Hola
Bien más o menos entiendo la sección 3.1. No tengo tiempo de hacer un resumen suficientemente ordenado de momento. En esta sección, sin embargo me cuesta distinguir los resultados importantes. El motivo es que su desenlace es la sección 3.2, de la cual, francamente apenas entiendo nada (nada de lo esencial). No entiendo las conclusiones. Es curioso, porque no puedo afirmar que nada de lo que digas (y entiendo) sea falso. Pero simplemente de todo lo que leo antes, no veo como se deduce la afirmación final. Conceptualmente tampoco entiendo lo que haces. Quizá esto me vuelva un poco "agresivo" en mis preguntas.
Así que comienzo a preguntar/relfexionar.
1) No estoy seguro de porqué usas los términos "tiempo", "aceleración", "velocidad". En el fondo me "molestan", en el sentido de que me parece que se quiere aludir a algo, desde mi punto de vista, no matemático. Si simplemente son nombres de conceptos matemáticos(1) que se llaman así por analogía con los físicos, de acuerdo, pero son sólo nombres. La "acelaración" no deja de ser una función que luego se integra dos veces. El tiempo un parámetro.
2) Bien integras una la función de Goldbach dos veces. Tomas \( t_{k_0}=\psi(k_0) \) para cada número natural.
3) Esto lo haces para cada función que depende de un parámetro \( u \). Por lo que tienes una familia uniparamétrica de "aceleraciones", "velocidades", asignaciones de "tiempos" a naturales.
4) Luego usas que cuando el parámetro \( u \) tiende a uno los puntos esenciales son todos iguales. Mi percepción es que tu construcción formal depende de manera continua de \( u \) (el cálculo de los coeficientes de \( \psi \)); en realidad en esos límites estás calculando el valor concreto de los puntos esenciales cuando \( u=1 \). Si uno repasa tus propios resultados creo que se llega a que en ese caso tu función \( \psi \) es una recta en todo su dominio (en lugar de trozos de recta) y un rápido cálculo del área de la hipérbola y su segunda derivada nos lleva a ese valor de los puntos esenciales.
5) Efectivamente eso coincide con lo que dices: cuando \( u=1 \), \( \psi=id. \)
6) Evidentement cuando \( u=1 \), la caracterización de primalidad que nos daban los puntos esenciales no funciona. Pero tampo es sorprendente: los coeficientes \( \xi_n \) son todos iguales; no son estrictamente crecientes. Las cosas que tu mismo probabas no funcionan.
7) Esto formalmente se resume diciendo que tu propiedad o tu caracterización, es una propiedad abierta, si se cumple en un punto se cumple en un abierto. Pero no es una propiedad cerrada, si se cumple en un conjunto no tiene porque cumplirse en su clausura.
En fin... de lo que estoy seguro es que no he captado la idea, el "plan" que subyace en tu útlima parte del trabajo, aunque pueda entender ese o aquel cáclulo. Espero una vez más ansioso tu respuesta.
Saludos.
(1) Inlcuso puede ser que sean nombres usuales en la teoría matemática de procesos dinámicos (no la conozco demasiado). Pero lo que tengo interés en despojarlos de todo trasfondo más allá de las matemáticas... a no ser que el "cogollo" del asunto sea ir más allá de las matemáticas...
