Autor Tema: Area y perímetro de una circunferencia

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05 Junio, 2006, 11:05 pm
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mathtruco

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Acá va una  pregunta interesante.
No sé por dónde agarrarla, si por inducción quizás, o quizás por geometría (trigonometría) sale. La cosa es demostrarlo por algún camino.

Demuestre que un polígono regular de \( n \) lados inscrito en una circinferencia de radio \( r \) tiene perímetro y area:
2nr sin(Pi/n)   y   1/2n r^2 sin(2Pi/n).

05 Junio, 2006, 11:35 pm
Respuesta #1

bachiller__

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Para dejarte una pista te pongo el proceso para hallar el perímetro, aunque me parece que te falta algo en la fórmula del perímetro. El proceso es por trigonometría:

Spoiler

Supon un poligono de n lados inscrito en una circunferencia, trazando los radios del polígono se crean n ángulos de \( \displaystyle\frac{2\pi}{n} \). Imagínate que en cada triángulo equilatero (radio---radio---lado polígono) que tenemos, trazamos la bisectriz del ángulo conseguido con lo que obtenemos 2n ángulos de \( \displaystyle\frac{\pi}{n} \). En el triángulo rectángulo que tenemos aplicamos trigonometría:
\( \ sen(\frac{\pi}{n}) = \displaystyle\frac{\frac{L}{2}}{r} \)
Despejando L (lado del polígono) tenemos: \( L =2r\ sen(\frac{\pi}{n}) \)
Por tanto el perímetro es \( P = 2rn\ sen(\frac{\pi}{n}) \)
(te faltaba una r, ten en cuenta que el perímetro se expresa en metros, y ni "n" ni el seno están expresados en metros)
Supongo que ya tendrás suficientes pistas para hallar el área.

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06 Junio, 2006, 12:23 am
Respuesta #2

bachiller__

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Para el área, la demostración es aún más fácil (producto vectorial), sin seguir el método anterior:

Spoiler

Utilizando la definición geométrica del módulo del producto vectorial tenemos que:

\( \left |{\vec{a}\wedge\vec{b}}\right |=\left |{\vec{a}}\right |\left |{\vec{b}}\right |\ sen(\vec{a},\vec{b}) \)
En este caso, los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) son los dos radios que forman un ángulo de \( \displaystyle\frac{2\pi}{n} \)
El módulo del producto vectorial también es el área del paralelogramo que forman los dos vectores. El área del triángulo formado por dos vectores es la mitad del área del paralelogramo (fácil de comprobar), por tanto:
\( S=\displaystyle\frac{1}{2}\left |{\vec{r_1}\wedge\vec{r_2}}\right |=\displaystyle\frac{1}{2}\left |{\vec{r_1}}\right |\left |{\vec{r_2}}\right |\ sen\left(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}r^2\ sen \left(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\right) \)

Esta sería el área de un triángulo equilatero, por tanto el área del polígono sería:

\( S=\displaystyle\frac{1}{2}nr^2\sen\left(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\right) \)

Un saludo.

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06 Junio, 2006, 01:25 am
Respuesta #3

mathtruco

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Muchas gracias, la solución que me has dado no puede ser más clara.

PS: Y ya arreglé mi planteamiento del problema, y tienes razón, no puede ser que la fórmula del perímetro no sea función del radio.