[Quema]

Hola

Si tengo dos v.a. \( X_i \) \( i=1,.2 \) i.i.d y una función cóncava \( g \) uno puede probar que \( f(a)=Eg(aX_1+(1-a)X_2) \) tiene un máximo global en \( a=\displaystyle\frac{1}{2} \). Uno puede probar fácilmente por inducción que también \( Eg(a_1X_1+...+a_nX_n) \) tendrá un máximo para \( a_i=\displaystyle\frac{1}{n} \) y \( n \) v.a. i.i.d.

Ahora mi pregunta es: seguirá siendo cierto que \( a_i=\displaystyle\frac{1}{N} \) sea un máximo global de \( Eg(a_1X_1+...+a_NX_N) \), pero \( N \) es una v.a. aleatoria (supongamos que sea independiente de las \( X_i \)).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 El problema así es algo confuso. ¿Exactamente que función estás otimizando y con respecto a cuántas variables?. En principio tendrías infinitas variables \( a_i \) y la función podría ser algo así:

\(  f(\{a_n\})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}Eg(a_1X_1+\ldots+a_kX_k)\cdot P(N=k) \)

 ¿Es eso a lo que te refieres?.

 El problema añadido es que en el caso que planteas al principio estamos bajo la restricción \( a_1+\ldots+a_n=1 \). Pero aquí al variar \( n \) no queda claro bajo que restricción estamos.

Saludos.

[Quema]

Hola

Puedo suponer que \( N \) es una v.a. que toma valores enteros positivos. Parece intuitivo suponer que el máximo de esa función será cuando \( a_i=\displaystyle\frac{1}{N} \). Uno está optimizando la función

\( f(a_1,a_2,...,a_N)=Eu(\displaystyle\sum_{i=1}^N{u(a_iX_i)} \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 La función sigue sin estar bien definida. No está claro que significa optimizar una función que depende de una variable aleatoria; no está claro que digas que el resultado es función de \( N \).

 Fíjate que suponiendo que \( N=1,2 \) de manera equiprobable. Tendríamos dos funciones a optimizar:

\(  f(a_1)=Eu(a_1X_1) \) con probabilidad \( 1/2 \)

\(  f(a_1,a_2)=Eu(a_1X_1+a_2X_2) \) con probabilidad \( 1/2 \).

 ¿Pero qué significa exactamente optimizar ese par de funciones? ¿Qué papel juega la probabilida con que se da cada una de ellos?. Sigo sin tener claro el planteamiento.

 Otra cosa es que para cada \( N \) fijo, plantees el problema pero eso es lo que ya dices que tienes resuelto en el primer post.

Saludos.