Autor Tema: Grupos cíclicos y normales

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22 Junio, 2010, 03:55 am
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jacomath89

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Hola a todos necesito ayuda con este ejercicio;

Si un subgrupo cíclico \( T \) de \( G \)  es normal en \( G \). Pruébese que todo subgrupo de \( T \) es normal en \( G \).


Saludos

22 Junio, 2010, 05:47 am
Respuesta #1

J. H. Stgo

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...

\(

$T$ es c\'iclico luego $T = \langle a \rangle$
 para alg\'un $a \in G$.

Supongamos que $S$ es un subgrupo de $T$.


Debemos mostrar que $S$ es normal en $G$. Por la normalidad de $T$
 tenemos que $gtg^{-1} \in T$ para todo $g \in G$ y $t \in T$.


Tomemos ahora $g \in G$ y $s \in S$. El resultado se seguir\'a al mostrar que $gsg^{-1} \in S$.

Por un resultado cl\'asico, $S$ es c\'iclico. M\'as a\'un, si $s \in S$ entonces $s =
 (a^{n})^{m}$ donde $n$ es el menor n\'umero natural tal que $a^{n}
\in S$. As\'i:


$gsg^{-1} = g(a^{n})^{m}g^{-1} = g(a^{m})^{n}g^{-1} =
 (ga^{m}g^{-1})^{n}.
$

Por otro, de la normalidad de $T$ se asegura que $ga^{m}g^{-1}
 \in T$.

Luego, $ga^{m}g^{-1} = a^{k}$ para alg\'un $k \in
 \mathbb{Z}^{+}$ y entonces:


$gsg^{-1} = (ga^{m}g^{-1})^{n} = (a^{k})^{n} = (a^{n})^{k} \in S.
$

Q. E. D. \)

22 Junio, 2010, 01:49 pm
Respuesta #2

jacomath89

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Por qué? dices que S es cíclico

Si bien es cierto, tengo un resultado que dice que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

pero en este caso S es subgrupo de T, y a su vez T es subgrupo de G.

22 Junio, 2010, 07:35 pm
Respuesta #3

J. H. Stgo

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Por qué? dices que S es cíclico.

Si bien es cierto, tengo un resultado que dice que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.


Pues por eso... :)