Autor Tema: Grupo de Galois

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22 Junio, 2010, 03:28 pm
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hupavi

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Hola a todos, tengo una duda, me preguntaron que hallara el Grupo de Galois \( G(f(x)/\mathbb{Q}) \) de \( f(x)=x^3 - 2 \in{\mathbb{Q}[x]} \), y hacer un diagrama de la correspondencia de los subgrupos del grupo de Galois y los cuerpos intermedios entre \( \mathbb{Q} \) y \( K \), donde \( K \) es el cuerpo de descomposición de \( f(x) \), la cuestion es que existen 6 elementos en el grupo de Galois, pero no se como definir los automorfismo, agradesco de antemano por su ayuda.

23 Junio, 2010, 10:07 am
Respuesta #1

bachiller__

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En efecto, el Grupo de Galois tiene \( 6 \) elementos:

\( \mathbb{Q}(f)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\xi) \), donde \( \xi \) es una raíz cúbica primitiva de la unidad (comprueba la igualdad usando el doble contenido)

Por lo tanto tenemos dos cuerpos intermedios \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) y \( \mathbb{Q}(\xi) \) con grados \( 3 \) y \( 2 \) respectivamente. Como los grados son primos entre sí, el grado de \( \mathbb{Q}(f) \) sobre \( \mathbb{Q} \) es \( 6 \)

El Grupo de Galois puede ser \( \mathbb{Z}_6 \) o \( D_3 \)
En este caso vamos a ver que el Grupo de Galois de la extensión es \( D_3 \):

Sea \( \sigma \) el automorfismo de Galois dado por \( \sigma(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\xi \) y por \( \sigma(\xi)=\xi \)
Sea \( \tau \) el automorfismo de Galois dado por \( \tau(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2} \) y por \( \tau(\xi)=\xi^2 \)

Comprueba que el Grupo de Galois es el grupo diédrico de orden \( 6 \) generado por \( \sigma \) y \( \tau \)
Dibuja el retículo del grupo \( D_3 \) y mediante las correspondencias de Galois dibuja el retículo de los cuerpos intermedios

23 Junio, 2010, 10:16 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 La extensión es \( Q[\sqrt[3]{2},\epsilon] \) siendo \( \epsilon \) una raíz tercera primitiva de la unidad.

 El grupo de Galois es el grupo de permutaciones de tres elementos generado por:

 \( \sigma: Q[\sqrt[3]{2},\epsilon]\longrightarrow{}Q[\sqrt[3]{2},\epsilon][,\quad \sigma(\sqrt[3]{2})=\epsilon \sqrt[3]{2},\quad \sigma(\epsilon)=\epsilon \)

 \( \delta: Q[\sqrt[3]{2},\epsilon]\longrightarrow{}Q[\sqrt[3]{2},\epsilon][,\quad \delta(\sqrt[3]{2})= \sqrt[3]{2},\quad \sigma(\epsilon)=\epsilon^2 \)

 con \( \sigma^3=id, \quad \delta^2=id \).

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto se me adelantó Bachiller...