Autor Tema: primero-contable, cerrado y sucesión convergente

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19 Abril, 2010, 03:41 am
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Jorge klan

  • Lathi
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Hola amigos

Tengo un ejercicio, al cual le he dado una respuesta, pero me gustaría conocer sus opiniones, pues como no soy muy bueno en esto no siento seguridad en mis respuestas. Primero daré una definición para ponernos de acuerdo

Definición: Se dice que un espacio topológico \( X \) es primero contable si y sólo si para cada \( x\in X \) existe un familia de abiertos \( B_{x}=\{U_{n}(x)|x\in U_{n}(x),\;n\in \mathbb{N}\} \) tal que para todo abierto \( U \) de \( x \) existe \( n\in \mathbb{N} \) tal que \( U_{n}(x)\subset{}U \).


Ejercicio: Sea \( X \) un espacio primero contable. Muestre que \( F\subset{}X \) es cerrado si y sólo si para toda sucesión \( (x_{n})_{n}\subset{}F \) convergente, entonces \( L((x_{n}))_{n}\subset{}F \)

Nota: \(  L((x_{n}))_{n} \) denota el conjunto de puntos límites de la sucesión \( (x_{n})_n \)

Spoiler
Respuesta: \( \Rightarrow{}) \) Sean \( x\in L((x_{n}))_{n} \)  y \( (x_{n})_{n}\subset{}F \) (una sucesión que converge a \( x \)). Notemos que para cada \( U \) un abierto que contiene a \( x \) existe \( N\geq 1 \) tal que \( x_{n}\in U \) para todo \( n\geq N \), lo cual implica que \( U\cap F \neq \emptyset \) y por tanto \( x\in \overline{F}=F \) (pues \( F \) es cerrado). Así tenemos que \( L((x_{n}))_{n}\subset{}F \) 

\( \Leftarrow{}) \) Para probar que \( F \) es cerrado, basta ver que \( \overline{F}\subseteq{}F \). Sea \( x\in \overline{F} \), luego para todo abierto \( U_{n} \) de \( x \) se tiene que \( U_{n}\cap F\neq \emptyset \). Así, puedo considerar, para cada \( n \), \( x_{n}\in U_{n}\cap F \)  y formar la sucesión \( (x_{n})_{n} \) (que converge a \( x \)) que claramente está contenida en \( F \), luego, por hipótesis tenemos que \( L((x_{n})_{n})\subset{}F \), es decir \( x\in F \). La propiedad de que \( X \) es primero contable la utilizo para justificar que la sucesión \( (x_{n})_{n} \) converge a \( x \), pues esto me asegura que para cada abierto \( U \) de \( x \) existe \( n\in \mathbb{N} \) tal que \( U_{n}\subset{}U \), es decir, \( x_{n}\in U \) 
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Agradezco mucho sus comentarios


Saludos


 

19 Abril, 2010, 06:11 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 La primera implicación esta bien, de hecho esta implicación es un hecho general, como puedes comprobar no se usó en ningún momento el hecho de ser el espacio \( X \) primero contable.

 En la segunda implicación, tu idea es buena, pero en realidad, tal como lo has escrito, no se puede asegurar que la sucesión \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) así construida converja a \( x \), lo que ocurre es que el comportamiento de los \( U_{n} \), pese a que cumplen que para todo abierto \( U \) conteniendo a \( x \) existe \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( U_{n}\subseteq{U} \) (esto es los \( U_{n} \) forman una base local numerable de \( x \)), su comportamiento puede ser bastante aleatorio y hasta un poco caprichoso. Ten presente que para mostrar que \( x_{n}\to x \) hace falta mostrar que para todo \( U \) existe un \( n_{0} \) tal que \( x_{n}\in U \) para todo \( n>n_{0} \), cosa que no se puede obtener únicamente con la propiedad de los \( U_{n} \).

 Por ejemplo si en \( \mathbb{R}^{n} \) suponemos que \( x=0 \) (el origen), si hacemos \( U_{2k}=B_{2k}(0) \) y \( U_{2k-1}=B_{\frac{1}{2k-1}}(0) \), tenemos que el conjunto de los \( U_{n} \) satisface la condición de base local numerable para \( x=0 \). Sin embargo la sucesión \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) definida por \( x_{2k}=2k-1 \) y \( x_{2k-1}=\dfrac{1}{2k} \) satisface que \( x_{n}\in U_{n} \) para todo \( n\in\mathbb{N} \), pero no es convergente.

 Felizmente podemos solucionar este problema escogiendo adecuadamente una nueva base local numerable \( \{V_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} \) de \( x\in\overline{F} \) cuyo comportamiento nos sea más favorable, esto lo podemos hacer haciendo \( V_{1}=U_{1} \), \( V_{2}=U_{2}\cap V_{1} \) y en general \( V_{n}=U_{n}\cap V_{n-1} \). Puedes verificar que los \( V_{n} \) forman una base local numerable de \( x \) y además \( V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq\dots\supseteq V_{n}\supseteq\dots \), justamente esta es la propiedad que nos permitirá concluir que una sucesión \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) construida de tal modo que \( x_{n}\in V_{n} \), converja a \( x \).

Saludos.

19 Abril, 2010, 06:30 am
Respuesta #2

Jorge klan

  • Lathi
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Braguildur... eres un genio  ;D

Me estaba pasando de listo con mi justificación. De verdad, muchas gracias por tu ayuda.

Saludos