Autor Tema: Cortaduras de Dedekind

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20 Febrero, 2010, 04:56 pm
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Cantor

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Saludos...
Alguien puede explicarme como funciona esto detalladamente...

\( \cdot{} \)La teoría de las cortaduras de Dedekind define a los números reales como sigue: Un número real (o cortadura) \( \alpha \) es un conjunto de números racionales que satisface las siguientes condiciones:

1.- \( \alpha\neq{\emptyset} \wedge \alpha\neq{\mathbb{Q}} \)
2.- \( x\in{\alpha} \)\( \wedge \)\( y<x \Rightarrow{y\in{\mathbb{Q}}} \)
3.- Si \( x\in{\alpha} \), entonces existe \( y\in{\alpha} \) tal que \( x<y \)

\( \cdot{} \)Una sucesión de Cauchy (o sucesión regular) en \( \mathbb{Q} \) es una sucesión \( \left\{{a_n}\right\} \) de números racionales tal que

\( (\forall{\epsilon}>0)(\exists{N}\in{Z^+})(m,n\in{N}\Rightarrow{\left |{a_m-a_n}\right |}<\epsilon) \)

Si definimos al conjunto C como el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en \( \mathbb{Q} \), podemos definir la relación de equivalencia ~ como sigue:
\( \left\{{a_n}\right\}\sim{}\left\{{b_n}\right\}\Longleftrightarrow\left\{{a_n-b_n}\right\}\rightarrow{0}} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \)

Luego, se llama número real a cada clase de equivalencia del conjunto cociente \( C/\sim{} \)

Podrían darme algunos ejemplos detallados...

Gracias de antemano...  8^)

02 Marzo, 2010, 07:53 am
Respuesta #1

topo23

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2.- \( x\in{\alpha} \)\( \wedge \)\( y<x \Rightarrow{y\in{\mathbb{Q}}} \)

Aqui hay un error deberia ser \( x\in{\alpha} \)\( \wedge \)\( y<x \Rightarrow{y\in{\alpha}} \)

Pides ejemplos detallados pero no aclaras sobre que, una cortadura? una sucesion de Cauchy?
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