[cayitounico]

si \( G_1,\:G_2 \) son grupos ciclicos de orden m, n diferentes. Probar que \( G_1\times{}G_2 \) es cíclico si solo si \( \left<{m,n}\right>=1 \)

[EnRlquE]

Hola.

 Supongamos que \( G_{1}=\{e,a,a^{2},\dots,a^{m-1}\} \) y \( G_{2}=\{e,b,b^{2},\dots,b^{n-1}\} \). Si \( (m,n)=1 \) intenta mostrar que \( (a,b) \) tiene orden \( m\times n \) y por tanto genera \( G_{1}\times G_{2} \). Si \( (m,n)={\color{red}k}>1 \) entonces prueba que para todo elemento \( (c,d)\in G_{1}\times G_{2} \), \( (c,d)^{\frac{m\times n}{{\color{red}k}}}=(e,e) \), luego todo elemento de \( G_{1}\times G_{2} \) tiene a lo más orden \( \dfrac{m\times n}{{\color{red}k}}<m\times n \) y esto impide que \( G_{1}\times G_{2} \) sea cíclico.

Saludos.

EDIT: Gracias por observar mi anterior mala notación J. H. Santiago.

[J. H. Stgo]

1. Una manera de hacer la primera parte es mostrando de modo explícito que todo elemento del producto directo es una potencia de (a,b). Tomemos para ello (x,y) en el producto directo. Al ser ambos factores grupos cíclicos se tiene que \( $(x,y) = (a^{r}, b^{s}).$ \) Del teorema chino del residuo se sigue ahora que, al ser m y n coprimos, el sistema z = r mod m y z = r mod n tiene solución en z. Por tanto, si z es alguna solución se cumple que \( $(x,y) = (a^{z+m\cdot u}, b^{z+n \cdot v}) = (a,b)^{z}$ \) y sería.

2. @Braguildur: En la segunda parte de la prueba utilizas d como parte de un par ordenado y como el máximo común divisor de m y n. Creo que sería bueno modificar eso.

[cayitounico]

si entendi esa parte, ahora  hay otra pregunta donde me piden
Determinar los de orden menor ó igual que 6?

[J. H. Stgo]

¿Los grupos cíclicos de orden 6?

[cayitounico]

si

[J. H. Stgo]

1. Cualesquiera dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos.
2. \( $(\mathbb{Z}_{6},+)$ \) es cíclico de orden 6.

Ergo, \( $(\mathbb{Z}_{6},+)$ \) es (salvo algún isomorfismo) el único grupo cíclico de orden 6.