Autor Tema: Integral

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01 Marzo, 2010, 01:50 pm
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Kepler

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Hola,
esta es la integral

\( \displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{ x^2-x+3}} \)

yo hice el cambio

\( u=1/x \)  con lo cual la integral queda \( \displaystyle\int\frac{-du}{ \sqrt{ 3t^2-t+1}} \)  ahora aplicamos esto

\(  \displaystyle\frac{P(t) } { \sqrt{3t^2-t+1}}=  \frac{-1 } { \sqrt{3t^2-t+1}} = \frac{d}{dt} (f(t)  \sqrt{ 3t^2-t+1} ) - \frac{\lambda}{\sqrt{ 3t^2-t+1}}  \)
 \( P(t)=-1 \)

Suponiendo que esto esté bien, aquí va la duda.
f(t) tiene que ser un polinomio de grado inferior en una unidad al polinomio P(t), entonces, ¿qué forma tendrá este polinomio?
\( \displaystyle\frac{1}{Ax+B} \) ? 

un saludo.

01 Marzo, 2010, 04:36 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 No entiendo lo que haces. ¿Se supone que quieres encontrar \( f(t) \) y \( \lambda \) tales que?:

\(  \dfrac{-1 } { \sqrt{3t^2-t+1}} = \dfrac{d}{dt} (f(t)  \sqrt{ 3t^2-t+1} ) - \dfrac{\lambda}{\sqrt{ 3t^2-t+1}} \)

 pues simplemente \( f(t)=0, \lambda=1 \).

 Lo que quizá puedes tener en cuenta es que:

\(  3t^2-t+1=3((t-\dfrac{1}{6})^2+\dfrac{11}{36}) \)

 y luego, por ejemplo, hacer el cambio:

\(  t-\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{36}sinh(v) \)

Saludos.

01 Marzo, 2010, 05:09 pm
Respuesta #2

Kepler

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ciertamente \( \lambda=-1 \) apliqué todo esto  \(  \displaystyle\frac{P(t) } { \sqrt{3t^2-t+1}}=  \frac{-1 } { \sqrt{3t^2-t+1}} = \frac{d}{dt} (f(t)  \sqrt{ 3t^2-t+1} ) - \frac{\lambda}{\sqrt{ 3t^2-t+1}}  \)

porque vi que ese era el método para hallar la solución de esas integrales pero en realidad no pense mucho lo que estaba haciendo hoy tengo un poco de mal día  ::), el problema es que no sabía cómo resolver la integral
\( \dfrac{-1 } { \sqrt{3t^2-t+1}} \) dices de hacer el cambio sinh,  y me surge esta duda viendo que la solucion que aparecia en el  integrator es un sinh y la que aparece en el libro es un logaritmo ,¿  hay alguna relación entre estas funciones? , yo supongo que si , ya que el sen hiperbolico se puede expresar como suma de dos exponenciales, pero no estoy seguro
un saludo y gracias

01 Marzo, 2010, 06:11 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Teniendo en cuenta que:

\(  arcsinh(x)=y\quad \Leftrightarrow{}\quad sinh(y)=x\quad  \Leftrightarrow{}\quad \dfrac{e^y-e^{-y}}{2}=x \)

 y despejando y se obtiene que:

\(  arcsinh(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1}) \)

Saludos.

03 Marzo, 2010, 01:13 am
Respuesta #4

Kepler

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gracias de nuevo,

el  problema es que no se como seguir, cuando hago la derivada de\(  arcsenh [\frac{36}{11}(t-\dfrac{1}{6})]=v \)

 me da una función "parecida" a la que quiero hallar la integral pero el problema es que no se seguir a partir de ahí, para comprobar que la integral es el seno hiperbolico.

un saludo

03 Marzo, 2010, 08:41 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Me equivoque en una cosa, el cambio es:

 \(  t-\dfrac{1}{6}=\dfrac{\sqrt{11}}{6}sinh(v) \)

 De ahí derivando,

 \( dt=\dfrac{\sqrt{11}}{6}cosh(v)dv \)

 Además:

\(  \dfrac{-1}{\sqrt{3((t-\dfrac{1}{6})^2+\dfrac{11}{36})}}=\dfrac{-\sqrt{12}}{\sqrt{11}}\dfrac{1}{\sqrt{sinh(v)^2+1}}=\dfrac{-\sqrt{12}}{\sqrt{11}cosh(v)} \)

 Por tanto:

\(  \displaystyle\int \dfrac{-1}{\sqrt{3t^2-t+1}}dt=\displaystyle\int \dfrac{-\sqrt{12}}{6}du=-\dfrac{\sqrt{12}}{6}u=-\dfrac{\sqrt{12}}{6}arcsinh\left(\dfrac{6t-1}{\sqrt{11}}\right) \)

Saludos.