Hola
La cosa ya no me convence tanto. A lo que has contestado es simplemente a:
Me interesa mucho que trates de precisar exactamente a que llamas tu "caracterización". Esto ya te lo he preguntado y aprentemente está claro en el trabajo, porque esa caracterización tiene un número y todo 2.8.3, pero no me está tan claro el viaje que uno hace para a partir de dos parámetros llegar a ella;
Lo esencial de lo demás, es decir como interpretar tu caracterización como primitiva (si es que es eso lo que se busca), queda pendiente.
Por otra parte tampoco me gusta como presentas tu caracterización. Digamos que yo quiero ser muy riguroso en lo siguiente:
Si afirmo que hay una caracterización que depende de un parámetro, pues parto de ese parámetro y llego a la caracterización. Simplemente me gustaría reordenar de otra forma lo que planteas:
1. La caracterización es exactamente 2.8.3, que recordando, la construimos vía \( \psi \) con \( \xi_{i+1}>\xi_i \) y por \( (\widehat{A})''(\hat{k}) \).
2. No llegamos a la caracterización a partir de dos parámetros (en realidad uno como ya comentamos). Es a a partir de \( (\widehat{A})''(\hat{k}) \) y eligiendo adecuadamente las \( \xi_i \) como llegamos a \( \mathfrak{G} \) (caso particular de \( (\widehat{A})''(\hat{k}) \)).
3. La función \( \mathfrak{G} \) ahora está definida y es continua en \( [\widehat{4},\widehat{\alpha/2}] \) y como caso particular conserva la caracterización 2.8.3 por medio de los puntos esenciales siguen estando ahí.
Yo lo veo así (corrígeme o matízame en todo lo que no estés de acuerdo o sea erróneo, por leve que sea el error).
1) Partimos de un parámetro \( u\in (1,+\infty) \).
2) A partir de \( u \) y mediante unas fórmulas defimos \( \xi_2,\ldots,\xi_{\alpha/2-1} \).
3) A partir de esos \( \xi \) construimos una función \( \psi \) en el intervalo \( [2,\alpha/2-1] \). Notación: \( \psi(k)=\hat{k}. \)
4) A partir de esa función \( \psi \) definimos una función \( (\hat{A})(\hat k) \), que mide la imagen del área de ciertas curvas por la aplicación \( \psi\times \psi. \)
5) A partir de esa función \( (\hat{A})(\hat k) \) y derivándola dos veces en cada intervalo \( [\hat{k_0},\widehat{k_0+1}] \) con \( k_0\in [\hat{2},\widehat{\alpha/2-2}] \), obtenemos una función continua: \( \mathfrak{G}=(\widehat{A})'' \).
6) Esa función \( \mathfrak{G} \) en cada intervalo \( [\hat{k_0},\widehat{k_0+1}] \) se escribe de la forma:
\( \mathfrak{G}(\hat{k})=\dfrac{1}{\xi_{k_0}^2k}x_{k_0}+\dfrac{1}{\xi_{\alpha-k_0-1}^2(\alpha-k)}y_{k_0} \)
para ciertos valores \( x_{k_0},y_{k_0} \) que dependen de \( \mathfrak{G} \).
7) La caracterización de la conjetura de Goldabach dice que \( \alpha \) es la suma de dos primos si y sólo si existe un \( k_0\in \{5,\ldots,\alpha/2-1\} \) tal que \( (x_{k_0-1},y_{k_0-1})=(x_{k_0},y_{k_0}) \).
Observaciones y relfexiones:
8) Centrándose sólo en la caracterización que depende el parámetro y con lo que sé hasta ahora, de alguna manera el papel de la función de Goldbach me parece secundario. Me explico:
8.1) los polinomios esenciales (entendidos como polinomios, como funciones de unos parámetros, \( P_{I,k}(\{t_n\}) \)) pueden ser calculados a priori, sin fijar ni \( u \), ni \( \xi_n \), ni \( \psi \) ni nada, son unos polinomios homogéneos de grado dos muy concretos.
8.2) Ahora si fijamos el parámetro \( u \), los parámertos \( \xi_n(u) \) son función (¿continua? creo que si, confírmamelo) de \( u \) y si seguimos todos los pasos de tu construcción uno llega a que:
\( x_k(u)=P_{I,k}(\{\xi_n(u)\}) \)
\( y_k(u)=-P_{I,\alpha-k-1}}(\{\xi_n(u)\}) \)
De manera que la caracterización se reduce a comprobar si unas ciertas funciones evaluadas sobre el parámetro coinciden.
8.3) Item más, que coincidan o no no depende de \( u \), es decir uno podría reescribir la caracterización 2.8.3. como:
La caracterización de la conjetura de Goldabach dice que \( \alpha \) es la suma de dos primos si y sólo si existe un \( k_0\in \{5,\ldots,\alpha/2-1\} \) tal que
como polinomios:
\( P_{I,k_0-1}(\{t_n\})=P_{I,k_0}(\{t_n\}) \)
\( P_{I,\alpha-k_0}(\{t_n\})=P_{I,\alpha-k_0-1}(\{t_n\}) \)
con lo cual, y visto así, en esencia... la caracterización ni siquiera depende de \( u \).
9) Lo que supongo pero no veo, es que en mi reflexión 8, me he "cargado" la esencia de tu construcción, me he "cargado" lo que no logro ver que la hace "especial".
10) Cuando hablo de lo "especial" me refiero a su capacidada para decirnos algo sobre la esencia de los números naturales y primos. No niego su posible utilidad para resolver problemas de teroía de números, cómo cuando uno hace un cambio de variable en una ecuación, aunque esencialmente la ecuación es la misma, ese cambio nos puede facilitar su resolución.
11) Fíjate que la reflexión (8) pese a que, probablemente rompa el espíritu de lo que haces (o quizá no y yo la interprete mal), está toda extraida de tu trabajo. Por eso soy tan insistente con preguntas del tipo "exactamente" que es esto o lo otro. Es claro que en tu trabajo debe de estar toda la información para entender tu idea, pero, aparentemente, según como se ordene lo que allí está escrito, las conclusiones pueden ser sutilmente (o no tan sutilmente) diferentes.
4. La continuidad de \( \mathfrak{G} \) es interesante por ser una función de más calidad que \( (\widehat{A})''(\hat{k}) \) que ni siquiera es función en \( [\widehat{4},\widehat{\alpha/2}] \).
Cierto, de acuerdo.
5. Fíjate que que ahora ni siquiera estoy hablando de que esté encaminada a ser una aceleración. La continuidad de \( \mathfrak{G} \) puede ser interesante para una estrategia de demostración de la conjetura. Por ejemplo, (no digo que ocurra así): "si \( \alpha \) no fuera la suma de dos primos la inexistencia de puntos esenciales repetidos provocaría una contradicción relacionada con el recorrido de \( \mathfrak{G} \)".
Correcto. Desde el punto de vista de una investigación matemática, estudiar su continuidad es razonable, para dejar los nuevos métodos definidos bien perfilados. Como cuando un biólogo estudia todas las propiades de una proteina, aun antes de saber para que puedan servir.
6. En un mensaje anterior y "con palabras" hablé del concepto primitivo de número natural insertado en toda la construcción de \( \mathfrak{G} \). Dado que esto está relacionado con el punto final, si te parece dejémoslo en que es muy razonable que pienses eso hasta que lo explique de manera más precisa.
El caso es que quizá eso es lo esencial de la pregunta. Insisto en que desde el punto de vista técnico creo que he entendido tu trabajo, pero como dije antes, según como uno ordene todo lo dicho allí, se puede entender el mismo de una u otra forma.
P.D. Es tanto el interés que tengo en que lleguemos a los máximos acuerdos que no quiero que vaya quedadndo ningún cabo suelto. Si no te ha quedado claro algo de este mensaje, lo revisamos. En caso contrario te pediría por favor que me dijeras si esto resuelve completamente el punto v) completo y el vi) que están muy relacionados.
Por todo lo expuesto NO considero, de ninguna manera, que esto resuelve
completamente el punto v). En cuanto al punto vi) por "deconstrucción" quizá me refiero a como recuperar la caracterización sin que uno llegue a la conclusión (como, no sé si erróneamente, me ha pasado a mi) de que lo que debe de hacer es calcular los polinomios esenciales (como polinomios) y entonces diga "¡para este entierro no me hacía falta vela!" (la vela es la función de Goldabach y el parámetro \( u \)).
Saludos.
