Hola
He estado echando un vistazo a tu trabajo, la escritura y redacción se me hace algo confusa, pero en esencia creo que haces lo siguiente.
Fíjado un número para \( 2n \) (con n no primo, ya que en otro caso la descomposición de Goldbaach es trivial) consideras el conjunto:
\( X=\{k\in N|n<k<2n,\,k\mbox{ compuesto, coprimo con }2n\} \)
Pruebas:
i) Si \( X=\emptyset \) se cumple la conjetura de Goldbach para \( 2n \). El razonamiento que haces me parece correcto.
Spoiler
- Existe un primo \( p\in (n,2n) \).
- Si \( 2n-p \) es primo, problema resuelto: \( 2n=p+(2n-p) \)
- En otro caso \( 2n-p \) tiene un factor primo \( q \).
- Entonces \( 2n-q \) es coprimo con \( 2n \) (en otro caso \( q \) sería factor de \( 2n \), y a su vez de \( p \)). No puede ser compuesto por hipótesis luego es primo. Por tanto, problema resuelto:
\( 2n=q+(2n-q) \)
ii) Si en \( X \) hay un sólo elemento entonces la conjetura es cierta. El razonamiento de nuevo me parece correcto.
Spoiler
- Podemos escribir el único elemento de \( X \) como \( ab \) con \( a<n \) primo, y \( 2n \) no múltiplo de \( a \).
- Si \( 2n-a \) es primo problema resuelto.
- En otro caso \( 2n-a \) es compuesto y coprimo con \( 2n \) (en otro caso a dividiría a \( 2n \)). Es decir \( 2n-a\in X \). Pero eso contradice la hipótesis: el único elemento de \( X \) es \( ab \).
iii) Ahora intentas generalizar el argumento: si \( X \) tiene dos elementos; tres elementos; etecétera... y comienzan los problemas:
1) No queda nada claro la sistematización del método que haces.
2) No queda nada claro como construyes las matrices y cual es exactamente su uso.
3) No queda claro, que representa el orden de la matriz. ¿El número de elementos en \( X \)?. ¿El número de divisores primos de éstos? ¿Combinación de ambas cosas?.
En fin, no puedo asegurar que la idea sea ni mala ni buena, ni que llevo o no a buen puerto. Pero debes de intentar explicar de forma más clara la sistematización de tu argumento. De nada vale probar unos pocos casos particulares e intuir que eso puede generalizar, si no somos capaces de explicitar esa generalización.
Saludos.
Buenos días, manco. En primer lugar es un honor para mí que te hayas interesado por esta cosa mía y te doy muchas gracias por ello.
Voy a intentar contestar a lo que me preguntas dentro de mis posibilidades; no es la primera vez que me dicen que mi lenguaje es confuso respecto a esto mismo, y es debido a que, al no ser matemático, hay aspectos que no sé expresar con rigor.
Como dices, el caso para \( n \) es trivial, pues \( n+n=2n \), es el simétrico que suma con sí mismo.
En la primera fila de la matriz pongo todos los divisores primos de los compuestos (en hipótesis todos han de ser divisores y no tiene que haber ninguno más; para que falle la conjetura). Debajo de cada uno de ellos, en columna, se sitúan los factores que componen a sus simétricos, de tal forma que
\(
a_{1m}+a_{2m}a_{3m}...a_{am}=2k
\)
Más adelante ya veremos si todos esos componentes pueden ser primos, primos y unos, o alguno puede ser compuesto (eso no lo hice en el PDF).
Pero es seguro que respecto de cada columna \( m \) ninguno de los elementos puede tener como divisor a \( a_1m \). De esto va a surgir la matriz simétrica.
Para la hipótesis, la matriz ya tiene que ser "simétrica" respecto de la divisibilidad de los elementos: \( a \) puede ser un primo o un múltiplo de \( a \), y análogamente para el resto de los elementos excepto para los de la primera fila, que son primos necesariamente.
Con estas condiciones, si representamos con una misma letra a un primo o a cualquiera de los compuestos por él, la única disposición posible en la matriz, entonces, vendrá dada por las permutaciones sin repetición de los elementos en cada columna [aquí despista, y es mi culpa, la manera de colocar las permutaciones; lo suyo quizá hubiera sido empezar haciendo, por ejemplo en la matriz de orden 3, la transposición
\( (abc)\circ(12)=(bac) \)]
En cambio, lo que he hecho ha sido: en la primera fila (o columna, pues sale simétrica) empezar por el primer elemento, seguir por el segundo, por el tercero... volver al primero...; en la segunda, empezar por el segundo, seguir por el tercero, etc.
Si ahora tomamos la matriz y nos olvidamos de la primera fila, entendiendo los elementos de cada conjunto columna, \( C \) tenemos que, en general:
\(
C_{1}\equiv C_{n}; C_{n-(n-1)}\equiv C_{n-1};C_{n-(n-2)}\equiv C_{n-2}...
\)
Luego si todos estos elementos representaran valores primos, resultaría absurdo; pues son los elementos que, por conjuntos columna, forman cada uno de los compuestos tomados; que son todos distintos. Aparte de que implica que también pasa lo mismo con los elementos de la primera fila si se toma la matriz entera.
Bueno, de momento hasta aquí. Queda ver qué pasa si alguno de ellos es un 1 (que en la realidad tiene que ser así) y que ninguno de ellos sea un compuesto; que no puede serlo, porque el compuesto se saldría del intervalo \( (n, 2n)] \).
A mí me parece esto le deja poca o ninguna salida a la hipótesis de fallo, pero supongo que se escapará por algún lado, la conjetura de Goldbach siempre se escapa.
Un saludo cordial y muchas gracias otra vez.
