el de los puntos negros y blancos de los intervalos encajados. Por eso no veo viable lo de axiomatizar la metamatemática (sin perjuicio de que mañana aparezca algún genio y lo consiga), pero creo que la opción de que uno meramente constate que las afirmaciones de una fundamentación intuitiva de la metamatemática presentados como intuitivamente evidentes lo son para él es suficiente según las ideas que tú mismo has expuesto.

07 Noviembre, 2011, 07:46 pm
Respuesta #583

Jabato

  • Visitante
Oye Carlos, eso que afirmas de tu libro ... ya sé que no has venido a hablar de él pero... danos un enlace ¡hombre!

Saludos, Jabato. ;D

08 Noviembre, 2011, 09:06 pm
Respuesta #584

Jabato

  • Visitante
Pues tan solo quería añadir un comentario. Estuve releyendo los primeros mensajes del debate, por no perder enfoque, y parece que la conclusión final de todo esto es que si existe algo verdaderamente sólido en lo que fundamentar la matemática sería nuestra propia intuición (usando la palabra intuición en el mismo sentido en que la ha usado Ivorra). Los conceptos estrictamente formales no pasan de ser meros convenios, acuerdos en los que se establece que cosas son ciertas y que cosas no lo son, pero no necesariamente dichos acuerdos están basados en la realidad y desde luego para poder basarnos en la realidad parecería que la única fuente fiable sería nuestra propia intuición (cada uno la suya) que es la única que al parecer nos presenta una imagen "fiable" de la realidad (siempre y cuando se demuestre "a posteriori" que dicha interpretación no sea contradictoria, tal y como ya ocurrió con el conjunto universal y las paradojas de la TC de Cantor, que son un buen ejemplo de ello). De otra forma ¿como podemos evitar cometer arbitrariedades? ¿como es posible establecer una colección arbitraria de axiomas sin más y esperar que dicha colección sea un reflejo fiel de la realidad? Eso es quizás posible, no digo que no, pero desde luego parece inaudito que seamos a veces tan confiados.

También se ha apuntado la posibilidad de soluciones mixtas, parte conceptos intuitivos y parte conceptos estrictamente formales. Creo que ZFC y las otras TC son de este tipo (aunque el tratamiento sea estrictamente formal), ya que algunos conceptos pueden traducirse fácilmente a conceptos intuitivos (el propio concepto de conjunto, la relación de pertenencia, el axioma del infinito, etc.) si bien no todos los axiomas presentan esa peculiaridad. En cualquier caso creo que no va a ser posible escapar de los conceptos intuitivos, y ya que no hay más remedio que aceptarlos pues ... de perdidos al río, es decir mejor será una teoría basada estrictamente en la intuición (mucho más realista) que una mezcla de cosas que podría no serlo tanto. 

La verdad es que el debate ha terminado discurriendo por senderos harto inesperados. Desde luego yo no esperaba concluir que la base más sólida para fundamentar nuestro pensamiento racional fuera nuestra propia intuición, eso ni harto de vino, pero esa parece ser la conclusión de todo el debate, al menos a mi es lo que me lo parece. No sé si estaréis de acuerdo.

Saludos, Jabato. ;D

09 Noviembre, 2011, 01:16 am
Respuesta #585

Cristian C

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La verdad es que el debate ha terminado discurriendo por senderos harto inesperados. Desde luego yo no esperaba concluir que la base más sólida para fundamentar nuestro pensamiento racional fuera nuestra propia intuición, eso ni harto de vino, pero esa parece ser la conclusión de todo el debate, al menos a mi es lo que me lo parece. No sé si estaréis de acuerdo.

Sí. Esa es la conclusión. Pero lo más interesante es, por lo menos para mi, que hemos aprendido qué es la intuición. Esta intuición de la que habla Carlos no es la misma de la que hablaba argentinator todo el tiempo, ni es, lo confieso, lo mismo que entendía yo antes de sus intervenciones.

La intuición es una cosa muy concreta que está allí -cualquiera que mire la puede ver-, formando parte de nuestras capacidades intelectuales y que tiene ciertas características y ciertas propiedades que me parecen sorprendentes.

Por ejemplo, vistas como algo natural es sorprendente su consistencia y su homogeneidad en la población. Puedo objetar, como lo he hecho, que no estamos seguros de que no se puedan dar intuiciones contradictorias, pero ninguna sospecha es sustentable si no puedo siquiera imaginar un caso donde eso pudiera llegar a ocurrir. Es como si yo dijera: es posible que exista la ciudad de Xplurc. "¿Donde?" No se "¿Es actual?" No se "¿Esta en nuestro mundo, en nuestro Universo, en nuestra dimensión?" No se, no se, no se. Pero no puedo negar que exista.

Podemos suponer a priori que distintas personas tengan distintas intuiciones sobre un mismo aspecto, pero la suposición es irresponsable si no puedo siquiera imaginar un caso donde eso pudiera ocurrir.

Lo que sí me asombra es que un "objeto" natural, presente en la anatomía de nuestra mente, adquirido mediante un proceso de adaptación impulsado por nuestra genética pueda tener estas características; pueda crear objetos sin contradicciones e idénticos en todos nosotros, hasta donde llega la vista.

Para mi, es como si tuviéramos un ábol con su ramaje perfectamente simétrico respecto a su eje troncal, ramita por ramita, hojita por hojita, brote por brote, florcita por florcita, pétalo por pétalo. Nosotros sabemos que la naturaleza no construye esas cosas.

O que dos árboles fueran idénticos en todos sus detalles. Nosotros sabemos que la naturaleza no construye estas cosas.

Pero puede edificar una estructura intelectual perfectamente consistente en cada uno de nosotros e idéntica en todos nosotros hasta donde podemos ver.

Eso sí me sorprende. Y sinceramente me moviliza a preguntarme por qué es asi. Pero esa cuestión excede la temática de este hilo.

Carlos, dices que no puedes imaginar una teoría formal que describa el alcance de la intuición. Yo tampoco puedo. Pero creo que hay allí algún tipo de estructura, suceptible de ser clasificada, con partes diferenciadas e interrelacionadas y esquemas que se repiten, que realmente tientan al análisis.

Y no puedo menos que agradecerte por habernos abierto esa perspectiva.

Saludos.
Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.

09 Noviembre, 2011, 05:06 am
Respuesta #586

argentinator

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Carlos, dices que no puedes imaginar una teoría formal que describa el alcance de la intuición. Yo tampoco puedo. Pero creo que hay allí algún tipo de estructura, suceptible de ser clasificada, con partes diferenciadas e interrelacionadas y esquemas que se repiten, que realmente tientan al análisis.

Yo sí puedo... eso creo, bah, jejeje.  ;D

Estoy en eso. Ojalá pueda terminar de escribir en los próximos meses algo bien hecho sobre esto.

Saludos

17 Noviembre, 2011, 08:51 pm
Respuesta #587

Jabato

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Después de meditarlo bastante añadiré que la intuición de la que hablamos aquí es desde luego consecuencia de nuestra experiencia del mundo, y no de otra cosa. Todos los conocimientos que aprendemos desde que somos engendrados son los que aprovecha nuestra intuición para darnos la imagen del mundo que vemos tan a menudo. Es nuestro aprendizaje, desde que nacemos e incluso antes de nacer, el que conforma poco a poco, paso a paso, nuestra intuición. Esa sería pues la razón de que todas las intuiciones se parezcan pero no sean exactamente iguales. Yo creo que no hay nada innato en ello (ni nada racional tampoco), sino más bien todo lo contrario, la intuición es precisamente todo el conjunto de conocimientos adquiridos, mediante la experiencia, sobre nuestro entorno, sobre el mundo que nos rodea. No hay pues nada mágico ni misterioso en ello, ni hereditario tampoco. Es digamos ... el resumen de todas las "experiencias sensitivas" vividas a lo largo de nuestra vida. Es la idea que tiene nuestra mente del mundo que nos rodea y es desde luego la idea que usamos a diario para "andar por casa".

Todas las intuiciones se parecen, de eso no hay duda, pero no son necesariamente iguales y desde luego cada una evoluciona a lo largo de nuestra vida en base a las cosas que vamos aprendiendo sobre nuestro entorno. Esa es quizás la razón de que nuestra intuición pudiera ser una base suficientemente sólida para fundamentar la matemática. Realmente va a ser difícil que encontremos algo más sólido que nuestra propia experiencia del mundo.

Saludos, Jabato. ;D

30 Noviembre, 2011, 02:03 pm
Respuesta #588

Dani

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[...]

 Porque, si me dices que existe una sucesión infinita que cumple una propiedad P, aunque yo sepa perfectamente lo que significa que una sucesión cumpla P, si no se me ocurre cómo demostrar si lo que me dices es verdad o no, ¿qué debo pensar que significa tu afirmación? No es que no sepa si es verdadera o falsa, sino que no sé qué significa que sea verdadera o falsa, porque no concibo ninguna forma de representarme la totalidad de las sucesiones infinitas de tus dos signos. Y así no tengo garantías de que realmente estemos hablando de algo en concreto.

Hola Carlos,

No sé si te estoy malinterpretando, pero te pondré un contraejemplo a eso que dices para que me digas a ver si estoy o no en lo correcto. (Es que me parece que discrepo con lo que he subrayado en negrita.)

Definamos un lenguaje formal L formado por diez constantes (más los signos obligatorios): \( 0,1,2,...,9 \) y consideremos el modelo natural de L.

Llamemos "propiedad P" a la conjetura de Goldbach. Ahora consideremos la colección de todas las colecciones de constantes de L:

\( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... \)

Ahora te haré algunas preguntas y, con tu permiso, anticiparé tus (posibles) respuestas:

Yo afirmo P sobre la colección de todas las colecciones de constantes de L (que son infinitas). Es decir, diré que cualquier número par puede expresarse como la suma de dos números primos  (recuerda que estamos ahora dentro del modelo natural: simplemente estamos interpretando las constantes de L).

1) ¿Puedes demostrar que P se cumple en esta colección de colecciones? No.

2) ¿Sabes qué significa que P sea verdadera o falsa en esta sucesión infinita de colecciones? , ya que solo te estoy preguntando si sabes qué significa que la conjetura de Goldbach sea verdadera o falsa.

3) ¿Puedes hacerte una imagen mental de la colección de todas las colecciones de constantes de L? otra vez. Solo te he preguntado de una forma un tanto fea si puedes representarte \( \mathbb{N} \), pues cualquier colección de constantes de L corresponde a un único elemento de \( \mathbb{N} \).

Entonces pues, sabes de qué estamos hablando cuando preguntamos si la afirmación P (= la conjetura de Goldbach) es cierta en esta sucesión infinita de colecciones. ¿No?

Resumiendo, lo que yo digo es que, cualquier afirmación que tú hagas sobre esa sucesión infinita de colecciones (que según dices en la parte donde te cito, no entiendes), es equivalente a hacer la misma afirmación sobre el conjunto de los números naturales (que en este caso dices sí entender). Y hablamos de la misma cosa. ¿Dónde está el fallo aquí?

30 Noviembre, 2011, 11:14 pm
Respuesta #589

Carlos Ivorra

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Resumiendo, lo que yo digo es que, cualquier afirmación que tú hagas sobre esa sucesión infinita de colecciones (que según dices en la parte donde te cito, no entiendes), es equivalente a hacer la misma afirmación sobre el conjunto de los números naturales (que en este caso dices sí entender). Y hablamos de la misma cosa. ¿Dónde está el fallo aquí?

Creo que tú mismo te has dado cuenta de cuál era el fallo, porque has editado tu mensaje y has puesto "constantes" donde antes habías escrito "sucesiones", pues ésa era la clave del fallo, que las constantes de L son sucesiones finitas y no infinitas de signos de L. ("Constantes" no es un término estándar en este contexto, pero lo uso en el sentido en que tú lo usas.)

Yo hablaba de una propiedad P que pudiera cumplir o no una sucesión infinita arbitraria, es decir, que mi pregunta era del tipo "¿Puedo encontrar una sucesión infinita que cumpla tal propiedad?" mientras que en tu ejemplo tienes una sucesión infinita fija bien definida y te preguntas si ella en concreto cumple una determinada propiedad. No tiene nada que ver.

Para explicar qué significa  que tu propiedad P sea verdadera o falsa no tengo necesidad de recorrer todas las sucesiones infinitas posibles (posibilidad a la que no sé darle un sentido intuitivo) para ver si alguna de ellas cumple o no cumple algo. Afirmar que la sucesión fija que tú consideras cumple la propiedad P significa que puedo recorrer sus infinitos elementos y comprobar que todos ellos cumplen una determinada propiedad, a saber, la propiedad P' que cumple una constante si representa a un número impar o a un número par que sea suma de dos primos. No hay ningún problema en ello.

No sé si me explico. Si no, insiste, y le daremos más vueltas.


01 Diciembre, 2011, 09:41 am
Respuesta #590

Dani

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Creo que ya te sigo. En otras palabras, lo que me estás diciendo es que las colecciones de constantes (números naturales, en el modelo natural) que tengo en mi sucesion infinita siempre tienen un número finito de constantes, ¿verdad? Es decir, cuando tú empiezas a recorrer mi sucesión, siempre pasas por colecciones finitas de constantes (porque tienen un número finito de dígitos) por lo que siempre puedes comprobar si dicha colección de constantes, siendo un objeto del modelo natural (es decir, interpretándolo como un número natural) cumple P o no.

Algo que no tendría sentido intuitivo para ti sería que te preguntara si se cumple una propiedad arbitraria P' en una sucesión de números del tipo

\( 11111...,222222...,...,13131313...,14141414...,... \)

porque al recorrer dicha sucesión siempre te topas con colecciones infinitas de constantes, por lo que no podrías comprobar si se cumple o no la propiedad P (pongamos otra vez la conjetura de Goldbach, por seguir el ejemplo de antes). ¿Es esto lo que me dices? Si es así, ya lo he entendido y estoy de acuerdo contigo.

01 Diciembre, 2011, 10:46 am
Respuesta #591

Carlos Ivorra

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Algo que no tendría sentido intuitivo para ti sería que te preguntara si se cumple una propiedad arbitraria P' en una sucesión de números del tipo

\( 11111...,222222...,...,13131313...,14141414...,... \)

porque al recorrer dicha sucesión siempre te topas con colecciones infinitas de constantes, por lo que no podrías comprobar si se cumple o no la propiedad P (pongamos otra vez la conjetura de Goldbach, por seguir el ejemplo de antes). ¿Es esto lo que me dices? Si es así, ya lo he entendido y estoy de acuerdo contigo.

No, no es eso. La conjetura de Goldbach tiene sentido intuitivo "la disfraces como la disfraces". En el ejemplo que pones ahora tienes una sucesión bien definida de sucesiones infinitas perfectamente especificadas. Afirmar que los términos de esa sucesión cumplen la propiedad que sea es sólo afirmar que el primero la cumple, y el segundo también, y el tercero también, etc. Eso tiene perfecto sentido intuitivo. El problema aparece cuando te planteas si todas las sucesiones posibles (sucesiones infinitas de un conjunto dado de objetos, por precisar) cumplen una determinada propiedad (o, equivalentemente, si existe una sucesión, que en principio no sabes cuál podría ser, que cumple una determinada propiedad).

01 Diciembre, 2011, 12:08 pm
Respuesta #592

Dani

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No, no es eso. La conjetura de Goldbach tiene sentido intuitivo "la disfraces como la disfraces". En el ejemplo que pones ahora tienes una sucesión bien definida de sucesiones infinitas perfectamente especificadas. Afirmar que los términos de esa sucesión cumplen la propiedad que sea es sólo afirmar que el primero la cumple, y el segundo también, y el tercero también, etc. Eso tiene perfecto sentido intuitivo. El problema aparece cuando te planteas si todas las sucesiones posibles (sucesiones infinitas de un conjunto dado de objetos, por precisar) cumplen una determinada propiedad (o, equivalentemente, si existe una sucesión, que en principio no sabes cuál podría ser, que cumple una determinada propiedad).

Quizá esté un poco espeso, pero al escribir esa sucesión estaba pensando en "todas las sucesiones infinitas que puedo formar con las diez constantes de L" (y al menos a mí me cuesta concebir esa idea intuitivamente, al menos en un primer momento). Sí, en conjunto es todo una sola sucesión. Pero ¿quieres decir que para que la conjetura de Goldbach deje de tener sentido intuitivo tengo que formar algo así como una sucesión infinita de sucesiones infinitas de sucesiones infinitas (lo que yo he hecho es "solo" una sucesión infinita de sucesiones infinitas)? ¿Cómo podría formar tal cosa?

Lo siento, ahora ando un poco perdido.

01 Diciembre, 2011, 12:27 pm
Respuesta #593

Carlos Ivorra

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Quizá esté un poco espeso, pero al escribir esa sucesión estaba pensando en "todas las sucesiones infinitas que puedo formar con las diez constantes de L" (y al menos a mí me cuesta concebir esa idea intuitivamente, al menos en un primer momento).

Tal vez he entendido yo mal tus puntos suspensivos. Yo entendía que no te referías a todas las sucesiones que puedes formar con las diez constantes de L, sino únicamente a las que se obtienen repitiendo patrones finitos. Vamos, que creía que no estabas considerando en tu lista con puntos suspensivos sucesiones como

\( 10110111011110\cdots \)

No es lo mismo. Tienes razón en que "todas las sucesiones infinitas que puedes formar con las diez constantes de L" no tiene un contenido intuitivo, pero "todas las sucesiones infinitas que puedes formar con las diez constantes de L y que repitan periódicamente un patrón finito" sí tiene un contenido intuitivo claro, pues puedes enumerarlas de modo que una afirmación sobre todas ellas se puede interpretar como una afirmación sobre cada una de ellas, donde "cada una" significa "la primera y la segunda y la tercera..."

Sí, en conjunto es todo una sola sucesión. Pero ¿quieres decir que para que la conjetura de Goldbach deje de tener sentido intuitivo tengo que formar algo así como una sucesión infinita de sucesiones infinitas de sucesiones infinitas (lo que yo he hecho es "solo" una sucesión infinita de sucesiones infinitas? ¿Cómo podría formar tal cosa?

Es que la conjetura de Goldbach tiene sentido intuitivo, luego no puedes hacer nada para que no lo tenga. Cualquier formulación que pueda verse como equivalente a la conjetura de Goldbach tendrá sentido intutivo precisamente en virtud de esa equivalencia.

01 Diciembre, 2011, 01:23 pm
Respuesta #594

Dani

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Quizá esté un poco espeso, pero al escribir esa sucesión estaba pensando en "todas las sucesiones infinitas que puedo formar con las diez constantes de L" (y al menos a mí me cuesta concebir esa idea intuitivamente, al menos en un primer momento).

Tal vez he entendido yo mal tus puntos suspensivos. Yo entendía que no te referías a todas las sucesiones que puedes formar con las diez constantes de L, sino únicamente a las que se obtienen repitiendo patrones finitos. Vamos, que creía que no estabas considerando en tu lista con puntos suspensivos sucesiones como

\( 10110111011110\cdots \)

No, no, los puntos suspensivos eran solo para indicar "etc."; escribí esas sucesiones como podría haber escrito también

\( 345123853...,952766014...,... \)

Lo siento por la confusión. Pero ya lo he entendido. Gracias por tu tiempo  :)

P.D: Yo soy el que te escribí un e-mail hace unos días (Daniel M.P.) con motivo de tu libro de Lógica y Teoría de Conjuntos :D El caso es que voy por la parte de Modelos y a raíz de la Nota que viene después de la definición 3.5 me asaltaron las dudas y acudí a esta discusión en la que participaste hace unas semanas para ver si me podía aclarar algo. Fue una buena idea.

01 Diciembre, 2011, 01:55 pm
Respuesta #595

Carlos Ivorra

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No, no, los puntos suspensivos eran solo para indicar "etc."; escribí esas sucesiones como podría haber escrito también

\( 345123853...,952766014...,... \)

Lo siento por la confusión. Pero ya lo he entendido. Gracias por tu tiempo  :)

Pues entonces ya está todo claro.

P.D: Yo soy el que te escribí un e-mail hace unos días (Daniel M.P.) con motivo de tu libro de Lógica y Teoría de Conjuntos :D El caso es que voy por la parte de Modelos y a raíz de la Nota que viene después de la definición 3.5 me asaltaron las dudas y acudí a esta discusión en la que participaste hace unas semanas para ver si me podía aclarar algo. Fue una buena idea.

Ah, sí. La errata que me señalaste la encontró apenas una semana antes otro chico que se está estudiando el libro y me escribe de tanto en tanto con algunas dudas. No dudes en hacer lo mismo si lo necesitas.

La nota a la que haces referencia es delicada, y el asunto no queda completamente zanjado hasta el capítulo siguiente, con el teorema de completitud.

14 Abril, 2012, 12:19 pm
Respuesta #596

Raúl Aparicio Bustillo

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Citar
Si te pones a trabajar con cadenas de signos arbitrarias pierdes el apoyo de la intuición para lo que realmente es más necesario: para garantizar la consistencia de lo que dices, para asegurar que todo lo que dices tiene un sentido que lo hace verdadero o falso independientemente de los razonamientos que puedas hacer para justificar que lo que dices es verdad. En ese contexto sólo puedes aferrarte a que tu facultad de razonar (no de intuir) no te llevará a contradicciones.

No es que me haga gracia, por la relación de este tema con la existencia de "todas las cadenas infinitas (alternando, o no) 2 signos" o "todos los desarrollos decimales en base 2 de los números entre 0 y 1", por ejemplo, que es lo mismo, si quitamos el 0 antes de la coma, pero más que no intuirlas, creo que realmente no existen, no sé en qué medida afecta esto a la no existencia de un modelo con todos los subconjuntos de números reales. Un ejemplo típico: la serie 1-1+1-1+1-1+1.....=s, tal como la hemos ordenado si le sumamos -1 a la izquierda, intuitivamente obtenemos -s. A partir de ellos llegamos a la ecuación -1+s=-s, que nos lleva a s=0,5. Sin embargo, no hay ningun paso finito en el que la serie valga 0,5; siempre vale 1 ó 0 (asumo que su longintud es infinita pero numerable), luego aunque tengo infinitos pasos, todos ellos ocupan una posición finita, y mi razonamiento del 1 ó del 0 es válido. Hay infinidad de ejemplos, no cito más, no se me ocurre otra forma de anular este razonamiento que descartando la existencia de cadenas infinitas.

14 Abril, 2012, 12:31 pm
Respuesta #597

Carlos Ivorra

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No es que me haga gracia, por la relación de este tema con la existencia de "todas las cadenas infinitas (alternando, o no) 2 signos" o "todos los desarrollos decimales en base 2 de los números entre 0 y 1", por ejemplo, que es lo mismo, si quitamos el 0 antes de la coma,

Ciertamente, son lo mismo.

pero más que no intuirlas, creo que realmente no existen, no sé en qué medida afecta esto a la no existencia de un modelo con todos los subconjuntos de números reales. Un ejemplo típico: la serie 1-1+1-1+1-1+1.....=s, tal como la hemos ordenado si le sumamos -1 a la izquierda, intuitivamente obtenemos -s. A partir de ellos llegamos a la ecuación -1+s=-s, que nos lleva a s=0,5. Sin embargo, no hay ningun paso finito en el que la serie valga 0,5; siempre vale 1 ó 0 (asumo que su longintud es infinita pero numerable), luego aunque tengo infinitos pasos, todos ellos ocupan una posición finita, y mi razonamiento del 1 ó del 0 es válido. Hay infinidad de ejemplos, no cito más, no se me ocurre otra forma de anular este razonamiento que descartando la existencia de cadenas infinitas.

Tú razonamiento no afecta a la existencia (obvia) de la sucesión \( (1, -1, 1, -1, \ldots) \), sino a la posible convergencia de la serie infinita que determina. Lo que has probado es que si la serie fuera convergente su suma debería ser 0.5 y, por otra parte, argumentas que la suma no puede ser 0.5, con lo cual has demostrado que la serie no es convergente. Tu razonamiento es correcto, pero la contradicción no prueba que la sucesión no exista, sino que la serie no es convergente.

14 Abril, 2012, 07:41 pm
Respuesta #598

chap

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Hola. Cuando el físico parte en dos el conjunto de los sucesos observables, mete en un subconjunto lo que rotulará como causas y en el
otro subconjunto lo que rotulará como efectos. Lo hace buscando que ambos subconjuntos admitan correlación matemática. El físico puede
llegar a desconfiar de la física pero no de la matemática. Argentinator se muestra menesteroso de reemplazar la  X  por alguna evidencia
irrefutable  en la frase siguiente.

El matemático puede llegar a desconfiar de la matemática pero no de  X  .

Si Argentinator no logra reemplazar esa X adecuadamente, el físico seguirá en riesgo de ser juzgado como iluso por el filósofo que
analiza el intento humano de conocer.

¿Puede la lógica sola llenar el lugar de la  X  ? Las reflexiones de buenos pensadores indican que no. ¿Por qué ocurre así? Supongamos
que existiese algo capaz de ocupar legítimamente el lugar de X . ¿Estamos seguros de que ese algo sería descriptible, es decir seguros
de que alguna vez la humanidad lograría ofrecer una descripción legítima y certera de ese algo? Todos sabemos que lo inefable no puede
pertenecer a la ciencia. Creer en la existencia de algo cuya descripción es imposible no es asunto científico. ¡Pero si la X no se puede
llenar con algo descriptible, entonces el derecho del matemático a desconfiar no tiene freno! ¿Hay algo extraño entonces en Argentinator
ejerciendo su derecho a desconfiar de toda la matemática? Si la X pudiera llenarse legítimamente la actividad cognitiva humana sería un
ejercicio sin riesgos, o al menos sin más riesgos que entrenar pilotos de aviones en simuladores. El intento de reemplazar a la X por
una descripción no es heroico, es absurdo. Lo heroico es proceder epistemológicamente como se hace para fomentar en los alumnos noveles
la intuición del concepto de límite. Cada héroe epistemológico ha iluminado algo en el entorno del pozo oscuro de la X . Todo lo que se
ha razonado, analizado y demostrado para saber que la lógica no pertenece a X constituye una iluminación valiosa. No sabemos qué hay
dentro de X, pero hoy sabemos que en caso de haber algo no puede ser la lógica. No podemos meternos dentro del pozo, pero sí llegar tan
cerca de su borde como los recursos permitan y como la valentía intelectual soporte.


14 Abril, 2012, 08:31 pm
Respuesta #599

argentinator

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Hola chap.

En este thread se han dicho muchas cosas y han quedado inconclusas varias de ellas.
Por ejemplo, me cansé y me mareé, y hay cosas que aún no sé, pero que a medida que voy profundizando noto que mis ideas no cambian, sino que se fortalecen.

Pero puedo resumirte más o menos, no sé si lo que pienso, sino lo que me molesta que "se piense".

Como matemático, me aburro de la filosofía.
Para mí, lo filosófico es un discurso sin sentido.
Así que me siento muy incómodo cuando me veo arrastrado a temas filosóficos.
Por otro lado, cuando se habla de los fundamentos de la matemática, algo hay que filosofar, no queda opción.

En este sentido sale a flote esta "cosa" llamada "Metamatemática" que aparenta servir de sostén a la matemática misma, de algún modo.

Se dice que en la "metamatemática" uno "razona" según lo que "obviamente se ve" en el manejo de signos puestos a trabajar en forma finita o enumerable, ordenada, etc.
Se usan además los números naturales y sus propiedades en forma intuitiva.

Mis objeciones son varias, y en varias direcciones.
No me molesta eso que vos decís de "qué es X", o lo que fuere.
No me parece que sea un problema determinar completamente el significado de un símbolo matemático.
Lo que no puedo permitir es que sea ambiguo, o "difusamente" definido.

Así que podemos discutir si el discurso metamatemático es difuso o no, etc.
Pero algo que creo ver es que en la "bolsa de la metamatemática" se suelen arrojar todo tipo de cosas, porque justamente es "meta", y cuando está la partícula "meta"-T, uno puede decir lo que se le ocurra como "metateoría" de la "teoría T".

Pero yo veo que acá hay una actitud deshonesta al hablar de "meta"-matemática.
Los teoremas "meta"-matemáticos, aunque se insiste en que son "meta", y que sólo son válidos en tanto especulación en la "meta"-teoría, en el fondo lo que se hace es "demostrar" de manera formal, como si se tuviera una teoría matemática de fondo.

Por ejemplo, los lenguajes de 1er orden, no es algo que uno pueda distinguir de las teorías de monoides asociativos.
Y entonces, si se está usando en el fondo una teoría formal, ¿por qué dicen que no lo hacen, y que "sólo" están usando la intuición?
Si la intuición dijera algo distinto a lo que se puede demostrar formalmente, entonces la descartarían, así que no es la intuición lo que están usando, sino una "teoría formal disfrazada de metateoría".
Eso es un autoengaño.

Así que yo distinguiría acá un nuevo nivel "meta", que llamaría "meta-meta-matemática".

Hablar libremente como lo estoy haciendo, medio quejándome, medio filosofando, y demás, es algo "meta-meta-matemático".

Cuando entramos en el área "meta-matemática", la partícula "meta" está, según opino, mal puesta ahí.
Eso no es "meta-teoría", sino una formalización que nadie admite como tal, y que por lo tanto es una teoría abstracta, quizá simplemente una versión moderna de la matemática misma.
O sea, es "matemática".

Los modelos que se usan, no sé, creo que no los entiendo, y eso es porque no puedo entender con claridad cómo se asignan, de forma general, los símbolos de una teoría a un modelo particular.
Pareciera que uno tiene que "darse cuenta" de cómo se hace esta asignación de significados, y de cuál es el sentido de "verdadero" en un modelo, o en todos ellos.

Es una especulación demasiado gorda para que me la crea, y mi crítica entonces no va para el lado de "¿cuál es el sentido último de los símbolos matemáticos?", sino de "¿de qué diablos es de lo que están hablando estos tipos?".

Si realmente la intuición bastara para ir armando la metamatemática, y si la intuición es la misma para todos, ¿por qué entonces mi propia intuición no entiende nunca este tema?

¿Será que mi intuición ve otras cosas?

En cualquier caso, la intuición no es algo uniforme, y por ende no es aceptable, porque no puedo entender lo que otro "intuye". (Quiero decir, "no siempre" entiendo la intuición del otro, pero a veces sí).
Basta conque haya un par de intuiciones importantes que yo no entienda para decir que la intuición no es forma válida de fundamentar algo.

Y si para lograr que entienda tales intuiciones hay que buscar recursos demasiado rebuscados o extraños, es que ya no es tan "intuitivo" como se decía.

_____

Lentamente estoy armando en privado lo que considero que debe ser una fundamentación correcta de la matemática, y en particular una "meta-matemática" más honesta.
Pero lo llevo tan difuso, enredado, mezclado y con tantos errores, que ni vale la pena que diga nada al respecto.

Pero es claro que planeo llevar el uso de la intuición al mínimo,
y procurar que todo cuanto se diga en torno a teorías y modelos tenga un marco más exacto, sin "axiomas sorpresa", es decir, sin "formalismos encubiertos y disfrazados de supuestas intuiciones".

Para mí, decir que un teorema es metamatemático, y que apela a la intuición, es lo mismo que cuando Euclides demostraba hechos de la geometría usando "axiomas" que no estaban escritos en ninguna parte, pero que él los usaba de todos modos.
Los usaba porque eran cosas que él "creía ciertas".

La formalización de Hilbert es buena, no porque uno se da el gusto de dar una versión enteramente formal de la geometría,
sino porque realmente permite poner en evidencia cuáles son las creencias que Euclides tenía y nunca escribió.

Con los axiomas bien detallados se logra que ninguna creencia quede escondida por ahí, todas las afirmaciones geométricas se pueden demostrar con rigor absoluto.
Veo a la metamatemática como en una situación análoga a la de Euclides.

_______________

O sea, o yo soy muy bruto, o es que la metamatemática está mal hecha así como está.
O ambas cosas.

(Peligro de falacia del falso dilema).