[Jorge klan]

Hola Amigos

Tengo un problema que no se me ocurre como empezar... lo encuentro algo extraño

Pruebe que todo conjunto cerrado del plano \( \mathbb{R}^2 \), con la topología usual, es frontera de algún subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \)

Se agradecen las sugerencias

Saludos 

[Héctor Manuel]

Usa lo siguiente: \( \delta(X)=\overline{X}-int(X) \) para cualquier \( X \).  Sea \( A \) el conjunto que te dan. Si \( int(A)=\emptyset \), entonces \( A \) mismo es su frontera.

En caso contrario, sea \( Q=\left\{{(x,y):x,y\in{\mathbb{Q}}}\right\} \).  Como \( Q \) es denso e \( int(A) \) no vacio, entonces \( B=Q\cap{int(A)} \) no es vacio.  Muestra que \( int(B)=\emptyset \) (pues es subconjunto de \( Q \). Còmo es \( int(Q) \)?), y que \( \overline{B}=A \).  Nuevamente, usando la caracterizaciòn de la frontera dada al principio, concluye.

Saludos.

[Jorge klan]

Hola Hector

Muestra que \( int(B)=\emptyset \) (pues es subconjunto de \( Q \). Còmo es \( int(Q) \)?), y que \( \overline{B}=A \).  Nuevamente, usando la caracterizaciòn de la frontera

creo que \( int(Q)=\emptyset \) no ? pues \( int(\mathbb{Q})=\emptyset \).

Muchas gracias Hector!!!

Saludos

[EnRlquE]

Hola.

 Supongo que quisiste decir que

...creo que \( \mbox{int}(\color{blue}B\color{black})=\emptyset \) no ? pues \( \mbox{int}(\mathbb{Q})=\emptyset \).

 Si es así, es correcto.

Saludos.

[Jorge klan]

Hola Braguildur

mmmm... me queda una duda, lo que digo es que como \( int(\mathbb{Q})=\emptyset \), entonces \( int(Q)=int(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q})=\emptyset \) no es así?

Quiero responder a la pregunta que deja abierta Hector....como es \( int(Q)? \)

Saludos

[EnRlquE]

Hola.

 Ya veo, bueno si \( \mbox{int}(Q)=\emptyset \), porque \( \mbox{int}(\mathbb{Q})=\emptyset \). Una forma de ver esto es suponer que \( \mbox{int}(Q)\neq\emptyset \), entonces tendríamos que existe una bola \( B_{r}(x,y)\subset{Q} \) (con \( (x,y)\in Q \) y \( r>0 \)), pero en este caso al proyectar sobre el eje \( X \) tendríamos que \( (x-r,x+r)\subset\mathbb{Q} \) que no puede ser. También puedes intentar una prueba directa.

Saludos.