Autor Tema: C. Sists. Numéricos. --- Sección 1: Números Naturales

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17 Marzo, 2016, 07:46 pm
Respuesta #20

dcarballor

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Hola, gracias por la respuesta y perdón por la tardanza en contestar por mi parte.
Sí, tu respuesta responde a mi pregunta.
La cuestión es que estoy preparando una exposición de una hora sobre los naturales y ahora mismo... me parece que voy a pasar por este punto sin meterme en muchas profundidades y a esperar que no me pregunten mucho sobre ello :P
Y el motivo ya es personal, no consigo detenerme el tiempo necesario para pensarlo, estoy intentando simplemente preparar algo "que no me cueste", que sean cosas conocidas por mí o fáciles y esta cuestión en concreto me ha atrancado un poco.
En fin, que gracias de nuevo.
Si me pongo a intentarlo, lo cuento aquí a ver qué tal os parece.
Un saludo.

18 Marzo, 2016, 09:57 pm
Respuesta #21

dcarballor

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Vamos allá.

Primero de todo pido disculpas pues el primer post que hago con latex y estoy seguro que habrá cosas que no son del todo correctas y otras que directamente serán muy incorrectas, pero bueno. Hay que lanzarse.

Supongamos que no tenemos el principio de recurrencia.
Definimos una función que llamamos + (suma):
\( +:NxN\longrightarrow{N}\\
con \\
m+1= S(n)\\
m+S(n) = S(m+n); \forall{m.n \in{N}}   \)
y siendo \( S   \) la función "siguiente" de los axiomas.
En primer lugar vamos a ver que esa función existe.
Para ello definimos el conjunto A siguiente:
 \( A=  \left\{{x\in{N}/\exists{f_x:\left\{{x}\right\}xN\longrightarrow{N}}}\right\} \)
\(  con f_x (x,n) = x+n \\
con \\
x+1=S(x)\\
x+S(y) = S (x+y)  \forall{y \in N} \)
Vamos a usar el principio de inducción y a demostrar por tanto que A = N.
Para ello, en primera lugar tenemos que demostrar que \(  1\in A \)
Exectivamente, \(  1\in A \) puesto que \( f_1  \)debería cumplir:
\(  1+ 1= S(1) \) lo que se puede definir porque sabemos que la función S existe por los axiomas.
La otra condición que debe cumplir es que \( 1+S(y) = S (1+y)  \forall{y \in N} \) lo cual también podemos admitir que existe por ser S la función de los axiomas (Esto no lo veo claro ni yo. ¿Con esto sería suficiente? ¿Habría que justificar algo más?)
Pasamos a admitir que un x natural \( \in A \), veamos si S(x) también \( \in A \)
Para ello, necesitamos que exista una función \( f_{S(x)}  \)tal que:
1) \( f_{S(x)} (S(x), 1) = S(x) + 1 = S(S(x)) \\ 2) f_{S(x)} (S(x),S(y)) = S(x) + S(y) = S(S(x)+y)\\  \)
1) se cumple pues aplicando que \( 1, x \in A \) obtenemos lo siguiente: \(  S(x) + 1 = x+1+1  =  x + S(1) =  S(x+1)  = S(S(x)) \)

2) se cumple pues aplicando que \( 1, x \in A \) obtenemos lo siguiente \(  S(x) + S(y) = x+1+S(y)  = x + S(1+y) = S(x+1+y) = S(S(x)+y) \)
Por tanto, \( 1 \in A \) y obtenemos que \( S(x) \in A \) si suponemos que  \( x \in A \) , con lo que todos los naturales están en A.

Luego hemos demostrado que esa función existe. (O quizá no, espero aportaciones y críticas)
Y me falta la unicidad.