Es difícil saber qué entiendes por "forma más sencilla". Usando teoremas sofisticados: Llamando \( O \) a la intersección de \( BN \) y \( MD \), \( P \) al punto "sombreado" junto a \( M \), y \( Q \) al punto "sombreado" junto a \( D \), entonces:
Como los triángulos \( OPM \) y \( OQD \) comparten un ángulo común, entonces el cociente de sus áreas es igual al producto de los lados que forman el ángulo común (éste es uno de esos "teoremas sofisticados"). Es decir:
\( \displaystyle\frac{(OPM)}{(OQD)}=\displaystyle\frac{OP\cdot{OM}}{OQ\cdot{OD}} \), donde \( (OPM) \) es el áera del triángulo \( OPM \) se usa la misma notación para el \( OQD \)
Por tanto, \( (OPM)=(OQD)\displaystyle\frac{OP\cdot{OM}}{OQ\cdot{OD}} \)...(*)
Pero como también son semejantes, se tiene que \( \displaystyle\frac{OP}{OQ}=\displaystyle\frac{OM}{OD}=\displaystyle\frac{MP}{QD} \). Sustituyendo en \( * \) nos da
\( (OPM)=(OQD)(\displaystyle\frac{MP}{QD})^2 \)...**
Por otra parte, \( \displaystyle\frac{MP}{QD}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{BC}{2}-QD}{QD}=\displaystyle\frac{BC}{2QD}-1 \) (esto sale sólo por observar la figura).
Entonces encontremos \( \displaystyle\frac{BC}{QD} \).
Por el teorema de Menelao sin considerar segementos dirigidos:
\( \displaystyle\frac{BM}{MC}\displaystyle\frac{CD}{DN}\displaystyle\frac{NO}{OB}=1 \), y al ser \( BC=2MC \) y \( CD=2DN \) se tiene \( 2\displaystyle\frac{NO}{OB}=1 \), de modo que \( \displaystyle\frac{OB}{NO}=2 \)...***
También, al ser \( BCN \) y \( BPO \) semejantes:
\( \displaystyle\frac{BC}{PC}=\displaystyle\frac{BN}{ON} \). Restando 1 a los dos lados:
\( \displaystyle\frac{BC}{PC}-1=\displaystyle\frac{BN-ON}{ON}=\displaystyle\frac{BO}{ON}=2 \) por (***)
Por tanto, \( \displaystyle\frac{BC}{PC}=3 \), y como \( PC=QD \) entonces \( \displaystyle\frac{BC}{QD}=3 \)
Luego, sustituyendo en (**):
\( (OPM)=(OQD)(\displaystyle\frac{3}{2}-1)^2=\displaystyle\frac{1}{4}(OQD) \).
Usando lo anterior, concluye.
Saludos.
PD: Estoy seguro de que se puede hacer más rápido.
