[Jorge klan]

Hola amigos

Tengo un ejercicio que me gustaría que me dijieran si está bien la respuesta que doy


Ejercicio: De un ejemplo de una sucesión convergente en algún espacio topológico, cuyo conjunto límite contenga más de un punto

Spoiler

respuesta: Consideremos el espacio \( X=\{a,b,c\} \) con la siguiente topología

\( \tau=\{X,\emptyset,\{a,b\},\{a,c\},\{a\},\{b\}\} \)

Tomo la sucesión \( \{x_{1}=a,x_{2}=c\} \)  y es claro que \( L((x_{n}))=\{a,c\} \) (conjunto de puntos límites)

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Aquí dejo algunas definiciones para que nos entendamos mejor:

Definición: Se dice que \( x\in X \) es un punto límite de \( (x_{n})_{n} \), si para toda vecindad (abierta) \( U \) de \( x \), existe \( N\geq 1 \) tal que \( x_{n}\in U \), para todo \( n\geq N  \). Se dice que la sucesión \( (x_{n})_{n} \) es convergente si el conjunto de puntos límites es no vacío.

Si alguien tiene un ejemplo... bienvenido sea 

Saludos

[Jabato]

Creo que no se satisface la condición \( \forall{n>N}. \) Deberías considerar sucesiones de un número infinito numerable de términos para que dicha condición se satisfaga, la topología no es mi fuerte pero a primera vista parece que eso es lo único que falla en tu razonamiento.

Saludos, Jabato.

[Fernando Revilla]

Tengo un ejercicio que me gustaría que me dijieran si está bien la respuesta que doy

No has definido completamente la sucesión. Elige un conjunto no vacío \( X \) y la topología indiscreta \( T=\left\{{\emptyset},X\right\} \). Para cualquier sucesión \( (x_n) \), y para cualquier \( l\in{X} \) se verifica \( \lim_{n \to{+}\infty}{x_n}=l \). Es decir: todas las sucesiones convergen a todos los puntos del espacio \( X \).

Saludos. 

[Jorge klan]

muchas gracias a ambos por responder...

Pensé que podía considerar una sucesión finita... ya me parecía raro esto

Saludos