[Fernando Revilla]

Voy paso por paso en esta cuestión para aclarar todo lo que planteas en tu mensaje anterior y te sea más cómodo responder.

Punto 1 Lo que comento en este punto es para la mejor comprensión de los restantes.

Mira por favor la figura 29. En esa figura, estamos en el plano \( xy \) y hemos fijado un \( \alpha \) par. En el correspondiente plano transformado \( \hat{x}\hat{y} \) y por medio de \( \psi \) tenemos caracterizados los números primos vía puntos de vórtice. Es claro que en esa caracterización el \( \alpha \) no interviene. Ahora bien (importante este esquema):

Dado que nos hemos liberado de la operación producto debido a la estructura geométrica creada (vórtices) y que nuestro objetivo  es el estudio de la Conjetura de Goldbach, ahora necesitamos hacer intervenir la suma. ¿Cómo?. Por medio de la función área. Queremos ver que ocurre cuando la suma de dos números es \( \alpha \). Es decir vamos a hallar las áreas de \( D_I \) y \( D_S \) (áreas inferior y superior) determinadas por las hipérbolas \( xy=k \) y \( xy=\alpha-k \). Por supuesto, todo esto se transportará al plano \( \hat{x}\hat{y} \) pues en el \( xy \) no tenemos puntos de vórtice.

Punto 2 Vayamos ahora al ejemplo 2.5.2. Primero decimos: sea \( \widehat{\alpha }\geq\widehat{26} \). Para fijar ideas, tomemos por ejemplo \( \widehat{\alpha }=\widehat{30} \). La derivada segunda de la función área inferior (en el plano \( \hat{x}\hat{y}) \)) en el intervalo \( [\widehat{12},\widehat{13}] \) es:

\( (\widehat{A}_I)''(\hat{k})=\dfrac{1}{k\xi_{12}^2}\left(\xi_2\xi_6-\xi_2\xi_4+\xi_3\xi_4-\dfrac{1}{2}\xi_3^2\right) \)

Para los intervalos \( [\hat{4},\hat{5}],\;[\hat{5},\hat{6}],\;...\;[\widehat{14},\widehat{15}] \) tenemos distintas expresiones de \( (\widehat{A}_I)''(\hat{k}) \).

Si \( \widehat{\alpha }=\widehat{80} \),  para los intervalos \( [\hat{4},\hat{5}],\;[\hat{5},\hat{6}],\;...\;[\widehat{14},\widehat{15}] \) tenemos distintas expresiones de \( (\widehat{A}_I)''(\hat{k}) \). Por supuesto que tanto para \( \widehat{\alpha }=\widehat{30} \) como para \( \widehat{\alpha }=\widehat{80} \) la expresión de \( (\widehat{A}_I)''(\hat{k}) \) es la misma en el intervalo \( [\widehat{12},\widehat{13}] \). Es decir,  no existe por tanto dependencia de \( \alpha \) en las expresiones \( (\widehat{A}_I)''(\hat{k}) \) en los intervalos:

\( [\hat{4},\hat{5}],\;[\hat{5},\hat{6}],\;...\;[\widehat{\alpha /2-1},\widehat{\alpha/2 }] \)

Pero los intervalos que se han de elegir para las áreas inferiores, sí dependen de \( \alpha \).

Punto 3 Volvamos de nuevo a la expresión :

\( (\widehat{A}_I)''(\hat{k})=\dfrac{1}{k\xi_{12}^2}\left(\xi_2\xi_6-\xi_2\xi_4+\xi_3\xi_4-\dfrac{1}{2}\xi_3^2\right)\quad (*) \)

que expresa la función derivada segunda del área inferior (en el plano  \( \hat{x}\hat{y} \)) en el intervalo \( [\widehat{12},\widehat{13}] \)  para todo \( \widehat{\alpha }\geq\widehat{26} \) y sean \( \xi_i \) los coeficientes de la función \( \psi \). Consideremos ahora la expresión que en \( (*) \) multiplica a \( {1}/{k\xi_{12}^2} \), es decir

\( \xi_2\xi_6-\xi_2\xi_4+\xi_3\xi_4-({1}/{2})\xi_3^2 \quad[1] \)

(a) ¿Qué es [1] si fijamos los coeficientes \( \xi_i \)?. Respuesta: un número.
(b) ¿Qué es [1] si hacemos variar coeficientes \( \xi_i \)?. Respuesta: una función polinómica en las variables \( \xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_6 \).
(c) ¿Qué es \( t_2t_6-t_2t_4+t_3t_4-t_3^2/2 \)?. Respuesta: un polinomio en las indeterminadas \( t_2,\;t_3,\;t_4,\;t_6 \).

Ahora, denoto \( P_{I,\;12} \) indistintamente a cada una de las tres cosas anteriores. Este abuso de notación no da lugar a confusión. El subíndice \( I \) nos indica área inferior y el \( 12 \) que estamos en el intervalo \( [\widehat{12},\widehat{13}] \).

Punto 4 Respecto de tu pregunta sobre si los polinomios superiores dependen de \( \alpha \), la respuesta es no (creo que eso lo verás claro por todo lo anteriormente expuesto). Lo que si depende de \( \alpha \) es la expresión de la derivada segunda de las áreas superiores en los intervalos:

\( [\hat{4},\hat{5}],\;[\hat{5},\hat{6}],\;...\;[\widehat{\alpha /2-1},\widehat{\alpha/2 }] \)

Saludos.

P.D. No se me olvida que hay preguntas pendientes de tu mensaje nº7. Prefiero que quede claro lo anterior antes de atacarlas.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bufff.... me estoy estresando. No nos estamos ententiendo todo lo bien que debiéramos.

 Una petición: si hago una pregunta concreta, se me ocurre:

 i) Que tenga una respuesta concreta y la conozcas.
ii) Que tenga una respuesta concreta y no la conozcas.
iii) Que la pregunta esté mal planteada y no tenga sentido.

 Entonces para ir dejando las cosas firmes y despejar mis dudas, me sería de mucha ayuda que me respondieses de manera concreta a cada pregunta (si estamos al menos en el caso (i)) y si estamos en otro caso indicarlo. Si la respuesta admite un firme SI o un firme NO. Pues primero ese firme SI y ese firme NO y luego la explicación.

 Porque lo curioso del tema es que después de todo lo que te has esforzado en detallar tus respuestas sigo sin tener claras las cosas y aun diría que las tengo más oscuras. En el fondo creo que esos es bueno, porque me hará madurar más las ideas. Pero necesito ir sentando bases en las que apoyarme. Puntos en los que esté seguro de que estamos de acuerdo.

 En cuanto a tus cuatro puntos.

 Puntos 1 y 2: Nada que objetar, es la idea que tenía.

 Punto 3: En realidad lo de si una notación es o no confusa supongo que es muy subjetivo. Pero ten en cuenta que alguien que lea el trabajo desde fuera, si lee polinomio, piensa en una función, si lee coeficiente (por ejemplo) piensa en un valor concreto (a mi mi cabeza me funciona así al menos).

 De todas formas no pretendo decir tu notación es mala y la mía es buena. Sobre notaciones hay muchas escuelas.

 A mi el punto clave que me interesa confirmar es el siguiente.

PREGUNTA A: ¿El polinomio \( P_{I,12}(\{t_n\}) \) como polinomio homogéneo de grado en las variables \( t_2,t_3,t_4,t_6 \) depende o no depende de la función \( \psi \)?.

 Mi percepción sigue siendo que NO. Para mi esto es importante, porque en realidad uno podría calcular todos los polinomios \( P_{I,k_0} \) para \( k_0\in N \) y luego a posteriori, ver cuanto valen evaluados sobre los coeficietnes de una función concreta \( \psi \). Aclarar este punto es importante para cuando luego te "ataque" en la sección tres. Porque si no nos ponemos de acuerdo en la dos... en la tres saltarán chispas. 

Punto 4. ¡Sapristis! ¡Caramba! !Zape! Pues no lo tengo nada claro y eso me rompe.

PREGUNTA B: ¿Pero los polinomios superiores no dependen de la segunda derivada de las áreas superiores?. (véase páginas 33,34).

 ¡Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh! Mientras escribía esto, me ha vuelto la inspiración; creo que ya sé en que sentido dices que no dependen de \( \alpha \). ¡Y menos mal que según tu la notación no es confusa! (o quizá la confusa sea mi mente...  ).

 Claro los """polinomios""" \( P_{S,k_0} \) entendidos como un número son una expresión polinómica en función de \( \{\xi_n\} \). En esa expresión no aparece \( \alpha \).

 Pero lo que yo creo es que los coeficientes que multiplican a esos \( \{\xi_n\} \) SI DEPENDEN de \( \alpha \).
 
 Por ejemplo:

PREGUNTA C: Hemos visto en el ejemplo \( 2.5.2 \) que:

 \( P_{I,12}(\{t_n\})=t_2t_6-t_2t_4+t_3t_4-\dfrac{1}{2}t_3^2 \)

 ¿Serías capaz de darme la expresión de: \( P_{S,12}(\{t_n\}) \) sin fijar ningún \( \alpha \)?.

Saludos.

P.D. Incidiendo en mi obsesión en distinguir polinomio de número fíjate como yo le añado en rojo: \( P_{I,12}(\color{red}\{t_n\}\color{black}). \)

P.D.D. Por cierto que la lectura y discusión del trabajo me tiene enganchadísimo... como una telenovela (sin ánimo de ofender).

[Fernando Revilla]

Bufff.... me estoy estresando. No nos estamos ententiendo todo lo bien que debiéramos.

Sin problema. Este mini-mensaje es para "desestresarse"  . Si hay que volver a lo que sea volvemos, sin prisas relajadamente. Ahora mismo voy a tu mensaje.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Una petición: si hago una pregunta concreta, se me ocurre:

i) Que tenga una respuesta concreta y la conozcas.
ii) Que tenga una respuesta concreta y no la conozcas.
iii) Que la pregunta esté mal planteada y no tenga sentido.

 Entonces para ir dejando las cosas firmes y despejar mis dudas, me sería de mucha ayuda que me respondieses de manera concreta a cada pregunta (si estamos al menos en el caso (i)) y si estamos en otro caso indicarlo. Si la respuesta admite un firme SI o un firme NO. Pues primero ese firme SI y ese firme NO y luego la explicación.

De acuerdo, sin problemas.

Porque lo curioso del tema es que después de todo lo que te has esforzado en detallar tus respuestas sigo sin tener claras las cosas y aun diría que las tengo más oscuras. En el fondo creo que esos es bueno, porque me hará madurar más las ideas. Pero necesito ir sentando bases en las que apoyarme. Puntos en los que esté seguro de que estamos de acuerdo.

Entendido.

Punto 3: En realidad lo de si una notación es o no confusa supongo que es muy subjetivo. Pero ten en cuenta que alguien que lea el trabajo desde fuera, si lee polinomio, piensa en una función, si lee coeficiente (por ejemplo) piensa en un valor concreto (a mi mi cabeza me funciona así al menos).

 De todas formas no pretendo decir tu notación es mala y la mía es buena. Sobre notaciones hay muchas escuelas.

Entendido.

A mi el punto clave que me interesa confirmar es el siguiente.

PREGUNTA A: ¿El polinomio \( P_{I,12}(\{t_n\}) \) como polinomio homogéneo de grado en las variables \( t_2,t_3,t_4,t_6 \) depende o no depende de la función \( \psi \)?.

 Mi percepción sigue siendo que NO.

Efectivamente: la respuesta es NO.

Para mi esto es importante, porque en realidad uno podría calcular todos los polinomios \( P_{I,k_0} \) para \( k_0\in N \) y luego a posteriori, ver cuanto valen evaluados sobre los coeficietnes de una función concreta \( \psi \).

Correcto.

Porque si no nos ponemos de acuerdo en la dos... en la tres saltarán chispas. 

O como diría Groucho Marx: ¡Más madera! 

Punto 4. ¡Sapristis! ¡Caramba! !Zape! Pues no lo tengo nada claro y eso me rompe.

PREGUNTA B: ¿Pero los polinomios superiores no dependen de la segunda derivada de las áreas superiores?. (véase páginas 33,34).

 ¡Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh! Mientras escribía esto, me ha vuelto la inspiración; creo que ya sé en que sentido dices que no dependen de \( \alpha \). ¡Y menos mal que según tu la notación no es confusa! (o quizá la confusa sea mi mente...  ).

 Claro los """polinomios""" \( P_{S,k_0} \) entendidos como un número son una expresión polinómica en función de \( \{\xi_n\} \). En esa expresión no aparece \( \alpha \).

Correcto a partir del ¡Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh!.

PREGUNTA C: Hemos visto en el ejemplo \( 2.5.2 \) que:

 \( P_{I,12}(\{t_n\})=t_2t_6-t_2t_4+t_3t_4-\dfrac{1}{2}t_3^2 \)

 ¿Serías capaz de darme la expresión de: \( P_{S,12}(\{t_n\}) \) sin fijar ningún \( \alpha \)?.

No, no tendría sentido.

P.D. Incidiendo en mi obsesión en distinguir polinomio de número fíjate como yo le añado en rojo: \( P_{I,12}(\color{red}\{t_n\}\color{black}). \)

Sin problema.

P.D.D. Por cierto que la lectura y discusión del trabajo me tiene enganchadísimo... como una telenovela (sin ánimo de ofender).

Me encanta.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Como suponía todo el problema era de nombres y en el fondo estamos de acuerdo en todo (salvo las sutilezas de la notación).

 Sólo una cosa más. De esto:

PREGUNTA C: Hemos visto en el ejemplo \( 2.5.2 \) que:

 \( P_{I,12}(\{t_n\})=t_2t_6-t_2t_4+t_3t_4-\dfrac{1}{2}t_3^2 \)

 ¿Serías capaz de darme la expresión de: \( P_{S,12}(\{t_n\}) \) sin fijar ningún \( \alpha \)?.

No, no tendría sentido.

 Debe de quedar claro que no podemos afirmar entonces que los polinomios superiores no dependen de \( \alpha \) (si en el sentido de mi ahhhhhh..., pero para mi ese no es la interpretación más obiva y lleva a confusión). En otro caso y una vez más, pienso en el lector ajeno al trabajo, uno podría pensar que puede calcularlos sin tener en cuenta el valor de \( \alpha \), lo cuál estamos de acuerdo que no es posible.

 Bien ahora ansío la respuesta al resto del mensaje #7.

 Aprovecho para anunciar, que desde mi punto de vista, aunque quizá conceptualmente los polinomios superiores (y todo lo superior) ayude a entender la construcción, formalmente sobran (no son necesarios).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Por cierto, tenía pensado hacer el resumen de la parte II, pensado para lectores ajenos. Pero me corroe la ansiedad. Lo que realmente me apetece es hacer un resumen, no tanto para explicar de dónde vienen las cosas, sino enfocado a ser, desde mi punto de vista, formalmente lo más simple posible y que sintetice en que punto estamos.  ¿Tú como lo ves?.

 Esto me serviría de lanzadera para mis críticas sobre la parte III. Pero primero zanjemos los frentes abiertos.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Como suponía todo el problema era de nombres y en el fondo estamos de acuerdo en todo (salvo las sutilezas de la notación).

Lo mismo opino.

Debe de quedar claro que no podemos afirmar entonces que los polinomios superiores no dependen de \( \alpha \) (si en el sentido de mi ahhhhhh..., pero para mi ese no es la interpretación más obiva y lleva a confusión). En otro caso y una vez más, pienso en el lector ajeno al trabajo, uno podría pensar que puede calcularlos sin tener en cuenta el valor de \( \alpha \), lo cuál estamos de acuerdo que no es posible.

Bien, tomo nota de esa observación desde el punto de vista del lector.

Bien ahora ansío la respuesta al resto del mensaje #7.

Tengo que hacer una pausa. Te respondo lo antes posible.

Aprovecho para anunciar, que desde mi punto de vista, aunque quizá conceptualmente los polinomios superiores (y todo lo superior) ayude a entender la construcción, formalmente sobran (no son necesarios).

Especialmente ayuda en la construcción de \( \mathfrak G \) (capítulo 3).

Saludos.

[Fernando Revilla]

Por cierto, tenía pensado hacer el resumen de la parte II, pensado para lectores ajenos. Pero me corroe la ansiedad. Lo que realmente me apetece es hacer un resumen, no tanto para explicar de dónde vienen las cosas, sino enfocado a ser, desde mi punto de vista, formalmente lo más simple posible y que sintetice en que punto estamos.  ¿Tú como lo ves?.

 Esto me serviría de lanzadera para mis críticas sobre la parte III. Pero primero zanjemos los frentes abiertos.

Me parece bien. Quizás esperamos a que te responda al resto del mensaje #7. Como te dije despues de una necesaria pausa.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Respuestas pendientes del mesaje #7:

3) Sobre las funciones  \( (\hat A_I)'',(\hat A_S)'' \) y los polinomios esenciales superiores, inferiores y puntos esenciales.

 Si entendí bien la construcción que haces, en realidad si consideramos la función \( \hat{A}_I \) definida en \( [\hat{4},\hat{+\infty}) \) podemos utilizarla para expresar las demás. Es decir:

\(  \hat A_S(\hat k)=\hat A_I(\widehat{\alpha-4})-\hat A_I(\widehat{\alpha-k}) \)

 y de ahí (con algo de prudencia al principo porque derivamos respecto de \( \hat k \), pero creo que funciona):

\(  (\hat A_S)''(\hat k)=-(\hat A_I)''(\widehat{\alpha-k}) \)

 De aquí se deduce que el comportamiento de la función \( (\hat A_S)'' \) en \( [\hat k_0,\widehat{k_0+1}] \) viene dado por el comportamiento de la función \( (\hat A_I)'' \) en \( [\widehat{\alpha-k_0-1},\widehat{\alpha-k_0}] \).

De acuerdo.

Traducido a los polinomios esenciales tendríamos que:

\(  P_{S,k_0}=-P_{I,\alpha-k_0-1} \)

 Traducido a los puntos esenciales(2)::

\(  (x_{k_0},y_{k_0})=(x_{k_0},-x_{\alpha-k_0-1}) \)
 
 Creo que esto puede facilitar la demostración de alguno de tus resultados (si bien tu tampoco duplicas argumentos, porque para lo "superior" remites a lo análogo de lo "inferior"). Pero con la observación anterior la traducción de resultados es automática.

Bien, tomo nota de la observación. Se gana un punto de elegancia.

4) Sobre los coeficientes \( \xi_n \)

 Entiendo que en toda la sección estás trabajando con \( \psi \) funciones que distinguen primos, es decir, con los \( \xi_n \) estrictamente crecientes. ¿Es así?.

Sí.

Teniendo en cuenta que no he leído en detalle las demostraciones, no me queda claro en que resultados o para que hechos es fundamental que esos coeficientes sean estrictamente crecientes. Es decir, dónde estás usando esa condición. ¿Podrías resumirlos?.

Es fundamental para ordenar las coordenadas de los puntos esenciales y que proporcionará una caracterización de la Conjetura de Goldbach. En cualquier caso, no hay ningún problema conceptual en imponer siempre la condición de que los coeficientes de \( \psi \) sean estrictamente crecientes, son las únicas con las que nos interesa trabajar. Por ejemplo, la fórmula final de la página 28 también es cierta sin la condición de crecimiento estricto para las \( \xi_i \).

(1) Hay alguna errata más por ahí que he visto (algún paréntesis que falta, alguna palabra mal escrita,...) pero obviamente esas cosas son lo de menos. La que resalté en este post si me parece digna de mención porque está en un punto clave, en una definición. Si uno está leyendo el artículo por encima, la errata puede llevar a cierta confusión.

Ciertamente y por más que se revisa siempre aparecen erratas. Habrá que minimizar.

(2) ¡Ah!. He empezado a leer la sección tres y veo que allí si que usas esa relación: \( |y_{j}|=x_{\alpha-j-1} \) pero no soy capaz de encontrar de manera explícita donde la justificas.

Tú mismo la acabas de justificar con la igualdad \(  (x_{k_0},y_{k_0})=(x_{k_0},-x_{\alpha-k_0-1}) \)  .

Saludos.

P.D. Posiblemente no pueda entrar hasta esta noche en el foro. Lo digo porque si pones algún mensaje, no parezca indolencia por mi parte. Todo lo contrario, más enganchado no puedo estar.

[Luis Fuentes]

Resumen de resultados(1) de la parte II:

1) Dada una sucesión \( \{\xi_n\} \) de números reales positivos y estrcitamente creciente definimos las funciones continuas \( \psi:R^+\longrightarrow{}R \) de manera que en cada intervalo \( [m,m+1] \) con \( m\in Z \) sean trozos de recta de pendiente \( \xi_m>0 \).

2) Definimos la función:

\( A_I:[2,+\infty)\longrightarrow{}R \)

\( A_I(k)=\mbox{area de $\psi\times \psi(D_k)$} \)

donde \( D_k=\{(x,y)\in R^2|2\leq x\leq y,xy\leq k\} \).

3) En cada intervalo \( [k_0,k_0+1] \) con \( k_0\in N,k\geq 2 \) esa función es dos veces diferenciable y su segunda derivada respecto de \( \hat{k}=\psi(k) \) puede escribirse como:

\( \dfrac{d^2 A_I}{d\hat{k}^2}(k)=\dfrac{1}{k\xi_{k_0}^2}P_{I,k_0}(\{\xi_n\}) \)

donde \( P_{I,k_0}(\{t_n\}) \) es un polinomio homogéneo de grado dos.

4) Los polinomios \( P_{I,k_0}(\{t_n\}) \) no dependen de \( \psi \).

5) Fijada \( \psi \), denotamos por \( x_k=P_{I,k}(\{\xi_n\}) \).

6) Los coeficientes \( x_k \) si dependen de \( \psi \).

7) Teorema fundamental: \( k \) es un número primo, si y sólo si, \( x_{k-1}=x_k \).

8) Corolario. Un número \( \alpha \) par es suma de dos primos \( k,\alpha-k \) si y sólo si \( x_{k-1}=x_k \) y \( x_{\alpha-k-1}=x_{\alpha-k} \)


Reflexión sobre el teorema fundamental 7.

Nos está diciendo que si un número \( k \) es primo entonces:

\( P_{I,k}(\{\xi_n\})=P_{I,k-1}(\{\xi_n\}) \)

para toda sucesión \( \xi_n \) positiva estrictamente creciente. Y recíprocamente que si para alguna sucesión positiva estrictamente creciente ambos polinomios evaluados en ella, coinciden entonces \( k \) es primo.

Por tanto ambos polinomios de \( m \) variables efectivas  (las que sean) coincidirán en un abierto de dimensión \( m \). Necesariamente como polinomios son el mismo. Es decir lo que tenemos es que:

\( k \) es primo si y sólo si, como polinomios, \( P_{I,k}(\{t_n\})=P_{I,k-1}(\{t_n\}) \)

En esta caracterización ya no influye para nada \( \psi \).

Como cada polinomio es homogéneo de grado dos, puede pensarse como una aplicación:

\( f_k:N\times N\longrightarrow{}R \)

nula salvo un número finito de puntos, que lleva cada par \( (i,j) \) en el coeficiente de \( P_{I,k}(\{t_n\}) \) del monomio \( t_it_j \).

Entonces lo que tenemos es una familia de funciones \( f_k \) como las de arriba que nos caracterizan los primos en este sentido:

\( f_{k}=f_{k-1} \) si y sólo si \( k \) es primo.

Me paro aquí con una importante observación: Todavía no tengo claro a donde quiero llegar con toda esta reflexión.

(1) Cambio un poco el punto de vista. No trataré ahora de motivar ni interpretar intuitivamente las cosas. Sólo enumeraré las definiciones y resultados más importantes a los que, desde mi punto de vista, se hacen en la sección. Mi objetivo ahora es la economía, para formalmente (aunque quizá no geométricamente) tener la mayor claridad posible. Intentaré que sea autocontenido (sin incluir demostraciones claro está).