Hola.
La primera implicación esta bien, de hecho esta implicación es un hecho general, como puedes comprobar no se usó en ningún momento el hecho de ser el espacio \( X \) primero contable.
En la segunda implicación, tu idea es buena, pero en realidad, tal como lo has escrito, no se puede asegurar que la sucesión \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) así construida converja a \( x \), lo que ocurre es que el comportamiento de los \( U_{n} \), pese a que cumplen que para todo abierto \( U \) conteniendo a \( x \) existe \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( U_{n}\subseteq{U} \) (esto es los \( U_{n} \) forman una base local numerable de \( x \)), su comportamiento puede ser bastante aleatorio y hasta un poco caprichoso. Ten presente que para mostrar que \( x_{n}\to x \) hace falta mostrar que para todo \( U \) existe un \( n_{0} \) tal que \( x_{n}\in U \) para todo \( n>n_{0} \), cosa que no se puede obtener únicamente con la propiedad de los \( U_{n} \).
Por ejemplo si en \( \mathbb{R}^{n} \) suponemos que \( x=0 \) (el origen), si hacemos \( U_{2k}=B_{2k}(0) \) y \( U_{2k-1}=B_{\frac{1}{2k-1}}(0) \), tenemos que el conjunto de los \( U_{n} \) satisface la condición de base local numerable para \( x=0 \). Sin embargo la sucesión \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) definida por \( x_{2k}=2k-1 \) y \( x_{2k-1}=\dfrac{1}{2k} \) satisface que \( x_{n}\in U_{n} \) para todo \( n\in\mathbb{N} \), pero no es convergente.
Felizmente podemos solucionar este problema escogiendo adecuadamente una nueva base local numerable \( \{V_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} \) de \( x\in\overline{F} \) cuyo comportamiento nos sea más favorable, esto lo podemos hacer haciendo \( V_{1}=U_{1} \), \( V_{2}=U_{2}\cap V_{1} \) y en general \( V_{n}=U_{n}\cap V_{n-1} \). Puedes verificar que los \( V_{n} \) forman una base local numerable de \( x \) y además \( V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq\dots\supseteq V_{n}\supseteq\dots \), justamente esta es la propiedad que nos permitirá concluir que una sucesión \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) construida de tal modo que \( x_{n}\in V_{n} \), converja a \( x \).
Saludos.
