Autor Tema: Isomorfismo del Coker(f)

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03 Julio, 2010, 08:28 pm
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robinharra

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HOla
No he podido realizar el siguiente ejercicio, se les agradece una Sugerencia.

Sea \( f:M\longrightarrow{N} \) un A-homomorfismo. Se llama conucleo y coimagen de f, respectivamente, a los conjuntos
\( Coker(f)=\displaystyle\frac{M}{Im(f)} \) y \( Coim(f)=\displaystyle\frac{M}{Ker(f)} \)
Sea P un A-modulo y \( \alpha:N\rightarrow{P} \) un A-homomorfismo tal que \( \alpha\circ{f}=0 \) y tal que para todo A-Homomorfismo \( g:N\longrightarrow{N'} \), que cumpla, \( g\circ{f}=0 \), existe \( g'':P\longrightarrow{N'} \)el cual satisface \( g''\circ{\alpha}=g. \) Probar que P es isomorfo a \( Coker(f) \)


\(  \xymatrix{
    M \ar[r]^f & N \ar[r]^g\ar[d]^{\alpha} & N'  \\
     & P\ar[ur]^{g''} &
  } \)

El problema anterior dice lo siguiente, puede que sirva, este ya lo probé.

Spoiler
Sea \( j:N\longrightarrow{\displaystyle\frac{N}{Im(f)}} \) la proyección canónica.
Probar que \( j\circ{f}=0 \). Demostrar que, si \( g:N\longrightarrow{N'} \) es un A-homomorfismo tal que \( g\circ{f}=0  \), entonces existe un único A-homomorfismo \( g':Coker(f)\longrightarrow{N'} \) tal que \( g'\circ{j}=g  \)


\(  \xymatrix{
    M \ar[r]^f & N \ar[r]^j\ar[d]^g & \textsf{Coker(f)} \ar[ld]^{g'} \\
     & N' &
  } \)
[cerrar]

Me parece que falta la condición de que \( \alpha \) sea un epimorfismo, pues uno puede probar que \( Ker(\alpha)=Im(f) \). Luego se cumpliría, por el primer teorema de homomorfismo para módulos que \( coker(f)\cong{P} \)
Colombia, capital mundial del re-busque.

05 Julio, 2010, 09:45 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Efectivamente necesitas que \( \alpha \) sea un epimorfismo. Como contraejemplo para justificar esto, piensa en:

\(  M=N=A=P=\mathbb{R} \), \( f=id \), \( \alpha=0 \).

Saludos.