Autor Tema: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

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05 Noviembre, 2011, 06:42 am
Respuesta #560

Jabato

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Bueno, yo quizás lo veo como los dos polos distintos del mismo imán, ó las dos caras de una misma moneda. Por un lado ver hasta donde podríamos llegar con un esquema estrictamente formal, que es lo que parece que propones tu, lo que nos haría perder la parte intuitiva de la matemática, y por otro lado ver si pudiéramos fundamentar la matemática utilizando únicamente conceptos intuitivos, extremo por otro lado más que interesante y que apuntó el propio Carlos.

Yo creo, y no es por adoptar una solución diplomática, que ninguno de los dos extremos es aceptable ó humanamente viable y que la solución correcta estaría en una posición intermedia, y en todo caso más cercana al extremo intuitivo que al extremo formal (aunque quizás esto último sea una visión muy personal consecuencia de mi formación técnica, ya sabes ... "genio y figura ..."). Como bien dices la matemática no es solo para los matemáticos y los conceptos intuitivos le dan en mi opinión un valor añadido que de otra forma no tendría, aunque tu pienses que eso puede quitarle rigor a los fundamentos. Es muy gráfica la imagen que alguien propuso de una "máquina escupiendo teoremas" como si fuera una ametralladora. De hecho la primera vez que vi como se construyen los naturales en ZFC faltó poco para que se me quedaran frías hasta las orejas, aunque a todo se acostumbra uno, claro.

Saludos, Jabato. ;D

05 Noviembre, 2011, 07:25 am
Respuesta #561

argentinator

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Lo que pasa es que a la intuición se le dan varios atributos.
Uno de ellos es que permite una mejor "comprensión" de la matemática.
Esteeeee...
Bueno, pero entonces esa parte de la intuición tiene que quedarse ahí, en lo "anecdótico" de las ideas humanas, algo artístico, subjetivo, imaginativo o especulativo.

Si hay aspectos de la intuición que no se puedan descartar, por ser totalmente necesarias para demostrar resultados matemáticos, no habrá más remedio que soportarlos.
____________

Además, cuando un humano "certifica" cada paso de una demostración, falla bastante seguido, y tiene que "corregirse".
Para conseguir algo así tiene que haber necesariamente distintos niveles de intuición o certificación.
______________-

¿Por qué uno acepta un paso de una demostración, que su intuición le mostró que estaba correcto,
y después admite que se equivocó y tiene que volver atrás y corregirlo, acorde a otra intuición?
Los errores de este tipo ocurren todos los días, incluso en tareas tan elementales como al factorizar un polinomio de grado 3.

¿No será que en vez de confiar tanto en la intuición, hay que estudiarla un poco más para ver qué es lo esencial en ella en lo que se puede confiar, si es que hay tal cosa?

05 Noviembre, 2011, 07:47 am
Respuesta #562

Cristian C

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Hola Carlos:

Ciertos costados del tema presentan muchas sutilezas al punto que me he hecho un matete. Lo mejor que puedo hacer es preguntarte sobre algunas cosas puntuales que has afirmado, que me "hacen ruido" cuando las pongo una junto a la otra.

Dices:
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Ahora bien, podrías replicarme con razón que yo tampoco puedo decir "estoy viendo todos los números naturales", por lo que tampoco debería decir que el conjunto de los números naturales tiene un contenido intuitivo, y en sentido estricto así es, Brouwer tiene razón, en principio.

Coincido.

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Pero ahí es donde interviene el hecho en el que no dejaré de insistir: la intuición me permite hacer afirmaciones universales sobre lo que puedo intuir. Y así, cuando digo, por ejemplo, que existen infinitos primos (es decir, que todo número natural tiene la propiedad de que hay un número posterior que es primo), sucede que mi intuición me da pleno sentido a esta afirmación con independencia de que conozca un argumento que la demuestre o la refute.


Consideremos ahora este caso:

Yo puedo intuir un plano, puedo intuir una recta y puedo intuir un punto, pero no puedo intuir, por ejemplo, todos los  puntos de una recta. Cuando lo intento reconozco que siempre se me está escapando una porción indeterminada de ellos y no me reconozco ninguna capacidad intuitiva de  ir representándomelos a todos, cosa que sí puedo hacer con los números naturales.

También puedo intuir lo que representa que por un punto de una recta pase un único plano perpendicular a ella.

Ahora consideremos la siguiente afirmación de la geometría euclidea: Por cada punto de una recta, pasa un único  plano perpendicular a ella.
Haciendo introspección verifico que realmente puedo intuir esto, así, en general, para todo punto de una recta.
Pero acabo de decir que no puedo intuir todos los puntos de una recta, lo que también reconozco haciendo introspección sobre mis capacidades.

¿Como puedo intuir una afirmación acerca de todos los puntos de una recta si no puedo intuir todos los puntos de una recta, ni un medio intuitivo de ir representandolos a todos? (obviamente, debemos dejar de lado la representación artitmética de la recta porque no proporciona una ley intuitiva)


En la cita, dices que tu intuición le da pleno sentido a la afirmación de que existen infinitos primos  porque puedes representarte intuitivamente que "existe un primo mayor que 0", "existe un primo mayor que 1", "existe un primo mayor que 2", y puedes intuirlo recorriendo todos los naturales.

Pero en el caso de la recta, si bien puedo intuir la afirmación para cualquier punto particular, no puedo concebirlos a todos de ninguna manera intuitiva. Entonces ¿Puede o no puede ser intuitiva una afirmación generalizada a todos los puntos de una recta?

Saludos.



Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.

05 Noviembre, 2011, 07:55 am
Respuesta #563

argentinator

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Yo puedo intuir un plano, puedo intuir una recta y puedo intuir un punto, pero no puedo intuir, por ejemplo, todos los  puntos de una recta. Cuando lo intento reconozco que siempre se me está escapando una porción indeterminada de ellos y no me reconozco ninguna capacidad intuitiva de  ir representándomelos a todos, cosa que sí puedo hacer con los números naturales.

Pero así como no sos capaz de intuir al mismo tiempo "todos" los puntos del plano,
tampoco vas a poder intuir al mismo tiempo "todos" los números naturales.

Eso muestra que los "conjuntos grandes" no pueden intuirse.
Hay problemas en abarcar "totalidades" con la intuición.

Pero eso a mí me pesa incluso con "totalidades" (o sea conjuntos) no necesariamente infinitos.
(O sea finitos).

No puedo intuir un conjunto de 12340983481230482317409832470921 puntos de un plano.
Ni tampoco los primeros 27412083974021983742198 números primos.

La intuición de conjunto quizá es bastante mala, y en tal caso, habría que revisar todo la historia de la teoría de conjuntos desde Cantor hasta hoy.
¿Será cierto que hay que usar el lenguaje de conjuntos para hacer matemática?



05 Noviembre, 2011, 08:40 am
Respuesta #564

Garubi

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Cita de: Carlos Ivorra
Yo no creo que la afirmación "\( \mathbb{N} \) no es un conjunto de partes" sea cierta o falsa. Sólo he pretendido afirmar que es un teorema de ZFC. Si quieres probar que ZFC es contradictorio, o bien no te vas a apoyar en tu afirmación de que \( \mathbb{N} \) es un conjunto de partes, en cuyo caso lo que estamos discutiendo es irrelevante, o bien te vas a basar en ello, en cuyo caso tendrás que demostrarlo en ZFC.

También tengo otra opción: demostrar que si \( \mathbb{N} \) no es un conjunto de partes, ZFC es contradictorio.

Cita de: Carlos Ivorra
Cita de: Garubi
Mi conclusión, es que cualquier conjunto con el cardinal de una sección de \( \Omega \) infinita cualquiera, es tan numerable como cualquier conjunto con el cardinal de una sección infinita de \( \mathbb{N} \), siendo las secciones conjuntos de partes (potencias de 2 cualesquiera).

No sé muy bien a qué llamas \( \Omega \) (para mí sería la clase de todos los ordinales, pero no sé si para ti también.) Pero no hace falta que te vayas por las nubes. Yo te doy \( \mathbb{N} \), y espero que me des una demostración válida en ZFC de que \( \mathcal P\mathbb{N} \) es numerable. Si me la das, habrás demostrado que ZFC es contradictorio, pero si no...

Tú me das \( \mathbb{N} \) pero me lo das en un saco, que has recogido en ZFC.
Yo te digo:
- Por favor dame el albarán de entrega, emitido por ZFC, para que pueda ver si se corresponde el contenido del saco con mi propia lista de componentes.
Tú me dices:
- Puedes fiarte, pues aunque no son más que \( \mathbb{N} \) pelotas de ping-pong, las vas a sacar siempre en el orden de tu lista.
Yo digo:
- Sólo me sirve si, al menos, las pelotitas vienen numeradas como en mi lista. No tengo mucho tiempo disponible yo, como para andarme reordenando pelotitas toda la mañana.
Tú dices:
- No hay problema. Las pelotitas están vivas, tienen un rotulador, y formarán una fila ordenada dentro del saco por su cuenta, idéntica a la de tu lista.

Las bolas del saco se han recombinado tantas veces como el cardinal de las secciones de \( \Omega \), y se las han apañado para ser dadas con un cardinal: el de \( \mathbb{N} \).

Todo esto ha pasado dentro del universo de discurso de ZFC, donde las bolas no tienen el número serigrafiado.

Mi pregunta es: ¿Es \( \Omega \) numerable?
Y afirmo: Si no lo es, no podrías haberme dado \( \mathbb{N} \).
Tiene que existir el recubrimiento de \( \Omega \) para que exista el recubrimiento de \( \mathbb{N} \), y tú puedas darme el saco, porque se hace con las mismas bolas.

Un saludo.

PD: En realidad, debería haber dicho \( \mathcal P (\mathbb{N}) \) en lugar de \( \Omega \) , pero me he permitido una pequeña elipsis  :)
La esfera es un cubo romo

05 Noviembre, 2011, 12:37 pm
Respuesta #565

feriva

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Cuando uno va en el coche conduciendo, no cambia de marcha pensando de forma deductiva; no dices, voy en tercera, el motor empieza a sonar mucho, necesito cambiar a cuarta. Cambiamos de marcha intuitivamente mientras vamos pensando en lo caras que se han puesto las patatas. Sin embargo, evidentemente, hubo un día, cuando estábamos aprendiendo a conducir, en el que sí pensábamos de manera más deductiva, digamos. Creo que este ejemplo es ilustrativo de la idea de intuitivo que interesa y de la que se viene hablando en el post, la cual se distingue del concepto de instintivo, que no involucra un aprendizaje consciente previo.

 Entonces, parece razonable que para comprender lo intuitivo, y para distinguirlo, convengamos que ha de hacerse por comparación con lo deductivo; no digo que sea exactamente lo contrario, pero necesitamos algo que haga de "contrario" para enmarcar bien el concepto; sería difícil definir la noche si no existiera el día.

 Al intentar comprender el infinito "de golpe", o sea "entero" o "terminado", existe una contradictio in terminis; no puede ser "terminado" y no "terminado" a la vez; yo creo que esto no es ni intuitivo ni antiintuitivo, es simplemente una contradicción que, además, no es necesaria introducir. Es necesario introducir, y podemos hacerlo, unas propiedades o condiciones que sí están "terminadas"; que el infinito no tenga fin y no esté determinado en cuanto a cantidad -o, mejor dicho, que no tenga ningún sentido hablar de cantidad- no quiere decir necesariamente que no tenga algunas propiedades definibles respecto de algunos conjuntos. 

Las propiedades del infinito en las que podemos pensar, para mí, son en principio deductivas; luego, con el tiempo y la costumbre, se hacen intuitivas. Cuando Peano crea su método inductivo lo que hace es regresar a la infancia para recordar cómo, cuando era un niño, contaba con los dedos y qué pasaba por su cabeza cuando hacía una suma; como quien regresa con su memoria a la autoescuela para recordar cómo aprendió a meter las marchas. A partir de ahí, y después de ese viaje al pasado, empieza a ordenar las cosas; y el resultado ahí está, es muy provechoso, luego merece la pena siempre buscar el origen de nuestras intuiciones para conocer su traducción a deducciones.

 Cuando un pianista -y aquí hablo con mayor conocimiento de causa que cuando hablo de matemáticas- toca una pieza muy rápida de ésas que dejan con la boca abierta a todo el mundo, él mismo no sabe lo que está haciendo, simplemente canta por dentro, los dedos van solos. Pero detrás de ese canto y detrás de eso que ve el público hay un aprendizaje muy largo basado en tocar la pieza por trozos y muy, muy despacio, articulando, marcando los acentos, con plena consciencia de lo que se hace.  Luego, cuando los maestros de piano intentan enseñar a tocar algo a un alumno, con frecuencia se desesperan y no comprenden cómo el alumno puede ser tan torpe y tarda tanto en aprender, y es que no recuerdan que ellos también tardaron en aprender.

 En cuanto a saber que los números primos sean infinitos, en mi opinión, es un fenómeno claramente deductivo que sólo puede parecer intuitivo por olvido; pensemos o, mejor dicho, recordemos.

 En primer lugar necesitamos el concepto previo de número primo; que o bien nos enseñó alguien o -muy raramente- lo pudimos haber deducido de forma personal. Una vez que conocemos este concepto y el de número compuesto -que es necesario por ser su "contrario" y prácticamente se enseña al mismo tiempo- podemos deducir que hay infinitos primos o infinitos compuestos o infinitos elementos distintos de cada tipo (pero sólo si hemos deducido antes, o bien nos lo ha enseñado alguien, que siempre se puede encontrar un número natural mayor que cualquiera que podamos pensar; es decir, antes hay que conocer el concepto de infinito, el cual se deduce o nos lo transmiten, no se aprende por ciencia infusa. Y antes de esto, alguien nos ha tenido que enseñar el sistema numérico -normalmente en base diez- que algún día dedujo algún ser humano seguramente basándose en los dedos de sus manos -si hubiera usado también los de los pies... trabajaríamos en base 20 ). Todo esto que digo no es intuitivo, es deductivo; también puedo deducir que es muy probable que el primero o los primeros hombre que inventaron el sistema decimal no trabajaban en una serrería; porque la probabilidad de que se hubieran cortado uno o varios dedos sería alta  :laugh:

Asegurar que los números primos son infinitos, por tanto, no es tan trivial, ni mucho  menos; podríamos haber deducido mal: "si hubiera infinitos compuestos no podría haber ya más primos, luego la cantidad de primos es finita". Una deducción así, de hecho, es muy probable que se hiciera hasta que Euclides dedujera el Teorema fundamental de la aritmética y reflexionara seguidamente sobre el tema. Si alguien, sin que nadie le haya enseñado, llega a la conclusión de que ha infinitos primos, o lo ha deducido de alguna forma correcta o ha acertado por casualidad; por tanto, no es un hecho intuitivo o sólo puede ser intuitivo para el que lo ha aprendido y, por pura costumbre, ha olvidado por qué era así.

 Saludos.

 

 

05 Noviembre, 2011, 12:42 pm
Respuesta #566

Jabato

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Bueno, tal y como yo lo veo no debemos confiar plenamente en la intuición. Creo que para Ivorra la intuición es como el rifle del explorador que va por la selva, confía en él y no lo suelta por si acaso, pero también es consciente de que puede fallar ó de que puede llegar un momento que no le sirva para nada. Así que quizás el aferrarnos a ella como algo infalible tiene también sus riesgos. Quizás tan solo sea una recomendación, de hecho así lo planteó en uno de sus últimos mensajes. Entonces para estar seguros de nuestra intuición deberíamos saber, cosa que hoy por hoy parece que no sabemos, cuando podemos confiar en ella y cuando no.

La verdad es que el tema de la intuición es muy complejo, pero si prescindimos de la lógica formal solo nos queda la intuición y si tampoco podemos confiar en ella entonces ¿que nos queda? Muy poca cosa.

Respecto a lo que comentó Cristian, solo decir, aunque esto debería confirmarlo Ivorra, que parece como si para él el salto (en lo que a cardinalidades se refiere) que parece ser inviable desde el punto de vista de la intuición es el del infinito numerable al infinito continuo, pero parece como si el salto desde lo finito a lo infinito numerable fuera aceptable (al menos en algunos casos). Me explico, extrapolar una colección finita a numerable sí parece ser algo que nuestra intuición pueda asumir pero extrapolar desde una colección numerable a una colección continua es algo que bloquearía nuestra intuición con seguridad. Si os molestáis en revisar lo expuesto veréis que hay suficientes ejemplos comentados en este sentido, siendo el primero el de la familia de cadenas, que expuse yo mismo, pero que no es el único. Los naturales, los primos, las cadenas infinitamente largas, etc. Así pues hablar de una recta ó de un plano si parece un concepto asumible desde el punto de vista de la intuición, pero hablar de todos los puntos de una recta ó de todos los puntos de un plano parece que sería intuitivamente inaceptable. Ya digo que es una impresión mía pero parecería como si los tiros fueran por ahí.
 
Saludos, Jabato. ;D

05 Noviembre, 2011, 01:08 pm
Respuesta #567

feriva

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A colación de lo que he dicho en último comentario se me ocurre un juego para meter en un entuerto a las matemáticas (sólo como broma):

 Un solo primo da lugar a infinitos compuestos; basta ver esto: \( 2^n \) donde \( n \) toma todos los valores naturales: Tanto los primos como los compuestos son claramente numerales, nadie lo puede discutir, sin embargo, esto me hace vacilar, al menos en principio, sobre la biyección que se puede establecer entre unos y otros; ¿no convendría definir mejor el concepto de cardinal cuando hace referencia a conjuntos infinitos?

05 Noviembre, 2011, 01:24 pm
Respuesta #568

Jabato

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Otra cosa respecto de los apuntes de feriva. Parecería que la intuición no bebe de las fuentes del conocimiento deductivo, del razonamiento, sino del conocimiento empírico, del conocimiento que tenemos de la realidad del mundo. Es decir los conceptos intuitivos lo son precisamente porque encajarían bien en el mundo que conocemos. Es decir la intuición lo que hace es precisamente ver si el concepto en cuestión que hemos generado es aceptable desde el punto de vista de nuestra experiencia, de nuestro conocimiento del mundo, y si lo es, nos lo muestra en la forma adecuada para que podamos asimilarlo. Una vez hecho eso ese concepto pasaría a formar parte de nuestra experiencia del mundo, en caso contrario, el nuevo concepto quedaría como una mera abstracción pero carente de significado intuitivo. Un plano ó una esfera son conceptos intuitivos, sin lugar a dudas, pero un hipercubo de cuatro dimensiones no lo es, y la razón es precisamente esa, porque el último no encaja bien en la experiencia que tenemos del mundo aunque sí encaja perfectamente en un espacio \( \mathbb R^4 \).

Saludos, Jabato. ;D

05 Noviembre, 2011, 03:08 pm
Respuesta #569

feriva

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Creo que el ejemplo de Jabato ayuda mucho a perfilar el concepto de intuitivo que buscamos. Efectivamente, el concepto de cuatro dimensiones no es intuitivo, un niño (ni un adulto que no haya estudiado los rudimentos de la geometría) no lo podría deducir con conceptos básicos y, por tanto, con el tiemplo no se podría convertir en un saber intuitivo.
 Todos podemos imaginar cuál fue el proceso: primero fue la geometría pura o sintética basada en la constatación empírica, a partir de ahí apareció un poco después la idea de ejes cartesianos y con ella la geometría restringida al plano; así que se empezaron, podemos deducir, a manjar pares de números para definir los puntos (n,m). Los axiomas más conocidos de Euclides eran deducciones básicas que no dieron problemas -ni dan- en el plano estudiado desde un punto de vista analítico; no creo que restringiendo a \( \mathbb{R}^2 \) la geometría pueda pasar más de una paralela respecto de un punto externo a ésta en ningún modelo; de lo contrario, tal cosa no sólo violaría nuestra intuición, sino también nuestras deducciones originales, las cuales han servido para construir el edificio de las matemáticas, son los cimientos mismos y destruirlos supone que todo se pueda venir abajo. Pero al aparecer los pares de números, y los tríos para definir el espacio tridimensional, surge la idea puramente matemática de añadir una coordenada más; o dos o infinitas coordenadas más, dando lugar a espacios teóricos; esos espacios no nacen de una deducción empírica y no se pueden acabar transformando en conceptos intuitivos. Y ahí, ya, pueden aparecer y de hecho aparecen condiciones nuevas en los que algunos axiomas dejan de funcionar.

Saludos.   

05 Noviembre, 2011, 03:59 pm
Respuesta #570

argentinator

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Cita de: feriva
Cuando uno va en el coche conduciendo, no cambia de marcha pensando de forma deductiva; no dices, voy en tercera, el motor empieza a sonar mucho, necesito cambiar a cuarta. Cambiamos de marcha intuitivamente mientras vamos pensando en lo caras que se han puesto las patatas.

Es que eso, más que intuición parece que estuvieras hablando de "instinto" o "actos reflejos".

Como sea, aún si fuera intuición, lo expusiste como algo instantáneo.

Eso no sirve para nada en la matemática.
Servirá para cazar o para reaccionar frente a un delincuente, pero no para resolver un problema matemático.
Porque la matemática necesita reflexión y paciencia.

No quiero seguir mi propio divague con todo esto.
El análisis de la intuición se aleja de la matemática misma.
Cuanto menos sepamos de ella mejor, y por eso también es bueno usar pocos recursos de ella, lo mínimo indispensable.


05 Noviembre, 2011, 05:57 pm
Respuesta #571

feriva

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Es que eso, más que intuición parece que estuvieras hablando de "instinto" o "actos reflejos".

No me preocupa tanto el nombre que le demos, intuición, o el que sea, sino el hecho de que hay aspectos matemáticos que un día nos enseñaron o bien, en algunos casos, los deducimos usando cosas que nos enseñaron para, finalmente, olvidarlos o usarlos de forma mecánica (no me gusta que se usen de forma mecánica, vaya esto por delante). Y, por otra parte, hay creaciones o inventos (que no te suene mal esto porque no es lo que estás pensando  :laugh: ). Por ejemplo, el caso que citaba sobre las dimensiones que no podemos detectar en el mundo real. Tú sabes, y todos los que leen esto saben, que esa idea no aparece con Einstein cuando éste considera el tiempo una auténtica dimensión más; la idea surge bastante antes. Al ser \( T \) una variable, los físicos siempre necesitaron tratarla como una dimensión matemática -digo matemática- más; pues si es variable, supone muchos valores distintos y, en consecuencia, necesita de un eje para ser representada con procedimientos análitcos de álgebra lineal, e implica, por tanto, el uso de una coordenada extra cuando se trabaja en \( \mathbb{R}^3 \); naturalmente, no se puede dibujar, pero está ahí, porque cuando se trabaja en dos dimensiones en movimientos acelerados sí que se usa o se puede usar según sea pertinente.
 Entonces, si se puede definir un punto en erre tres (a,b,c) se ve que se puede definir en erre cuatro o en erre ene (a,b,c...) y también se ve que podemos utilizar el producto escalar, sumar las coordenadas, etc. Esto último es una creación, un invento, el que después sea útil para muchas cosas no quiere decir que exista un espacio de muchas dimensiones en el mundo real. ¿Cómo surgió la idea, a quién se le ocurrió por primera vez? Admito que no lo sé, pero parece que lo más probable es eso, que alguien dijera, pues podemos añadir todas las coordenadas que queramos y ver qué pasa, qué propiedades podemos aplicar, no hay impedimento. Esta idea u ocurrencia es puramente matemática, aparece por recurrencia a partir de unos aspectos técnicos del álgebra lineal; pero esos aspectos técnicos más primarios no aparecen a partir de otros aspectos técnicos, sino que aparecen a partir de la observación, de un método empírico; y hay que señalar que también existe el hecho empírico que procede de un pensamiento abstracto, no tiene por qué estar basado en una experiencia visual necesariamente.

 Con esto no quiero decir que sea peor un espacio de "n" dimensiones que uno de "3", lo que quiero decir es que tampoco es peor el de "3" que el de "n" por el simple hecho de que haya sido deducido en vez de creado a partir de aspectos técnicos; si no hubiésemos tenido abuelos tampoco hubiéramos tenido padres y, en definitiva, no hubiéramos nacido nosotros. La matemática no puede apartar de sí las deducciones que parten de esa empírica física o abstracta, sin ellas no habría matemáticas.
 En resumen, no hay que rechazar nuestras intuiciones, hay que investigar, haciendo una introspección, de qué deducciones o de que aprendizajes olvidados han nacido; porque eso y no otra cosa es lo que hicieron los Peano, Cantor y toda la parentela.

  Esta es mi opinión, profesor  :)

Saludos.       

05 Noviembre, 2011, 06:37 pm
Respuesta #572

Carlos Ivorra

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Hola, a todos.

Este fin de semana tengo bastantes cosas que hacer y no creo que pueda dedicarle mucho tiempo al foro, pero contesto al menos de momento a lo que dice Cristian C.

Antes de entrar a fondo en lo que planteas, conviene hacer una reflexión general: dudo mucho que exista una teoría general que permita precisar el alcance exacto de nuestra capacidad de intuición. Desde luego, si existe yo no la conozco. Lo digo porque a veces parece como si yo fuera un "gurú de la intuición" que pudiera dar una respuesta a toda pregunta que uno quiera plantearse sobre la intuición, o sobre qué conceptos pueden ser intuitivos y cuáles no, o sobre cuándo puede la intuición asegurar esto o lo otro.

Ahora bien, que no exista una teoría general no significa que en cada caso en concreto no podamos tener la seguridad de que una determinada afirmación está avalada por la intuición, y esto es lo único que la fundación de la matemática necesita: una teoría metamatemática consistente en una serie de afirmaciones avaladas por la intuición, pero no una teoría metametamatemática que determine qué clase de afirmaciones y conceptos pueden ser avalados por la intuición y cuáles no.

Y esa es la razón por la que el plan de argentinator no es viable. Él está pidiendo una teoría a priori sobre la intuición (a priori en el sentido de que debe estar dada antes de usar para nada la intuición) y eso no existe (creo yo).

Espero que esto se entienda mejor al discutir las preguntas (muy finas y certeras) de Cristian C:

Consideremos ahora este caso:

Yo puedo intuir un plano, puedo intuir una recta y puedo intuir un punto, pero no puedo intuir, por ejemplo, todos los  puntos de una recta. Cuando lo intento reconozco que siempre se me está escapando una porción indeterminada de ellos y no me reconozco ninguna capacidad intuitiva de  ir representándomelos a todos, cosa que sí puedo hacer con los números naturales.

También puedo intuir lo que representa que por un punto de una recta pase un único plano perpendicular a ella.

Totalmente de acuerdo.

Ahora consideremos la siguiente afirmación de la geometría euclidea: Por cada punto de una recta, pasa un único  plano perpendicular a ella.
Haciendo introspección verifico que realmente puedo intuir esto, así, en general, para todo punto de una recta.

¡Exacto! Es fundamental que eso es un hecho incuestionable.

Pero acabo de decir que no puedo intuir todos los puntos de una recta, lo que también reconozco haciendo introspección sobre mis capacidades.

¿Como puedo intuir una afirmación acerca de todos los puntos de una recta si no puedo intuir todos los puntos de una recta, ni un medio intuitivo de ir representandolos a todos? (obviamente, debemos dejar de lado la representación artitmética de la recta porque no proporciona una ley intuitiva)

¿Qué significa ahí "cómo"? Es un hecho que es así: puedes afirmar algo sobre todos los puntos de una recta sin ser capaz de intuir la totalidad de ellos. Podrá sorprenderte, como puede sorprenderte que un fotón pueda estar en dos sitios a la vez, pero no puedes negar que es un hecho. Quiero decir con esto que, en principio, niego que ahí haya una contradicción, pero, a pesar de ello, podemos analizar el caso para ver que, en el fondo, no es tan raro:

La afirmación "por un punto de una recta pasa un único plano perpendicular" es intuitivamente evidente, es inmediata, no llegas a ella por ninguna clase de razonamiento, sino simplemente constatando que te es absolutamente imposible concebir dos planos distintos perpendiculares a una misma recta y que la corten en el mismo punto. En particular, no llegas a ella por el "hipotético" argumento de mirar uno a uno todos los pares de rectas y puntos posibles para constatar que es cierto en cada uno de los casos. Ese argumento "hipotético" sería inviable precisamente porque no tienes la capacidad de representarte individualmente cada uno de los puntos de una recta, ni cada una de las rectas del espacio, ni cada uno de los planos que pasan por un punto dado de una recta.

Si analizas más a fondo la reflexión que te lleva a esa conclusión, verás que tú consideras una recta concreta y un punto concreto en ella, y te das cuenta inmediatamente de dos cosas: 1) de que puedes concebir un único plano perpendicular a la recta que te has dado que pase por el punto que te has dado y 2) que tu convicción es independiente del punto o la recta que consideres. Y 2) es igual de inmediato que 1), no resulta de considerar muchos casos y ver que en todos es así. En el fondo usas que eres consciente de que todos los casos "son en el fondo el mismo caso", que no hay ninguna diferencia relevante entre dos cualesquiera de ellos.

Esto es frecuente en los razonamientos geométricos intuitivos, incluso en casos más sofisticados. Por ejemplo, es frecuente que una demostración de que todo triángulo tiene una determinada propiedad requiera un razonamiento intuitivo válido para triángulos acutángulos, otro para triángulos rectángulos y otro para triángulos obtusángulos, pero la intuición te muestra que, si dibujas un triángulo acutángulo y razonas sobre él, todo cuanto dices es válido en realidad para cualquier triángulo acutángulo, porque constatas que no te basas en ninguna coincidencia casual que no tendría por qué darse en general, sino que tu razonamiento justifica que cualquier coincidencia que aprecias en la figura (tal punto construido así resulta ser el que ya teníamos) tiene una explicación general.

Del mismo modo que tu intuición puede mostrarte que una construcción sobre un triángulo cualquiera es válida en realidad para cualquier triángulo, o para cualquier triángulo acutángulo, pero te hace ver que si fuera rectángulo podría fallar, en tu caso tu intuición te dice que la unicidad de tu construcción del plano perpendicular es válida para cualquier recta y cualquier punto. Eso es una característica fundamental de la intuición: que te proporciona ciertas afirmaciones acompañadas de un cierto grado de generalidad.

Así pues, como bien constata tu ejemplo, la intuición nos proporciona afirmaciones generales sobre todos los puntos de una recta y, al mismo tiempo, eso no quiere decir que cualquier afirmación sobre todos los puntos de una recta tenga necesariamente un contenido intuitivo. Te pongo un ejemplo de este caso.

Voy a considerar una de las secuencias de Jabato, aunque prefiero llamar a las cosas por su nombre y hablar de sucesiones infinitas de ceros y unos. Considero concretamente la que tiene unos en las posiciones \( n! \), es decir, la que empieza así:

\( 110001000000000000000001000... \)

Ahora imagina un segmento arbitrario (concepto intuitivo donde los haya) Digamos formalmente que todos sus puntos son "negros". Divídelo en dos partes iguales (proceso con un contenido intuitivo claro). Como la primera cifra de nuestra es un 1, pintamos de "blanco" los puntos de la mitad derecha (sin contar el punto medio) y pasamos a considerar la mitad de la izquierda. La dividimos en dos partes iguales y, como la segunda cifra es otro 1, volvemos a pintar de blanco la mitad de la derecha. Dividimos la mitad de la izquierda en dos partes iguales y, como ahora el tercer dígito es un cero, pintamos de blanco los puntos de la izqierda y nos quedamos con la mitad derecha.

Así vamos construyendo una sucesión de intervalos con un proceso con pleno sentido intuitivo, y podemos definir un punto como "blanco" si resulta pintado de blanco tras un número finito de pasos, mientras que un punto del segmento original es "negro" si nunca resulta pintado de blanco. (Por si alguien tiene problemas en traducir esto a ZFC, lo que tengo es una sucesión de intervalos encajados que determina un número trascendente, y un punto es negro si está en la intersección de todos los intervalos encajados.)

Pregunto entonces: ¿Puedes intuir la totalidad de los puntos blancos y la totalidad de los puntos negros del segmento? O, más en particular, ¿puedes apoyarte en tu intuición para afirmar que existe un punto negro en el intervalo o, por el contrario, que todo punto del intervalo es blanco?

Yo afirmo que, aunque el proceso de construcción tiene sentido intuitivo, no tenemos ninguna representación intuitiva del resultado del proceso, no podemos intuir "la totalidad de los puntos blancos", y nadie puede honestamente decir: "sí, sí, yo veo perfectamente que al final del proceso en el segmento queda exactamente un punto negro" (que es la respuesta que da ZFC).

Acabamos de encontrar un "agujero" en nuestra intuición. Un proceso intuitivo tiene como resultado un hipotético subconjunto de un segmento sin contenido intuitivo. Ojo, no sólo digo que no sé determinar si hay o no hay un punto negro (como podría decir que no sé si hay o no infinitos pares gemelos, aunque, desde luego, eso es intuitivamente verdadero o intuitivamente falso), afirmo que no tiene ningún sentido afirmar que la existencia de un punto negro es intuitivamente verdadera o intuitivamente falsa. La intuición no se pronuncia al respecto.

La diferencia entre los primos gemelos y los puntos es que yo puedo decir que la existencia de infinitos pares de primos gemelos significa que si voy recorriendo los números naturales nunca dejaré de encontrar pares de primos gememos, con independencia de que nunca podré recorrerlos todos y confirmar el hecho, pero sé lo que significa. En cambio, no tiene sentido intuitivo hablar de recorrer todos los puntos del segmento a ver si alguno es o no negro. La idea de "recorrer todos los puntos del segmento" carece de sentido intuitivo.

Así pues, tenemos una afirmación (la tuya sobre los planos perpendiculares) que nuestra intuición sanciona como intuitivamente verdadera, intuitivamente evidente, y otra afirmación, producto de una construcción intuitiva, sobre la totalidad de los puntos de un segmento, sobre la que nuestra intuición se inhibe completamente.

Si me preguntas, ¿qué características tiene que tener una afirmación sobre la totalidad de los puntos de una recta para que podamos afirmar que tiene contenido intuitivo?, te puedo dar una respuesta clara y simple en tres palabras: "no lo sé". E incluso puedo añadir una conjetura: sospecho que es imposible responder a esa pregunta. Lo máximo que te puedo decir es que tendrá contenido intuitivo si puedes constatar que lo tiene, como te sucede en el caso de tu afirmación, que tú mismo has afirmado que no puedes dudar de su certeza intuitiva, y que no tendrá contenido intuitivo si puedes constatar que no lo tiene, como sucede con el concepto de "totalidad de los puntos de una recta" (que tú mismo has reconocido que escapa a tu intuición) o con mi concepto de "punto negro".

Pero lo bueno es que no necesito responder a la pregunta de qué condiciones debe reunir una afirmación sobre la totalidad de los puntos de una recta para determinar si una afirmación en concreto sobre la totalidad de los puntos de una recta está o no avalada por la intuición. La intuición está llena de "agujeros" del tipo que te acabo de mostrar. Puedo hablar intuitivamente de ciertos subconjuntos de \( \mathbb{N} \), e incluso puedo hacer afirmaciones sobre la totalidad de ellos, como que todo subconjunto de \( \mathbb{N} \) que esté acotado es finito, pero hay afirmaciones sobre la totalidad de ellos, como la hipótesis del continuo, que carecen del menor contenido intuitivo.

Por eso digo (o sospecho) que es imposible formalizar la intuición como pretende argentinator, porque dicha formalización supondría dar reglas generales sobre lo que se puede hacer y lo que no se puede hacer intuitivamente, y no creo que existan tales reglas generales. Se puede hacer lo que la intuición nos muestra en cada caso que se puede hacer. Y una metamatemática rigurosa es una metamatemática en la que cualquiera pueda constatar que cada cosa que se dice tiene pleno sentido intuitivo. No se puede más y, afortunadamente, no hace falta más.

En la cita, dices que tu intuición le da pleno sentido a la afirmación de que existen infinitos primos  porque puedes representarte intuitivamente que "existe un primo mayor que 0", "existe un primo mayor que 1", "existe un primo mayor que 2", y puedes intuirlo recorriendo todos los naturales.

Pero en el caso de la recta, si bien puedo intuir la afirmación para cualquier punto particular, no puedo concebirlos a todos de ninguna manera intuitiva. Entonces ¿Puede o no puede ser intuitiva una afirmación generalizada a todos los puntos de una recta?

Ya te he respondido: Puede serlo, y tú mismo sabías que puede serlo, pues has dado un ejemplo perfecto. La intuición nos proporciona afirmaciones universales que no son reducibles a (interpretables como) la conjunción de cada uno de los casos particulares que abarcan.

Si eso parece insólito, creo que se debe a que estamos acostumbrados al razonamiento formal tal y como lo "enlata" la lógica de primer orden, que hace que, en cuanto puedes definir un concepto, puedes hablar automáticamente de todos los x que cumplen tu definición. Sospecho que esta característica hace que, en cuanto tratas de formalizar un concepto intuitivo, tu formalización añade (o al menos deja abierta la posibilidad de añadir aunque no quieras) muchos objetos "ideales" que no tienen nada de intuitivos, pero que pueden aparecer en los modelos de tu formalización.

05 Noviembre, 2011, 06:41 pm
Respuesta #573

Jabato

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En cualquier caso, la discusión sobre la intuición y los conceptos intuitivos solo ha sido un paréntesis (muy interesante por cierto) en el hilo global, que trataba sobre si en metalógica hay indefiniciones, paradojas, contradicciones, pescadillas que se muerden la cola (argumentos circulares) y otros bichos. Que quizás era ahora el momento de retomarlo.

Yo apostaba, dándole la razón a argentinator en ese aspecto, a que era posible establecer unas bases, unos postulados más ó menos racionales, que nos permitieran establecer unos principios generales, comunes a toda la metalógica y perfectamente conocidos con los que poder razonar con cadenas, lenguajes, sistemas lógicos y que incluyera además algún sistema numérico que nos permitiera realizar recuentos y comparaciones entre cadenas, y fue en ese momento en que nos sorprendió el debate sobre la intuición, pero el hilo era más bien otro.

Saludos, Jabato. ;D

05 Noviembre, 2011, 09:28 pm
Respuesta #574

Jabato

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Una pregunta que me hago. Habida cuenta del carácter intuitivo de la geometría euclídea ¿sería posible desarrollar la aritmética, es decir el concepto de número natural y las operaciones básicas de suma y producto usando solo conceptos derivados de la geometría, es decir los conceptos de punto, recta, semirrecta, segmento y otros similares? Porque si eso fuera posible a lo mejor podría abrirse una nueva vía para tratar de fundamentar la matemática partiendo tan solo de los conceptos estrictamente intuitivos de la geometría euclídea. Digo yo, se me ocurre que algo así podría ser quizás viable.

Por ejemplo, la sucesión de los números naturales podría obtenerse uniendo segmentos iguales entre si. La suma y el producto podrían construirse mediante la operación de unir segmentos. El orden podría establecerse mediante la inclusión de unos segmentos en otros, el axioma de infinito (numerable) podría quedar substituido por el concepto de semirrecta, etc. Aunque quizás otros axiomas presentarían una mayor dificultad, como por ejemplo el axioma de partes, axioma que resulta quizás excesivamente formal (poco intuitivo, por no decir nada intuitivo) y que en mi opinión es el que parece conducir a la hipótesis del continuo. En fin, nadie dice que sea fácil pero ...

Saludos, Jabato. ;D

06 Noviembre, 2011, 09:24 am
Respuesta #575

Garubi

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Cita de: Carlos Ivorra
Yo no creo que la afirmación " no es un conjunto de partes" sea cierta o falsa.

Y yo puedo estar de acuerdo, en el sentido de que si no hay un intérprete de la realidad, la realidad bién puede ser informe. Sin embargo, hay un sentido en el que no puedo estar de acuerdo, porque tenemos evidencia empírica de que sucede que, una vez definidos los elementos de un conjunto como un todo -y estas definiciones parecen necesarias, si queremos interpretar, al menos parcialmente, la realidad-, se verifica que una de las permutaciones del conjunto de partes es igual -en cardinal- a los elementos del conjunto definido como un todo, más "ninguna cosa".

MESA = {Pata 1, Pata 2, Pata 3, Pata 4, Tabla}
{Ninguna parte}
{Pata 1}
{Pata 2}
{Pata 2, Pata 1}
{Pata 3}
{Pata 3, Pata 1}
{Pata 3, Pata 2}   
{Pata 3, Pata 2, Pata 1}
{Pata 4}
{Pata 4, Pata 1}
{Pata 4, Pata 2}
{Pata 4, Pata 2, Pata 1}
{Pata 4, Pata 3}
{Pata 4, Pata 3, Pata 1}
{Pata 4, Pata 3, Pata 2   }
{Pata 4, Pata 3, Pata 2, Pata 1}
{Tabla}
{Tabla, Pata 1}
{Tabla, Pata 2}
{Tabla, Pata 1, Pata 2}
{Tabla, Pata 3}
{Tabla, Pata 1, Pata 3}
{Tabla, Pata 2, Pata 3}
{Tabla, Pata 1, Pata 2,   Pata 3}
{Tabla, Pata 4}
{Tabla, Pata 1, Pata 4}
{Tabla, Pata 2, Pata 4}
{Tabla, Pata 1, Pata 2, Pata 4}
{Tabla, Pata 3, Pata 4}
{Tabla, Pata 1, Pata 3, Pata 4}
{Tabla, Pata 2, Pata 3,   Pata 4}
{Tabla, Pata 1, Pata 2, Pata 3, Pata 4}

Sin embargo, yo no he hecho el conjunto de partes por la cuenta de la vieja, que también cuadraría, añadiendo por supuesto "ninguna cosa", sino recubriendo con {0,1} los números naturales (dados en el orden preternatural::)) de 0 a \( 2^5-1 \), y recubriendo los unos con los elementos del conjunto MESA, dados en el orden dado (en su orden natural  ::)). Se añaden antes de cada número tantos ceros como posiciones falten para completar el conjunto de partes, hasta el cardinal del conjunto dado (MESA).

No entiendo que este proceder entrañe circularidad alguna, porque junto dos constataciones empíricas distintas:
- Por un lado, que cuando termino de permutar todos los elementos de un conjunto, he obtenido \( 2^n-1 \) subconjuntos.
- Por otro, que que la lista de construcciones en base 2 de \( n \) de \( 0 \) hasta \( 2^n-1 \) (sé hacerla, no sé cómo), expresa 32 elementos.
- Junto estas dos constataciones empíricas, procedo, y compruebo que siempre que opero así obtengo con certeza al final el conjunto dado al principio, en su orden (casi  ::)). 

Creo convenir contigo en que tenemos una habilidad con una componente genética para la construcción de la secuencia de los naturales, y creo convenir con argentinator en que es preciso enseñar una disciplina del aprendizaje, y dar a conocer de la manera más compacta posible el compendio -o un núcleo- del conocimiento matemático. La teoría de conjuntos también es una clara muestra de que poseemos habilidades para algo más que contar con los números naturales.

Me baso en esa constatación empírica -de que hay una de las permutaciones igual en cardinal y en la naturaleza de sus elementos al conjunto dado-, para afirmar que cabe (quizás) una posibilidad de mejorar -acompasar un poco con las constataciones empíricas- la teoría de conjuntos, si es que esta constatación empírica no es más que un constructo mental erróneo, que confundo con una constatación empírica.

En la Carta que mencioné de Cantor a Dedekind, este le exponía a aquél la que se conoció después como paradoja de Burali-Forti, en la que construye la sucesión de los ordinales, desde 0, y llega a la conclusión de que todos los ordinales no es un conjunto disponible, y lo define alegremente, sin ninguna intencionalidad, como un infinito absolutamente inconsistente.

Es sólo una intuición, pero entiendo que Cantor enfrentó la imposibilidad de la HC, que luego se demostró como hipótesis independiente del resto de postulados de ZFC, porque ya se da afirmada y negada en un caso: cuando se afirma la infinitud de la sucesión de los números naturales, y se niega que sea mayor o igual en cardinal que su \( \aleph \) correspondiente. Entiendo que hay algún elemento apriorístico en la conclusión de que \( \omega_0 \) cierra los naturales, y la conclusión análoga de que \( \Omega \) cierra los ordinales.

Un saludo.
La esfera es un cubo romo

06 Noviembre, 2011, 01:44 pm
Respuesta #576

Carlos Ivorra

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Sigo escaso de tiempo, pero trataré de responder a lo que pueda.

Citar
Y en tercer lugar, aun así estarías dejando de lado los resultados que no son necesarios para fundamentar la matemática, en el sentido de determinar una definición razonable de "demostración matemática formal", pero que aportan información valiosísima sobre la capacidad del razonamiento matemático, como los teoremas de incompletitud, las técnicas para demostrar que cosas como la hipótesis del continuo son indemostrables, etc. ¿En qué podría ayudarte un ordenador escupiendo teoremas a la hora de entender por qué la hipótesis del continuo no se puede demostrar?

No se trata de si puede ayudarme o no, o de si me da "información" (humana, claro) o no.

Esos son aspectos "cualitativos" o "especulativos", o si querés "pedagógicos" de la matemática.
En las cuestiones de especulación y pedagogía, es válido usar la intuición sin barreras, así como cualquier otro recurso para lograr comprensión o entendemiento de las cosas.

Estás malintepretando mi afirmación porque he usado los verbos "ayudar" y "entender", pero te lo reformularé en términos más "fríos": Tienes un ordenador escupiendo teoremas de ZFC. Es natural preguntarse cosas como "¿Aparecerá alguna vez la hipótesis del continuo? entre los teoremas de ZFC". La respuesta es negativa. ¿No es un conocimiento matemático importante saber que es así? ¿Y cómo demuestras eso? Pon que logras axiomatizar la metamatemática y programas otro ordenador para que te demuestre teoremas metamatemáticos, y en un momento dado te sale "La hipótesis del continuo no se puede demostrar, junto con una demostración de ello". ¿Qué te permitiría afirmar que la salida de este segundo ordenador es una demostración matemática objetiva de que el primer ordenador nunca demostrará la hipótesis del continuo?

Para que puedas darle algún valor a las salidas del segundo ordenador, tendrás que justificar primero que realmente lo que hace el segundo ordenador puede interpretarse como lo que puede hacer el primero. ¿Qué vas a hacer, programar un tercer ordenador que te demuestre que el segundo ordenador realmente habla de lo que hace el tercero? ¿Vas a axiomatizar la metametamatemática que necesitas para que tu metamatemática formalizada tenga algún valor?

Yo no estoy hablando de poesía o romanticismo. Estoy diciendo que si me quieres convencer de que el primer ordenador nunca demostrará la HC no me sirve como argumento que me digas que tu segundo ordenador ha dicho que así es. Y si me convences de que ciertamente las conclusiones del segundo ordenador son de fiar, puedes estar seguro de que para hacerlo habrás tenido que razonar intuitivamente a un nivel de profundidad equivalente, pero con comprobaciones mucho más tediosas (por involucrar tu formalización superflua) que si directamente hubieras planteado la demostración metamatemática usual de que la hipótesis del continuo no se puede demostrar.

Se pierde todo el aspecto cualitativo y pedagógico...
Pero en realidad no se pierde.

Nadie está hablando aquí de pedagogía ni de romanticismo. Lo que te digo es que si me dices que la matemática es sólo una lista de outputs de un ordenador, entonces has reducido la matemática a la nada, porque hay miles de formas de programar ordenadores para que produzcan los outputs más variopintos. O razonas que la matemática es la salida de un ordenador programado de una forma específica que lo hace diferente de cualquier programa ridículo en el que uno quiera pensar, y para ello tendrás que usar a fondo la intuición, o no tienes absolutamente nada. O, mejor dicho, podrías tener algo, pero sin saber que lo tienes.

Uno puede hacer las cosas de dos formas: una, procurar sostener el rigor mediante cálculo estrictamente maquinal, y dos, mantener en forma paralela una versión "nice" para "dummies" jejeje de los resultados fríos y duros deducidos maquinalmente.

Más bien creo que los "dummies" serían los que aceptan que tal cosa es un teorema porque lo dice la máquina, aunque no lo entiendan, como los alumnos que dicen, "esto debe ser cierto, porque lo ha dicho el profesor, yo me lo aprendo de memoria y lo hago así y ya está".

El libro Principia Mathematica de Russell parece que apunta más o menos en este sentido.
Un día le dí una ojeada y se veía bastante incomprensible, como escupido por una máquina.

Los Principia mathematica tienen su metamatemática correspondiente, sin la cual serían papel mojado. El estilo no tiene nada que ver.

Una cosa es el rigor, y otra cosa es lo "poético en torno a la matemática".
Se pueden hacer las dos cosas.
Claro que esto obligar a un mayor trabajo.

Nadie habla de poesía. Tienes toda la razón en cuanto dices en la medida en que cuando dices "intuición" te refieres a tu concepto de intuición, como algo vago, metafórico, etc. Eso a lo que tú llamas intuición es totalmente inaceptable como fundamentación de la matemática. Pero una vez estamos de acuerdo en eso, ¿no sería hora de que te pusieras a discutir si lo que yo estoy llamando intuición es o no adecuado para fundamentar la matemática?

06 Noviembre, 2011, 02:13 pm
Respuesta #577

Carlos Ivorra

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Lo que pasa es que a la intuición se le dan varios atributos.
Uno de ellos es que permite una mejor "comprensión" de la matemática.
Esteeeee...
Bueno, pero entonces esa parte de la intuición tiene que quedarse ahí, en lo "anecdótico" de las ideas humanas, algo artístico, subjetivo, imaginativo o especulativo.

No hay nada de subjetivo, imaginativo o especulativo en afirmar que por un punto de una recta pasa un único plano perpendicular, y afirmar que esto es una afirmación intuitivamente evidente. Es una afirmación intuitiva absolutamente rigurosa.

Además, cuando un humano "certifica" cada paso de una demostración, falla bastante seguido, y tiene que "corregirse".
Para conseguir algo así tiene que haber necesariamente distintos niveles de intuición o certificación.

¿Por qué uno acepta un paso de una demostración, que su intuición le mostró que estaba correcto,
y después admite que se equivocó y tiene que volver atrás y corregirlo, acorde a otra intuición?
Los errores de este tipo ocurren todos los días, incluso en tareas tan elementales como al factorizar un polinomio de grado 3.

Eso es escepticismo universal. De hecho, tu propio ejemplo de la factorización de un polinomio se vuelve contra ti. En principio, factorizar un polinomio es demostrar un teorema en ZFC. No hay nada, absolutamente nada, que puedas hacer para evitar la posibilidad de error. Si programas un ordenador, el ordenador podría funcionar mal, o el programa podría tener "bugs", o tú podrías leer mal la salida, o podría fallar la impresora y omitir un signo menos que te lleve a leer mal el resultado, o podrías hacer referencia a la salida del ordenador y, por un fallo de memoria, dar por bueno algo que el ordenador nunca ha dicho que fuera bueno...

La cuestión es: ¿es la intuición como un libro lleno de mentiras, del que no te puedes fiar, o es más bien como un libro en el que todo lo que se dice es verdad, aunque cualquiera puede cometer un error al leerlo? Si es lo segundo, si todo error que uno puede aceptar por un lapsus puede identificarse y corregirse en cuanto se detecta el fallo, entonces la intuición es tan fiable como ZFC, porque puedes equivocarte al razonar intuitivamente igual que puedes equivocarte al razonar formalmente.

Piensa en el "razonamiento" típico:

\( x=y\Rightarrow x^2=xy\Rightarrow x^2-y^2=xy-y^2\Rightarrow (x+y)(x-y)=y(x-y)\Rightarrow x+y=y\Rightarrow 2y=y\Rightarrow 2=1 \)

Si un incauto acepta cada paso y al llegar al final se da cuenta de que algo ha debido fallar, vuelve atrás y se da cuenta de que ha dividido entre cero, eso no significa que una "intuición" ha confirmado que la división entre cero era correcta y otra "intuición" lo ha negado luego. Lo que significa es que hay un paso de ese razonamiento que no es riguroso, ni intuitivamente ni formalmente. No es un fallo de la intuición, es un fallo de la razón, que ha dado por bueno un paso sin justificación intuitiva ni formal. La razón (sin una directriz adecuada, sea la intuición o una teoría formal) no es de fiar, la intuición sí lo es. Todos los errores de razonamiento que puedas mostrar son errores de la razón, no de la intuición. Consisten en afirmar algo sin fundamento alguno.

Mira. Voy a plantear un isomorfismo:

Tu discurso es isomorfo al discurso de Garubi. Cualquier afirmación que tu hayas hecho o podrías hacer se transforma en una afirmación que Garubi ha hecho o podría hacer (y con el mismo fundamento) sin más que cambiar "intuición" por ZFC:

Tú refunfuñas sin motivos fundados contra la intuición, y Garubi refunfuña sin motivos fundados contra ZFC.

Tú quieres erradicar la intuición del razonamiento matemático (lo cual sería perder una herramienta indispensable), y Garubi quiere erradicar ZFC del razonamiento matemático (lo cual sería una pérdida menor que la de la intuición, pero muy drástica en cualquier caso).

Garubi anda dando vueltas a ZFC, cuando lo que tendría que hacer si realmente tuviera  sentido algo de lo que dice sería presentarnos una demostración en ZFC de que \( \mathcal P\mathbb{N} \) es numerable (o cualquier otra negación de un teorema de ZFC). ¿Crees que será capaz de hacerlo? Yo creo que sí. Pero tú sabes tan bien como yo que si Garubi nos muestra una demostración en ZFC de que las partes de \( \mathbb{N} \) es numerable, ni a ti ni a mí nos costará más de un minuto encontrarle el fallo. Porque tú sabes tan bien como yo que demostrar en ZFC no es afirmar " voy a razonar en ZFC", sino que hay que cumplir esa afirmación, lo cual significa razonar con rigor formal, es decir, asegurarse de que cada afirmación que se haga está en uno de estos tres casos:

a) Es un axioma de ZFC

b) Es un teorema rigurosamente demostrado de ZFC

c) Es una consecuencia lógica de algo afirmado anteriormente.

Y tú sabes tan bien como yo que si Garubi nos presenta su demostración de una contradicción en ZFC no nos costará ni un minuto encontrarle una afirmación que no cumpla ninguno de estos tres requisitos. Garubi habrá tratado de razonar formalmente y se habrá equivocado, porque cualquiera puede equivocarse haciendo cualquier cosa. Lo importante es que el error se puede localizar y corregir cuando se detecta.

Ahora te toca a ti:

Tú vas refunfuñando sobre la intuición con el mismo fundamento que Garubi. Si realmente crees que la intuición no es de fiar, lo que tienes que hacer es mostrar un único ejemplo de razonamiento intuitivo que lleve a una falsedad. Te creo capaz de lograrlo, pero estoy convencido de que si presentas uno, me costará lo mismo a mí encontrar un fallo de rigor en tu argumento que a ti encontrárselo al presunto argumento formal de Garubi. Porque razonar intuitivamente no es declarar "voy a razonar intuitivamente" y luego ponerse a hacer poesía. Un razonamiento intuitivo, para que sea válido, ha de ser absolutamente riguroso, lo cual significa que cada afirmación que hagas ha de cumplir uno de estos tres casos:

a) Ser intuitivamente evidente.

b) Haber sido demostrada intuitivamente con absoluto rigor previamente.

c) Ser consecuencia lógica de algo dicho previamente.

El razonamiento de 2=1 que he puesto antes no cumple estos requisitos, pues no es intuitivamente evidente (hablando por ejemplo de números naturales, por concretar) que si xy=xz entonces y=z, ya que si x = 0 eso es intuitivamente falso. Si alguien lo acepta como parte de un argumento intuitivo, no es porque su intuición le confirme que el paso es cierto, sino porque no está prestando la atención debida a la intuición, exactamente igual que Garubi no presta la atención debida a ZFC cuando hace afirmaciones sobre lo que puede y no puede demostrarse en ZFC. No hay en esto ninguna diferencia entre el rigor formal y el rigor intuitivo. Tu pretensión de que el rigor formal es rigor auténtico y el rigor intuitivo no es rigor es un puro prejuicio, un puro recelo sin el más mínimo fundamento, por infinitesimal que pudiera ser, del mismo modo que los recelos de Garubi sobre ZFC no tienen fundamento alguno.

Uno y otro estáis despotricando contra la intuición o contra ZFC respectivamente, simplemente porque no os gusta, y con tu actitud lo único que estás haciendo es que tu visión poética y romántica de la matemática (que te hace pensar que lo "bonito", lo "romántico", lo "deseable", lo "agradable" sería una matemática puramente formal) interfiera con el buen criterio que no me cabe duda que podrías mostrar si tus ideas románticas (en el mal sentido de la intuición que tú tienes, malo en el sentido de inútil, como tú mismo reconoces) no interfirieran.

Créeme, argentinator: eres víctima de tus propios demonios. Detestas el "romanticismo", la "subjetividad" etc. y toda tu posición es romántica, subjetiva, basada en prejuicios. En la mía no hay nada de "romanticismo" o "subjetividad" o prejuicio. Hay lo que hay, no hay indicio de que haya nada malo en lo que hay, lo que hay se puede usar para fundamentar sólidamente la matemática, y no hay más problemas que los que tú te quieres inventar.

06 Noviembre, 2011, 05:27 pm
Respuesta #578

Garubi

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Mira. Voy a plantear un isomorfismo:

Tu discurso es isomorfo al discurso de Garubi. Cualquier afirmación que tu hayas hecho o podrías hacer se transforma en una afirmación que Garubi ha hecho o podría hacer (y con el mismo fundamento) sin más que cambiar "intuición" por ZFC:

Tú refunfuñas sin motivos fundados contra la intuición, y Garubi refunfuña sin motivos fundados contra ZFC.

Tú quieres erradicar la intuición del razonamiento matemático (lo cual sería perder una herramienta indispensable), y Garubi quiere erradicar ZFC del razonamiento matemático (lo cual sería una pérdida menor que la de la intuición, pero muy drástica en cualquier caso).

Garubi anda dando vueltas a ZFC, cuando lo que tendría que hacer si realmente tuviera  sentido algo de lo que dice sería presentarnos una demostración en ZFC de que \( \mathcal P\mathbb{N} \) es numerable (o cualquier otra negación de un teorema de ZFC). ¿Crees que será capaz de hacerlo? Yo creo que sí. Pero tú sabes tan bien como yo que si Garubi nos muestra una demostración en ZFC de que las partes de \( \mathbb{N} \) es numerable, ni a ti ni a mí nos costará más de un minuto encontrarle el fallo. Porque tú sabes tan bien como yo que demostrar en ZFC no es afirmar " voy a razonar en ZFC", sino que hay que cumplir esa afirmación, lo cual significa razonar con rigor formal, es decir, asegurarse de que cada afirmación que se haga está en uno de estos tres casos:

a) Es un axioma de ZFC

b) Es un teorema rigurosamente demostrado de ZFC

c) Es una consecuencia lógica de algo afirmado anteriormente.


 :)
Creí que ya habíamos acordado que bastaría con una refutación en ZFC que se ubicase entre a) y b). Lo que dices a argentinator supone volver a poner la burra de los teoremas detrás del carro de los axiomas, y acordamos -o eso creo- que había que ceñirse a la lógica clásica:

Entiendo que hay que actuar clásicamente, y poner unos axiomas al principio, los llamados axiomas de ZFC, y poner el teorema de Cantor después y considerarlo una derivación posterior, para poder refutarlo.
Si no actuamos así, no creo que se pueda refutar nada en ninguna teoría.

Vale. Pero si quieres refutar el teorema de Cantor en ZFC y pretendes apoyarte en que \( \mathbb{N} \) es un conjunto de partes, primero tendrás que demostrar esto en ZFC, pues de lo contrario tu "refutación" no estará en ZFC y no habrás logrado tu objetivo, que era encontrar una contradicción en ZFC.

Hay un palo que no se ha tocado en esto de la caracterización de la intuición: El razonamiento heurístico.
En el mundo terrenal, consiste en conectar un conjunto de hechos aparentemente desconectados, con las facilidades otorgadas por las leyes de la causalidad: podemos conectar y desconectar causalmente los hechos, y utilizar el factor tiempo para construír una historia consistente con todos. Exploramos un universo de historias consistentes, con el útil filtro o restricción de la conexión causal. Los puntos de un espacio (los elementos del conjunto de sucesos sin conexión aparente) separados causalmente no se pueden conectar causalmente, y eso acota el universo de historias consistentes con los hechos. Junto con otros factores, pero esto nos da un sentido de lectura de los enunciados que especifican esos hechos.

Y por la misma razón, nos es lícito decir que los hechos que ocurren sin conexión causal son congruentes (módulo nada, congruentes en el sentido vago del lenguaje humano) con cualquier historia de nuestro universo de historias consistentes con todos los hechos en los que se pueda establecer una relación causa-efecto.

En el mundo matemático, todo existe a la vez, de alguna manera abstracta todo son espacios, un poco sublimados, pero espacios.
Es un espacio, por ejemplo el conjunto de sentencias que se deducen formalmente en ZFC. Estos son los hechos para nuestro razonamiento heurístico.
Nuestra constitución cerebral nos lleva a conectar los puntos de este espacio con leyes de conexión, pero ahora no nos es dado hacerlo con la herramienta de la causalidad, sino con leyes de transformación de signos.
Pero los signos ocurren en un universo material, el nuestro, donde el tiempo y el espacio tienen una realidad tan impalpable como cierta.
Nos es dado poner primero un axioma y luego otro, poner tres axiomas y luego otro, darlos todos, alternarlos con teoremas que obtuvimos antes, etc., antes de tomar esa Base Axiomática y proceder a utilizarla para transformar unos signos en otros. Y, claramente, el orden de combinación puede afectar a las transformaciones de signos.

Pido que valga, por tanto, aceptar los axiomas explícitos de ZFC, en un orden cualquiera, como único fundamento para la derivación de una contradicción, y pido también que valga una interpretación de la axiomática de ZFC -un mapeo unívoco entre entes de razón, signos y términos (otros entes de razón, en realidad)-, que no se pueda demostrar inconsistente, para dar la prueba.

Entiendo que debo revisar profundamente el axioma del conjunto de partes (y esquemas metalógicos asociados), para ver si cabe una manera de identificar alguna definición de \( \mathbb{N} \) con alguna reinterpretación del conjunto potencia y los esquemas metalógicos. Entiendo que quizás sea posible si se consigue sustituír la noción de orden por la noción de sucesión, y que cuele (sistituirla de forma congruente).  :P  ::). Vaya sarao (fiesta folclórica de aquí).

Quiero que conste que no tengo ningún problema en reconocer el amplio espectro de mi ignorancia.
Alguien lo definió alguna vez como inteligencia sin formación. Se trata de una persona por la que siento un agradecimiento sincero, y sintonía personal, si esto es posible sin conocer físicamente a alguien.  ;)
Aunque no sé si este tipo de declaraciones de principio hacen mucho al caso del hilo. Excusad.

Pero también quiero que conste que tengo lo que digo tener, una curva cerrada para cada potencia de dos que se puede recorrer sin problemas en un sentido y en otro, que pasa una y sólo una vez por cada número, y que el orden que da a los números les otorga -como sucesión- un sinfín de bellas propiedades. Tener eso me hace feliz.  :). Y me da mucho que pensar.

Un saludo a todos.
La esfera es un cubo romo

07 Noviembre, 2011, 12:46 am
Respuesta #579

Carlos Ivorra

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Creí que ya habíamos acordado que bastaría con una refutación en ZFC que se ubicase entre a) y b). Lo que dices a argentinator supone volver a poner la burra de los teoremas detrás del carro de los axiomas, y acordamos -o eso creo- que había que ceñirse a la lógica clásica:

Entiendo que hay que actuar clásicamente, y poner unos axiomas al principio, los llamados axiomas de ZFC, y poner el teorema de Cantor después y considerarlo una derivación posterior, para poder refutarlo.
Si no actuamos así, no creo que se pueda refutar nada en ninguna teoría.

Vale. Pero si quieres refutar el teorema de Cantor en ZFC y pretendes apoyarte en que \( \mathbb{N} \) es un conjunto de partes, primero tendrás que demostrar esto en ZFC, pues de lo contrario tu "refutación" no estará en ZFC y no habrás logrado tu objetivo, que era encontrar una contradicción en ZFC.

No entiendo lo que me dices. El "vale" que me subrayas dice que estoy de acuerdo en que el teorema de Cantor es una derivación de los axiomas de ZFC. No sé qué es eso que habíamos acordado y de lo que, al parecer, me he retractado.

Lo único que le he dicho a argentinator es que tú pretendes demostrar una contradicción en ZFC, pero que lo cierto es que hasta ahora no has presentado ninguna demostración en ZFC de una contradicción, junto con mi convicción de que si lo haces, tendrá sin duda un fallo evidente, por la misma razón que si me escribe alguien con una demostración del teorema de Fermat en dos líneas (caso verídico) no necesito leer las dos líneas para saber que tienen un fallo.