[transmigrado]

\( a,b,c\in{}N \)

\( a^2+b^2=c^2 \)

\( a^2+(a+x)^2=(a+y)^2 \)

como \( a,b,c\in{}N\Rightarrow{}x,y\in{}N \)

\( a^2+a^2+2ax+x^2=a^2+2ay+y^2 \)

\( a^2+(2x-2y)a+x^2-y^2=0 \)

\( a=\displaystyle\frac{2y-2x\pm{}\sqrt[ ]{4x^2-8xy+4y^2-4x^2+4y^2}}{2} \)

\( a=y-x\pm{}\sqrt[ ]{2y^2-2xy} \)

como c>b>a entonces y-x es un natural en concencuencia:

\( \sqrt[ ]{2y^2-2xy} \) debe ser un natural

continuando:

\( \sqrt[ ]{2} \sqrt[ ]{y^2-xy} \)

en consecuensia:

\(  \sqrt[ ]{y^2-xy}=\sqrt[ ]{2} m \) \( m\in{}N \)

[transmigrado]

en consecuensia:

\( a=y-x\pm{}2m \)

\( y^2-xy=2m^2 \)

\( y-\displaystyle\frac{2m^2}{y}=x \)

desde este punto podemos encontrar un a tal que se exprese solo en función de m, de esta manera puede demostrarse que un trio pitagorico no se cumple para potencias mayores a 2

[rubenrosas]

 La palabra elemental podría tener distintos significados,el que le quise dar es que Fermat no podría haber imaginado 200 páginas aunque en ellas figuren porpiedades simples.
 Pensé tambien en el aire  una demostración, pero veo que falta una idea complementaria, a lo mejor a alguno se le ocurre terminarla.

 Uno con uno, dos con dos,.. se refiere a la propiedad que indica que si un número lcomienza con la cifra uno, con la cifra dos,etc su quinta potencia también(P.T.F) y la diferencia es par  a^5 -a = múlt. de 10 .
 Luego   Z = X + Y - T , X = Z - Y + T , Y = Z - X + T  con T = 10 k
 Al elevar a las quintas potencias resultará que T deberá tener factores comunes con X+Y,Z-Y,Z-X,  y ésto parece excesivo .En las ternas pitagóricas T tiene factores comunes sólo con Z - X , Z - Y
 Como se ve esta idea está incompleta pero vale para base 10,o cualquiera 2p

[rubenrosas]

 
 Mira Trasmigrado,en algún momento voy a mirar mejor lo que escribiste,pero lo que parece quieres decir que "demostraste" el "Gran Teorema" en una página (17 renglones). Si fuera así es admirable,y no haberlo indicado expresamente sería un acto de modestia o de duda.

[transmigrado]

continuando con lo propuesto ayer:

\( x=y-\displaystyle\frac{2m^2}{y} \)

\( \displaystyle\frac{2m^2}{y}\in{}N \)

\( 2m^2=ym_1 \)
\( x=y-m_1 \)
\( a=m_1\pm{}\sqrt[ ]{2ym_1} \)
\( b=y\pm{}\sqrt[ ]{2ym_1} \)
\( c=m1+y\pm{}\sqrt[ ]{2ym_1} \)

pueden hacer un poco de algebra y se comprueba que para \( a^w+b^w=c^w \)
cuando w=2 pero no para w>2

[teeteto]

rubenrosas, lo que transmigrado prueba (o pretende probar, porque no lo he comprobado) es que si a2+b2=c2 entonces no puede ser an+bn=cn para ningún n>2.

[rubenrosas]

 
 Teeteto: éso es lo que le pretendía decir a Transmigrado

[rubenrosas]

 Mira Transmigrado,sería bueno que especifiques a qué te refieres cuando expresas que no hay tríos pitagóricos con potencias mayores que dos.En las ternas estan ,3,2^2,5; 7,24,5^2; etc.Además como lo he dicho en otra página, todas las potencias son diferencias de cuadrados,luego las cuartas sextas,etc son ternas pitagóricas(ésto probablemente no figure en ningún manual).A lo mejor te referís que simultáneamente X,Y,Z sean cuartas ,quintas, etc
 Sería bueno que des un ejmplo de ternas obtenidas aplicando tus fórmulas y mostrando valores concretos para a,x, y ,m; de ésa forma se podrá saber si no es posible la generalización a X,Y,Z todas con exponentes mayores que dos.

[rubenrosas]

 Mira Trasmigrado,parece ser que lo que querías indicar que si X,Y,Z son una terna pitagórica,entonces los mismos números X,Y,Z( o bien a, b, c) no pueden ser ternas de potencias mayores.Si es éso, entonces fácilmente se ve que la cuestión es imposible,pues tomando como referencia Z por ejemplo(puede ser X, o bien Y) pero dejando fijos X,Y ,para n mayor que dos,y siendo X,Y,Z terna pitagórica resulta:
 
  raíz enésima de X^n  + Y^n menor que Z

 Si fuera por ejemplo  X^4 + Y^4 = Z^4 (X,Y,Z, naturales) entonces X^2 , Y^2 ,Z^2 serían una terna pitagórica,serían medidas de lados de un triángulo rectángulo.Pero   
 X,Y,Z también pues las cuartas son cuadrados,sin embargo(ésto lo indiqué tiempo atrás)
  X,Y,Z, formarían un triángulo acutángulo,luego no pertenecerían a una terna.Lo mismo 
 sextas,octavas, etc.

[transmigrado]

un pequeño ejemplo:

como dije:

\( a=y-x\pm{}2m \)

y

\( x=y-\displaystyle\frac{2m^2}{y} \)

si hacemos \( y=m^2 \) entonces

\( x=m^2-m^2+2\pm{}2m \)

ahora tengo el trio

\( a=2+2m \)
\( b=2+2m+m^2-2=m^2+2m \)
\( c=2+2m+m^2 \)

ahora (rubenrosas) comprueba los que sigue \( a^2+b^2=c^2 \), veras que se cumple, pero no para un w>2 (w potencia de a,b,c)