[evoj2]

Hola.

Este es también un problema tipo que se me ha presentado con frecuencia y que me causa dudas:
Utilizando el principio de inclusión-exclusión, contar de cuántas maneras podrían colocarse las letras de la palabra CUSCUS de forma que no haya dos letras consecutivas que sean iguales.

Yo he definido el conjunto \( U \) como el de todas las palabras que podrían formarse sin restricciones.
El conjunto \( X \), el de todas las palabras con dos ces. El \( Y \), el de todas las palabras con dos úes. Por último, el \( Z \), de todas las palabras con dos eses.

Queremos calcular \( \left |{X \cap{Y\cap{Z}}}\right | \).

Para ello, es más fácil obtener \( \left |\overline{{X \cap{Y\cap{Z}}}}\right | \).

Esto sería \( \left |\overline{{X \cap{Y\cap{Z}}}}\right | = \left |{\bar{X} \cup{\bar{Y} \cup{\bar{Z}}}}\right | = 3\left |{\bar{X}}\right | + 3\left |{\bar{X}\cap{\bar{Y}}}\right | + 3\left |{\bar{X}\cap{\bar{Y}\cap{\bar{Z}}}}\right | = 3\cdot{5\cdot{\displaystyle\binom{4}{2,2}}} - 3\cdot{3} + 3 = 90 - 9 + 3 \).

La solución final es \( \left |{X \cap{Y\cap{Z}}}\right | = \left |{\bar{U}}\right | - \left |\overline{{X \cap{Y\cap{Z}}}}\right | = 90 - 90 + 9 -3 = 6 \) formas.

Sin embargo, creo que algo falla, porque he empezado a contar manualmente, y he hallado más de 6 cadenas.

¿Dónde está el error?

Muchas gracias.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 No entiendo bien lo que estás haciendo.

 ¿\( X \) es el conjunto de palabras con dos ces? Todas las palabras implicadas tienen dos ces. No sé si te refieres a que tienen dos ces juntas. Pero entonces lo que queresmos calcular es:

\(  |\overline{X}\cap \overline{Y}\cap \overline{Z}| \)

 Se tiene:

\(   |\overline{X}\cap \overline{Y}\cap \overline{Z}|=|U|-|X\cup Y\cup Z|= \)

\( =|U|-|X|-|Y|-|Z|+|X\cap Y|+|X\cap Z|+|Y\cap Z|-|X\cap Y\cap Z| \)

 Ahora:

\(  |U|=PR(6;2,2,2)=\dfrac{6!}{2!2!2!} \)

\( |X|=PR(5;2,2,1) \) (pensamos \( CC \) como una sola letra)

Por lo mismo:

\( |Y|=|Z|=PR(5;2,2,1) \)

\( |X\cap Y|=|X\cap Z|=|Y\cap Z|=PR(4;2,1,1) \)

\( |X\cap Y\cap Z|=P(3)=3! \)

Saludos.

P.D. Si no me equivoco da \( 30 \).

[evoj2]

Hola

Ya lo he entendido. Me había confundido y lo que estaba intentando calcular era el cardinal del conjunto de palabras con dos úes, ces y eses juntas, ¿no?

Cierto, calculaste eso pero rizando el rizo. Ya que directamente pensando cada par CC,UU,SS como una letra son simplemente permutaciones de tres elementos: \( 3!=6 \). 

Saludos.

[evoj2]

Muchas gracias.

¡Qué curioso!

Un saludo.

[evoj2]

Hola.

He vuelto a repetir el ejercicio y me he dado cuenta de que no me queda claro esto: \( |X\cap Y|=|X\cap Z|=|Y\cap Z|=PR(4;2,1,1) \).

Entiendo qué es lo que se hace ahí, pero yo he operado de la siguiente manera y no he obtenido lo mismo.
He considerado las \( CC \) y las \( UU \) como una misma letra. Entonces, podían darse las siguiente situaciones:
\( CCUUSS, \;UUCCSS, \; SCCUUS, \; SUUCCS,\; SSCCUU, \; SSUUCC \).
Yo veo que hay \( 6 \) y no \( \displaystyle\frac{4!}{2!} = 12 \) posibilidades.

¿En qué fallo?

Muchas gracias.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

  Te faltan:

\(  CCSUUS,SCCSUU,UUSCCS,SUUSCC,CCSSUU,UUSSCC \)

Saludos.

[evoj2]

Es cierto.

Muchas gracias.

Un saludo.