Autor Tema: Dinámica unidimensional

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14 Junio, 2010, 17:59
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lonubela

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Hola quisiera por favor que me aclaren una interrogante y un problema a serca de el difeomorfismo del circulo:
1) Que resultado espero hallar (sentido geométrico) con el numero rotacional.
 2)Si F y G son levantamientos de f, entonces F(t) y G(t) difieren en una constante entera.

15 Junio, 2010, 05:44
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 No estoy seguro al cien por cien del contexto teórico en el que te estás moviendo. Pero digamos que contestando "de oidas":

 1) El número rotacional de un levantamiento de la circunferencia, nos indica el número de vueltas que damos a la circunferencia; es decir cuántas veces la enrrollamos sobre ella misma.

 Para contestar a lo segundo espeficia un poco más el marco teórico en el que te mueves.

Saludos.

16 Junio, 2010, 13:28
Respuesta #2

lonubela

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HOLA:
me parece que el numero rotacional indica que tanto se ha movido un punto en la circunferencia porque pueda que no dee toda una vuelta o vueltas.
En la segunda pregunta estoy tratando con homeomorfiamos de la circunferencia en la circunferencia, y claro esta los levantamientos que no son unicos de R en R y quisiera demostran porque es que difieren en un entero aunque me parece parece que sale de la proyeccion y de la continuidad de los levantamientos.
gracias

17 Junio, 2010, 03:18
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Veamos si el (b) es así. Supongamos que tienes un homeomorfismo:

\[  f:S^1\times S^1 \]

 y consideramos la cubierta universal de \[ S^1 \], \[ c:R\longrightarrow{}S^1,\quad c(t)=(cos(t),sin(t)) \]. Supongamos que tenemos dos levantamientos \[ F,G:R\longrightarrow{}R \] de \[ f \], es decir, tenemos diagramas conmutativos:

 \[ \begin{array}{ccc}
{\xymatrix{
    R \ar[r]^F \ar[d]^c \ar[rd] & R \ar[d]^c \\
    S^1 \ar[r]^f & S^1
  }}&{\qquad\qquad\qquad}&
{\xymatrix{
    R \ar[r]^G \ar[d]^c \ar[rd] & R \ar[d]^c \\
    S^1 \ar[r]^f & S^1
  }}\\
\end{array}
 \]

 Se cumple entonces que: \[ c\circ F=f\circ c=c\circ G \], de donde:

\[  (Cos(F(t)),Sin(F(t))=(Cos(G(t)),Sin(G(t)) \] para todo \[ t\in R \]

 Por tanto:

\[  F(t)-G(t)=2k(t)\pi \]

 donde \[ k:R\longrightarrow{}Z \] es una fución que toma valores sobre los enteros. Como:

\[  k(t)=\dfrac{F(t)-G(t)}{2\pi} \]

 Es continua por ser diferencia de funciones continuas; pero la únicas funciones continuas de un espacio conexo (\[ R \] en nuestro caso) sobre un espacio discreto (\[ Z \] en nuestro caso) son las constantes.

Saludos.