Autor Tema: Límites

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19 Julio, 2010, 05:41 pm
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maria123

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hola,

1)me dan la siguiente seguida \( \left\{{\sqrt[ ]{2},\sqrt[ ]{2\sqrt[ ]{2}},\sqrt[ ]{2\sqrt[ ]{2\sqrt[ ]{2}}}}\right\}... \)y me piden que calcule su limite. \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[ ]{2x_n_-_1}} \)

2) \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(\sqrt[ ]{n^2+4n}-\sqrt[ ]{n^2-n})} \) aqui creo que tengo que utilizar el numero \( e \)
     

solo necesito que me digais los pasos

gracias

limites límites

19 Julio, 2010, 06:06 pm
Respuesta #1

Dogod

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Hola, me pregunto si en el segundo puedes racionalizar multiplicando y dividiendo por el conjugado..., es sólo una impresión. Una idea cargada de trasnocho (y no precisamente estudiando >:D jejeje).


Un saludo

PD: Tienes 95 años? En serio?  :D >:D :laugh:
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19 Julio, 2010, 06:40 pm
Respuesta #2

loztrnger

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1) miralo Míralo como sucesion sucesión:
\( x_1=2; x_n=\sqrt[ ]{2+x_n} \) (esta es una sucesion defenida inductivamante, por principio de buena construccion bla bla bla.. esta está bien definido.. esa parte no interesa)

*ahora Ahora .. haber a ver.. es creciente (estrictamente)
*de la ecuacion ecuación \( x^2-x-a=0} \) r su raiz positiva
  \( \rightarrow{r>x_n; \forall{n \in{N}}} \)(usa induccioninducción para probarlo)
--> como la sucesion es creciente y acotada --> es convergente

osea Osea que existe su limite límite.. sea \( L=\lim a_n \)

* de \( x^2_{n+1}=a+ x_n \)  tomas limite --> \( L^2=a+L \) --> L=r (la razi de la ecuacion anterior)

2) \( \sqrt[ ]{n^2+4n}-\sqrt[ ]{n^2-n}= \displaystyle\frac{(n^2+4n)-(n^2-n)}{\sqrt[ ]{n^2+4n}+\sqrt[ ]{n^2-n}} \)= \( \displaystyle\frac{5}{\sqrt[ ]{1+\displaystyle\frac{4}{n}}+\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{1}{n}}}  \)
tomale limite a eso y sale 2.5

19 Julio, 2010, 07:12 pm
Respuesta #3

Dogod

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Hola, sí ves..., no estaba tan mal con lo del trasnocho, efectivamente sale con el conjugado y el valor del límite es \( \displaystyle\frac{5}{2} \), tal como ha demostrado loztrnger. Para el otro creo que puedes seguir sus indicaciones.


Por otro lado loztrnger, no podrías escribir un poco mejor con el látex?, no lo digo por malo es que así da un poco de pereza leerlo...


Un saludo
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19 Julio, 2010, 07:13 pm
Respuesta #4

loztrnger

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esEs que aun aún no me acostumbro ..pero esta está bien.. si sí da peresa pereza leerlo tienes razon razón..


También tienes que cuidar tu ortografía.

19 Julio, 2010, 07:15 pm
Respuesta #5

mathtruco

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Supongo que para el primer problema loztrnger quizo escribir:

\( x_{n+1}=\sqrt{2x_n} \), para todo \( n\in\mathbb{N} \).

El resto está ok.

19 Julio, 2010, 08:29 pm
Respuesta #6

Dogod

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esEs que aun aún no me acostumbro ..pero esta está bien.. si sí da peresa leerlo tienes razon razón..


También tienes que cuidar tu ortografía.

Se les olvidó que pereza es con z.  :) ¿O me pierdo de algo? Últimamente ando un poco despistado y no sé si me acuerdo bien pero me parece que es con Z. Pero bueno..., vosotros sois los que corregís...



Un saludo
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20 Julio, 2010, 12:57 am
Respuesta #7

Leonardog

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Está mal este planteo para 1?:
\(
k=\sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 ...}}}}
 \)
luego:
\(
k^2=2 \sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 ...}}}=2k
 \)
Entonces:
\(
k^2=2 k\Rightarrow{k^2-2k=k(k-2)}
 \)
De donde obtengo que k=2 (descarto a k=0, sin poder justificarlo formalmente, aunque está claro que no va a dar 0).
Salu2,
Leo

Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!

20 Julio, 2010, 01:05 am
Respuesta #8

Héctor Manuel

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Está mal este planteo para 1?:
\(
k=\sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 ...}}}}
 \)
luego:
\(
k^2=2 \sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2 ...}}}=2k
 \)
Entonces:
\(
k^2=2 k\Rightarrow{k^2-2k=k(k-2)}
 \)


No es que el planteo esté mal.  Sino que estás resolviendo el ejericio al revés.  Estás probando que, de existir, el límite es 0 ó 2.  Ahora falta ver que el límite existe.  Esto se hace checando la monotonía y el acotamiento de la sucesión.  De paso, bajo ese análisis, si concluyes que el límite existe, también verás si es 0 ó 2.

Saludos.

20 Julio, 2010, 10:58 am
Respuesta #9

maria123

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y como hariais con estos 2

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(n-\sqrt[ 3]{n^3 -2n^2})} \)

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[ ]{n^2 + \sqrt[ ]{n^4 +1}}-\sqrt[ ]{2n^2}} \)

en la primera la raiz es de 3 y creo que habia que utilizar una formula, y la segunda intento hacer lo mismo que lo que habeis echo pero no consigo nada

muchas gracias

20 Julio, 2010, 11:05 am
Respuesta #10

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(n-\sqrt[ 3]{n^3 -2n^2})} \)

Llama \( a=n,\;b=\sqrt[ 3]{n^3-2n^2} \) y usa \( a-b=(a^3-b^3)/(a^2+ab+b^2) \) (conjugado generalizado).

20 Julio, 2010, 11:09 am
Respuesta #11

Fernando Revilla

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\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[ ]{n^2 + \sqrt[ ]{n^4 +1}}-\sqrt[ ]{2n^2}} \)

Multiplica y divide por la expresión conjugada. Posteriormente reitera el proceso.

20 Julio, 2010, 11:52 am
Respuesta #12

maria123

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la 1 me parece un poco rara la formula,¿no hay otra? es que no me suena la division...

20 Julio, 2010, 12:06 pm
Respuesta #13

Fernando Revilla

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la 1 me parece un poco rara la formula,¿no hay otra? es que no me suena la division...

Es el método natural. Puedes verificar de forma inmediata que:

\( (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \)

20 Julio, 2010, 05:27 pm
Respuesta #14

maria123

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ok gracias phidias

unas dudas mas y termino

1) me dicen que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_n}=x \), demuestra \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}}=x \),

2)y siendo \( x_n \) positivo para cualquier \( n\in{\mathbb{N}} \),demostrar \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[ n]{x_1\cdot{x_2}\cdot{\cdot{\cdot{x_n}}}}}=x \)

3) mira la convergencia de las siguiente seguida y da su limite si es convergente

\( \begin{Bmatrix} x_1=\sqrt[ ]{3} & \mbox{}& \\x_n_+_1 =\sqrt[ ]{3+x_n} & \mbox{}& \end{matrix} \)

(recordad que no hace falta que los hagais solo darme los pasos)

gracias

21 Julio, 2010, 11:27 pm
Respuesta #15

maria123

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me es urgente porfavor

22 Julio, 2010, 01:10 am
Respuesta #16

Ser Humano

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  • intentando comprender
Hola. El elemento k-ésimo de la sucesión de 1) me parece que es \( \Pi_{i=1}^{k} \sqrt[2^{i} ]{2} \), ya que \( \{ \sqrt[ ]{2}, \sqrt[ ]{2 \sqrt[ ]{2}}, \sqrt[ ]{2\sqrt[ ]{2\sqrt[ ]{2}}}, ... \} = \{\sqrt[ ]{2}, \sqrt[ ]{2} \sqrt[4 ]{2}, \sqrt[ ]{2}\sqrt[ 4]{2}\sqrt[8 ]{2},... \} =\{ \sqrt[ ]{2}, \sqrt[ ]{2}\sqrt[2^2 ]{2}, \sqrt[ ]{2}\sqrt[ 2^2]{2}\sqrt[ 2^3]{2},... \} \).

 Por lo tanto, cuando \( k \) tiende a infinito, el elemento tiende a uno.

Saludos

22 Julio, 2010, 11:05 pm
Respuesta #17

maria123

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ok gracias phidias

unas dudas mas y termino

1) me dicen que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_n}=x \), demuestra \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}}=x \),

2)y siendo \( x_n \) positivo para cualquier \( n\in{\mathbb{N}} \),demostrar \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[ n]{x_1\cdot{x_2}\cdot{\cdot{\cdot{x_n}}}}}=x \)

3) mira la convergencia de las siguiente seguida y da su limite si es convergente

\( \begin{Bmatrix} x_1=\sqrt[ ]{3} & \mbox{}& \\x_n_+_1 =\sqrt[ ]{3+x_n} & \mbox{}& \end{matrix} \)

(recordad que no hace falta que los hagais solo darme los pasos)

gracias

ese problema ya esta solucionado,pido lo de arriba

gracias

23 Julio, 2010, 12:15 am
Respuesta #18

Sonata

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Vamos con el punto 1. Demostremos que si \( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_1+\dots+a_n}n=a \)



Como \( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=a \),  existe \( n_0(\epsilon) \) tal que \( \forall
n>n_0 \) es \(  |a_n-a|<\dfrac{\epsilon}2\quad\quad [1] \)

Ahora bien, para ver que \( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_1 +\dots+a_n }{n}=a \), hemos de ver que existe \( N_0(\epsilon) \) tal que \( \forall n>N_0 \) es  \( \left|\dfrac{a_1 +\dots+a_n }{ n}-a\right|<\epsilon. \) Calculemos el módulo anterior.
Se tiene:

 \(  \left|\dfrac{a_1 +\dots+a_n }{ n}-a\right|=
\left|\dfrac{(a_1-a) +\dots+(a_n-a) }{ n}\right|= \left|\dfrac{(a_1-a) +\dots+(a_{n_0}-a) +(a_{n_0+1}-a)
+\dots+(a_n-a) }{ n}\right| \le \)

\(
\buildrel{\text{Des. triangular}}\over{\le} \underbrace{
\left|
\dfrac{(a_1-a) +\dots+(a_{n_0}-a) }{ n}\right|}_{A}
+\underbrace{\left|\dfrac{(a_{n_0+1}-a)
+\dots+(a_n-a) }{ n}\right|}_{B}=\hbox{A+B}  \)

Calculemos \( A \) y \( B \) por separado.

Cálculo de \( A: \)

 \( A=\left|
\dfrac{(a_1-a) +\dots+(a_{n_0}-a) }{ n}\right|. \) Obsérvese que el numerador de la fracción es una constante, y que el denominador es una sucesión que, por hipótesis, tiende a infinito. Así, \(  \lim\limits_{n\to\infty}
\dfrac{(a_1-a) +\dots+(a_{n_0}-a) }{ n}=0, \) es decir, existe \( n_1(\epsilon) \) tal que \( \forall n>n_1 \) es \(  \left|
\dfrac{(a_1-a) +\dots+(a_{n_0}-a) }{ n}-0\right| =\left|
\dfrac{(a_1-a) +\dots+(a_{n_0}-a) }{ n}\right|<\dfrac{\epsilon}2, \) con lo cual \( A<\dfrac{\epsilon}2,\ \forall n>n_1\quad\quad[2] \)

Cálculo de \( B: \)

 \(  B=\left|\dfrac{(a_{n_0+1}-a)
+\dots+(a_n-a) }{ n}\right|
\buildrel{\text{Des. triangular
}}\over\le \) \(
\dfrac{|a_{n_0+1}-a|  +\dots+|a_n-a| }{ n}
\buildrel{[1]}\over{<}\dfrac{\dfrac{\epsilon}2 +\dots+\dfrac{\epsilon}2}{ n}
 =\dfrac{\epsilon}2   \)
 Así, \(  B<\dfrac{\epsilon}2,\
\forall n>n_0\quad\quad[3] \)

Tomando \( N_0=\max\{n_0,n_1\}, \) y teniendo en cuenta [2] y [3], es claro ahora que \( \forall n>N_0 \) es  \( \left|\dfrac{a_1 +\dots+a_n }{ n}-a\right|\le A+B<\dfrac{\epsilon}2+\dfrac{\epsilon}2=\epsilon. \)

El punto 2 es consecuencia del 1). Basta tomar logaritmos y aplicar lo que acabamos de demostrar a la sucesión \( \log(a_n) \)

Un saludo :)

24 Julio, 2010, 12:14 am
Respuesta #19

Elvio Lento

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Hola Sonata  :-*

Citar
\(  \left|\dfrac{a_1 +\dots+a_n }{ n}-a\right|=\left|\dfrac{(a_1-a) +\dots+(a_n-a) }{ n}\right|= \left|\dfrac{(a_1-a) +\dots+(a_{n_0}-a) +(a_{n_0+1}-a)+\dots+(a_n-a) }{ n}\right| \le \)
Cómo justificas esto, que el \( n_o \)  esta \( (a_{n_0}-a) +(a_{n_0+1}-a) \) es decir, ¿Es un truco para separar?, luego usas la hipótesis no, cierto!

Bueno pensaba hacer una pregunta similar a esta, por qué se toma el máximo \( N_0=\max\{n_0,n_1\}, \)


Saludos


Por favor enseñanme a pensar