Autor Tema: Producto tensorial de Z módulos

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05 Julio, 2010, 03:20 am
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Jorge klan

  • Lathi
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Hola amigos, tengo el siguiente problema:

Sea \( \alpha:Z_2\rightarrow{}Z_4 \) la inclusión usual, la cual es un monomorfismo de grupos abelianos. Muestre que el homomorfismo \( 1\otimes \alpha:Z_2\otimes Z_2\rightarrow{}Z_2\otimes Z_4 \), el cual viene dado por \( 1\otimes \alpha (a\otimes b)=1(a)\otimes \alpha (b) \) ( donde \( 1 \) representa la función identidad de \( Z_2 \)) es la función nula.

Lo que he pensado es lo siguiente:

Spoiler
Sabemos que \( Z_2\otimes Z_2\cong Z_2\cong Z_2\otimes Z_4 \), luego, como \( Hom (Z_2)=\{Id,0\} \), tenemos que \( 1\otimes \alpha \) tiene dos posibilidades, es un isomorfismo o bien es la función nula. De aquí, me pongo en el caso  que  \( 1\otimes \alpha \) es un isomorfismo... lo que quería deducir es que, si es así, entonces \( \alpha \) tiene que ser isomorfismo, lo cual es una contradicción, pero no sé si está bien, ya que la proposición es al revés, es decir, si \( f,g \) son isomorfismo entonces \( f \otimes g \) es isomorfismo... no sé si el recíproco es valido
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Saludos

05 Julio, 2010, 09:04 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Si tienes:

\(  f:Z\longrightarrow{}Z,\quad f(k)=3k \)
\( id:Z_2\longrightarrow Z_2 \)

 se cumple que \( f\otimes id \) es isomorfismo pero \( f \) no lo es.

 De todas formas simplemente ten en cuenta que \( \alpha(b)=2b \). Entonces:

 \( 1\times \alpha(a\times b)=a\times (2b)=(2a)\times b=0 \)

Saludos.

P.D. Estoy haciendo un cierto abuso de notación. Siendo riguroso uno debía de poner "sombreritos" a los números para indicar que son clases en \( Z_2 \) o \( Z_4 \) según corresponda.

05 Julio, 2010, 09:28 am
Respuesta #2

Jorge klan

  • Lathi
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Nuevamente me haz sacado de un aprieto el_manco!  Por la notación note perocupes... se entiende perfecto

Estaba considerando muy mal la función inclusión  ::)...

Muchas gracias!