[transmigrado]

pd: veras que si haces m=1 encontraras el trio pitagorico mas clasico (3,4,5), creo que para cualquier y razonable para la forma que mostre este siempre aparece como el menor posible, osea haciendo m=1, exepto claro si sale una solución tribial, como por ejemplo a=0, b=-n,c=n

[rubenrosas]

 Mira Trasmigrado,parece ser que te referís a números invariables a,b,c.
 
 Si por ejemplo a= 20 , b= 21, c= 29 ( son una terna pitagórica para exponente n=2)

 Si elegimos exponente tres y considerando el ejemplo que había dado ayer. es

   (  20^3    +  21^3 )^1/3 = 25,84 ....,éste sería el c de los cubos

 Se ve que 25,84 no es igual 29 , es menor.Lo mismo para n=5,7,......

[rubenrosas]

 Debía decir n= 4,5,6,7,...
 Insisto Trasmigrado,¿te referís a números invariables para a,b,c?

 El ejemplo que dí .lo hice para obtener un c omprendido entre los dos números 21 y  29 , y por lo tanto la posibilidad de un c en números enteros.Cuando las ternas
 tienen c(el mayor) y otro que le antecede,no hay posibilidad de tener un nuevo c
 en números enteros(nuevo c significaría para los mismos a,b un c para exponente
 mayor que dos)

[transmigrado]

para el trio que di de ejemplo:

\( a=2+2m \)
\( b=m^2+2m \)
\( c=m^2+2m+2 \)

\( (2+2m)^2+(m^2+2m)^2=(m^2+2m+2)^2 \)
\( 4+8m+4m^2+m^4+4m^3+4m^2=m^4+2m^3+2m^2+2m^3+4m^2+4m+2m^2+4m+4 \)
luego
\( 0=0 \)

por tanto los numeros a,b,c son un trio pitagorico...

pero ahora:

\( (2+2m)^3+(m^2+2m)^3=(m^2+2m+2)^3 \)

\( 8m^3+24m^2+24m+8+m^6+6m^5+12m^2+8m=m^6+4m^5+8m^4+8m^3+4m^2+2m^5+8m^4+16m^3+16m^2+8m+2m^4+8m^3+16m^2+16m+8 \)

\( m^6+6m^5+8m^3+36m^2+32m+8=m^6+6m^5+18m^4+32m^3+36m^2+24m+8 \)

\( 8m=18m^4+24m^3 \) esto queda (de aqui se deduce que  el cero es una solucion tribial)

\( 4=9m^3+12m^2 \)

\( 9m^3+12m^2-4=0 \) queda solucionar esta ecuacion para determinar que numeros cumplen la condicion, creo que las soluciones son imaginarias

[transmigrado]

pd:corrijan el calculo algebraico, por si me he equivocado

[topo23]

Hay una forma muy facil de demostrar que cualquier terna pitagorica "no" cumple con el teorema de Fermat. Es decir si \( a^2 + b^2 = c^2 \) entonces \( a^n + b^n \ne c^n \) para n > 2.

Cualquier terna pitagorica equivale a encontrar r, s racionales tales que \( r^2 + s^2 = 1 \), si fueran solucion del teorema de Fermat entonces cumplen que \( r^n + s^n = 1 \) para n > 2. Si dibujamos estos dos funciones vemos que solo se intersecan en los ejes, o sea cuando la solucion es trivial. qed.

PD: Observar que este hecho no resuelve el Teorema de Fermat.

[rubenrosas]

 Mira Topo 23,lo que vos enuncias en la gráfica de r,s:tiene que ver con lo que yo dije 
 en marzo (creo ) de éste año.Comparaba la cuestión con frutas que deben pasar por varios filtros para ser limpiadas (creo que figuraban en reto en teoría de los números)
 En el primer filtro todas la soluciones son racionales(el segmento)en el segundo,algunas soluciones son racionales (el cuarto de circunferencia) En el tercero no hay racionales,la figura correspondiente es un cuarto de "circuloide"(no es elipse pues la eslipse tiene desiguales los semiejes).En la cuarto filtro no hay racionales,cosa que 
 Fermat lo sabía pues lo había demostrado.ETC Los casos 3,4,.. quedan representados por "circuloides" que se acercan cada vez más al al vértice superior derecho del 
 cuadrante.En otra cuestión: Ésto me dá una idea de escribir la ecuación del cuadrado
 como  X^n + Y^n = 1 para n tiende a infinito.Lo mismo el rectángulo,etc.