[Seba]

Hola, soy nuevo acá y necesito ayuda con ésto...

Me dan la siguiente figura y me piden que halle

\( \displaystyle\lim_{\theta \to 0}{\displaystyle\frac{A(\theta)}{B(\theta)}} \)

Donde \( A(\theta) \) es el área que está encerrada por el arco de circunferencia y \( B(\theta) \) Es el triángulo que tiene base sobre la circunferencia.

Si a alguien se le ocurre alguna resolución "elegante", por favor que la escriba.

Muchas gracias

[Seba]

Yo llegue a lo mismo pero tuve problemas a la hora de calcular el límite... Me da 0/0 en varias derivadas

[EnRlquE]

Hola.

 El límite que debemos determinar es \( \displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{(\theta-\sen\theta)\cos\theta}{2\sen^{3}(\theta/2)} \), ahora solo por comodidad en los cálculos posteriores, podemos hacer el siguiente acomodo

\( \dfrac{(\theta-\sen\theta)\cos\theta}{2\sen^{3}(\theta/2)}=\dfrac{4(\theta-\sen\theta)\cos\theta}{(2\sen(\theta/2)\cos(\theta/2)^{3}}=\dfrac{4(\theta-\sen\theta)\cos\theta\cos^{3}\theta(\theta/2)}{\sen^{3}\theta} \)

 Entonces como \( \displaystyle\lim_{\theta\to0}\cos\theta\cos^{3}(\theta/2)=1 \), para determinar nuestro límite, bastará hallar el \( \displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{\theta-\sen\theta}{\sen^{3}\theta} \), por la regla de L'Hôpital, en las siguientes dos primeras igualdades tenemos que

\( \displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{\theta-\sen\theta}{\sen^{3}\theta}=\displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{1-\cos\theta}{3\sen^{2}\theta\cos\theta}=\displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{\cancel{\sen\theta}}{\cancel{\sen\theta}(6\cos^{2}\theta-3\sen^{2}\theta)}=\displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{1}{6\cos^{2}\theta-3\sen^{2}\theta} \)

 Concluye y si tienes dudas, pregunta.

Saludos.

[Facaz]

Me parece que el limite a resolver es este

\( \displaystyle\lim_{\theta \to{0}}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\theta}{2}-\displaystyle\frac{\sin\theta}{2}}{\displaystyle\frac{\sin^{3}\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)}{\cos\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)}-\displaystyle\frac{\theta}{2}-\displaystyle\frac{\sin\theta}{2}}} \)

Por mas que no sea ese, me podrian decir como resolverlo?

[EnRlquE]

Hola.

 Tenemos que \( A(\theta)=\dfrac{1}{2}r^2\theta - r^2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)=\dfrac{1}{2r^{2}}(\theta-\sen\theta) \) y \( \displaystyle B(\theta)=\frac{r^2 \sin^3(\theta/2)}{\cos\theta} \), a partir de esto puedes comprobar que \( \dfrac{A(\theta)}{B(\theta)}=\displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{(\theta-\sen\theta)\cos\theta}{2\sen^{3}(\theta/2)} \). Sería bueno que nos detallaras los pasos que seguiste para obtener la expresión que nos muestras, de este modo podremos ver lo que ocurrió.

 Si de todos modos si deseas determinar el límite que nos muestras, observa que

\( \left(\dfrac{\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\sen\theta}{2}}{\dfrac{\sen^{3}\Big(\dfrac{\theta}{2}\Big)}{\cos\Big(\dfrac{\theta}{2}\Big)}-\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\sen\theta}{2}}\right)^{-1}=\dfrac{2\sen^{3}\Big(\dfrac{\theta}{2}\Big)}{(\theta-\sen\theta)\cos\Big(\dfrac{\theta}{2}\Big)}-\dfrac{\theta+\cos\theta}{\theta-\cos\theta} \)

 Ahora, en mi respuesta anterior prácticamente hemos determinado el \( \displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{2\sen^{3}\Big(\dfrac{\theta}{2}\Big)}{(\theta-\sen\theta)\cos\Big(\dfrac{\theta}{2}\Big)} \), para determinar \( \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{\theta+\cos\theta}{\theta-\cos\theta} \) puedes usar la regla de L'Hôpital. Con esto puedes obtener el límite que buscas, intenta terminar y si tienes alguna dificultad, trata de especificarla.

Saludos.