...
\(
$T$ es c\'iclico luego $T = \langle a \rangle$
para alg\'un $a \in G$.
Supongamos que $S$ es un subgrupo de $T$.
Debemos mostrar que $S$ es normal en $G$. Por la normalidad de $T$
tenemos que $gtg^{-1} \in T$ para todo $g \in G$ y $t \in T$.
Tomemos ahora $g \in G$ y $s \in S$. El resultado se seguir\'a al mostrar que $gsg^{-1} \in S$.
Por un resultado cl\'asico, $S$ es c\'iclico. M\'as a\'un, si $s \in S$ entonces $s =
(a^{n})^{m}$ donde $n$ es el menor n\'umero natural tal que $a^{n}
\in S$. As\'i:
$gsg^{-1} = g(a^{n})^{m}g^{-1} = g(a^{m})^{n}g^{-1} =
(ga^{m}g^{-1})^{n}.
$
Por otro, de la normalidad de $T$ se asegura que $ga^{m}g^{-1}
\in T$.
Luego, $ga^{m}g^{-1} = a^{k}$ para alg\'un $k \in
\mathbb{Z}^{+}$ y entonces:
$gsg^{-1} = (ga^{m}g^{-1})^{n} = (a^{k})^{n} = (a^{n})^{k} \in S.
$
Q. E. D. \)