Autor Tema: Ciclos disjuntos

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21 Mayo, 2010, 05:50 am
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sanmath

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hola tengo problemas con este ejercicio..

Si \( \sigma_1 \) y \( \sigma_2 \) son ciclos disjuntos de ordenes \( t \) y \( s \) respectivamente, entonces \( o(\sigma_1\circ{\sigma_2})=[t,s] \)

Saludos
1301215

21 Mayo, 2010, 06:46 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 Sea \( m=[t,s] \) el mínimo común múltiplo de \( t \) y \( s \), entonces \( m=ta \) y \( m=sb \) con \( (a,b)=1 \). Como \( \sigma_{1},\;\sigma_{2} \) son disjuntos, entonces ellos conmutan, es decir \( \sigma_{1}\circ\sigma_{2}=\sigma_{2}\circ\sigma_{1} \), luego para cualquier \( n\in\mathbb{N} \) se verifica que \( (\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{n}=\sigma_{1}^{n}\circ\sigma_{2}^{n} \). En particular tenemos que

\( (\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{m}=\sigma_{1}^{m}\circ\sigma_{2}^{m}=(\sigma_{1}^{t})^{a}\circ(\sigma_{2}^{s})^{b}=id \)

 Luego el orden de \( \sigma_{1}\circ\sigma_{2} \) es menor o igual que \( m \), de suponer que es menor que \( m \) trata de llegar a una contradicción y concluye que el orden de \( \sigma_{1}\circ\sigma_{2} \) es \( m \). Si tienes dificultades, trata de especificarnos donde te atascas.

Saludos.

25 Junio, 2010, 08:30 am
Respuesta #2

sanmath

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Hola , gracias por tu ayuda, bueno continuando con tu sugerencias esto es lo que hice:

Supongo que existe \( p<m \) es el orden de \( (\sigma_{1}\circ\sigma_{2}) \) tal que \( (\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{p}=id \), ahora como \(  p<m \) se tiene que 
\( m=p+r \) con   \( 0<r<m \), pues r no puede ser \( m \) ( ya que en ese caso \( p=0 \) lo cual no puede darse),por lo tanto
\( (\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{m}=(\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{p}+(\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{r} \) de donde se tiene que \( id=id(\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{r} \) lo cual contradice que \( p \) es el menor entero positivo

Podrías corregirme por favor?
saludos
1301215

26 Junio, 2010, 06:49 am
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 En realidad si \( p<m \) es tal que \( (\sigma_{1} \circ\sigma_{2})^{p}=id \), entonces \( \sigma_{1}^{p}=\sigma_{2}^{-p} \), como \( \sigma_{1} \) y \( \sigma_{2} \) son disjuntos, necesariamente \( \sigma_{1}^{p}=\sigma_{2}^{-p}=id \) ¿por qué?.

 Luego \( t|p \) y \( s|p \), pero entonces \( m|p \) (absurdo). Por tanto, necesariamente \( m \) es el orden de \( \sigma_{1}\circ\sigma_{2} \).

[Como puede deducirse de esta demostración en realidad no es necesario proceder por contradicción.]

Spoiler
En tu solución, nota que si \( p<m \), no necesariamente existe \( r \) con las condiciones que mencionas, lo que si exísten son \( k \) y \( r \) (con \( 0\leq r<p \)) enteros tales que \( m=pk+r \), luego \( id=(\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{m}=(\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{pk}{\color{blue}\circ}(\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{r}=(\sigma_{1}\circ\sigma_{2})^{r} \), de donde se deduce que \( r=0 \) (pues suponemos que \( p \) es el orden de \( \sigma_{1}\circ\sigma_{2} \)).

 Esta es la demostración usual de que si un elemento \( a \) de un grupo cualquiera tiene orden \( p \) y \( a^{m}=e \) (la identidad del grupo), entonces \( p|m \).

 Ten presente además que la operación de grupo de las permutaciones, en particular de los ciclos es la composición.
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 Cualquier duda, pregunta.

Saludos.