Autor Tema: Módulo sobre un DIP

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08 Mayo, 2010, 06:42 am
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Jorge klan

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Hola amigos

Tengo el siguiente problema que no he podido resolver  :banghead: :banghead:

Sean \( R \) un DIP (dominio de ideales principales), \( B \) un \( R \)-módulo de torsión y \( p \) un primo en \( R \). Pruebe que si \( pb=0 \) para algún \( b\in B \), entonces \( Ann(B)\subseteq{}\langle p\rangle \)

\( Ann(B):=\{r\in R\;:\;rb=0\quad \forall\;b\in B\} \) (es un ideal de \( R \)).

El problema es que tengo demasiadas hipótesis y me cuesta encontrar el modo adecuado de atacar el ejercicio. Lo que estaba intentando es que, como \( R \) es DIP, entonces \( Ann(B)=\langle s\rangle \) para algún \( s\in R \), así, basta probar que \( p|s \) para completar la demostración...

se agradece sus comentarios

Saludos



08 Mayo, 2010, 08:17 am
Respuesta #1

Jorge klan

  • Lathi
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Hola

He pensado en lo siguiente, pero no sé si está bien:

Sea \( N_{p}=\{x\in B\;:\;px=0\} \). Como \( N_{p}\subseteq{}B \), entonces \( Ann(B)\subseteq{}Ann(N_{p}) \). Ahora lo que me faltaría probar es que \(  Ann(N_p)=\langle p \rangle \), pero claramente  \( \langle p \rangle \subseteq{}Ann(N_p)  \). Como \( R \) es DIP, entonces, \( Ann(N_p)=\langle a \rangle \), luego \( a|p \), es decir, \( a=1 \) ó \( a=p \), pero \( a\neq 1 \), pues en caso contrario \( Ann(N_p)=R \) lo cual implicaria que \( N_p=\{0\} \). Por lo tanto \( a=p \).

espero sus comentario

Saludos
 

10 Mayo, 2010, 10:44 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Está bien. Pero debes de dejar claro donde usas la hiopótesis de que \( pb=0 \).

Saludos.

11 Mayo, 2010, 03:18 am
Respuesta #3

Jorge klan

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Hola el_manco, gracias por responder.

La hipótesis de que \( pb=0 \) sirve para argumentar que \( N_p\neq \{0\} \).

Saludos

11 Mayo, 2010, 07:21 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Ok!

Saludos.