[aureodd]

Hola el_manco,
después del lío que tuve ayer y antes de seguir con ninguna demostración para encontrar que
\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \) (1)
tiene que ser un cuadrado, estuve pasando esta fórmula a excel para ver como se comportaba para cada \( p \) y creé una hoja para
\( m=2,3,4,5 \) y luego una para un \( m \) que se puede ir variando...
Lo que se aprecia en este fichero excel (adjunto) es que (1) siempre es menor que cero, excepto para \( m=2 \).
Pero para \( m=2 \) ya habíamos visto:

En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier  \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.

En un primer vistazo, creo que no es dificil probar que para \( m>2 \), (1) es negativo.
Reviso las cuentas para subirlo luego...
Si tienes algun comentario, será como siempre muy bienvenido.
Muchas gracias!!!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Veamos. Tenemos:

\(  A=(2p+3^{2m-3}) \)

 Entonces:

\(  (3^{m-1}A)^2+4(3^2p^3-A^3)=3^{2m-2}(2p+3^{2m-3})^2+4(9p^3-(2p+3^{2m-3})^3) \)

 Como polinomio en \( p \) es un polinomio de grado tres. El coeficiente de \( p^3 \) en ese polinomio es:

\( 0+4(9p^3-8p^3)=4p^3 \)

 Por tanto para \( p \) suficientemente grande ese polinomio toma valores positivos.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
oops! Muchas gracias por la puntualización/corrección.
Saludos

[aureodd]

Hola el_manco,
teníamos el siguiente sistema

\(  \left\{ \begin{array}{c}q-r= 3^{m-1}(2p+3^{2m-3}) \\ qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \end{array}\right  \)

que nos lleva a la siguiente ecuación de segundo grado

Si llamo \( A=2p+3^{2m-3} \)
\( r^2+3^{m-1}Ar-(3^2p^3-A^3)=0 \)
Podemos buscar soluciones para la ecuación anterior de segundo grado para \( r \):
\( r = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{2a} \)
\( r = \dfrac{{-3^{m-1}A \pm \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
(en el mensaje original me faltaba un signo menos que he añadido ahora)

Y las dos soluciones que obtenemos son \( q \) y  \( r \).
Es decir:
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}A - \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
\( q= \dfrac{{-3^{m-1}A + \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
Luego uno de ellos tiene que ser negativo?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No. Tu estás pensando (creo) en sistemas del tipo:

\(  q+r=W,\qquad qr=U \)

 pero aquí tenemos:

\(  \color{red}q-r\color{black}=W,\qquad qr=U \)

 En particular si:

\( r= \dfrac{{-3^{m-1}A - \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

 entonces:

\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}A - \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

Saludos.

[aureodd]

Hola,
lo que quería decir es que uno de ellos ( \( q \) o \( r \)) tiene que ser negativo.
En el caso particular que indicas, ¿\( r \) es negativo?

En particular si:
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}A - \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Si, en el caso que puse \( r \) es negativo. Pero la otra solución es:

\( r= \dfrac{{-3^{m-1}A + \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

 entonces:

\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}A + \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

 Pueden ser entonces ambas positivas.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
conoces de alguna referencia donde se muestre la resolución de ecuaciones diofánticas de grado 2 del tipo \( ax^2+by^2=z^2 \)?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Mira por aquí por ejemplo:

http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
muchas gracias por el enlace, lo miró con detalle.
La pregunta estaba relacionada con la solución a la ec. de segundo grado en la que me había quedado:

\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}A + \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

y por tanto en intentar encontrar soluciónes a
\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)=T^2  \) para algún \( T>0 \)
Salvo errores en las cuentas creo que es equivalente a
\( (2p)^2p-(6p+t)^2t=T^2 \) con \( t=3^{2m-3} \)
y que se podría poner como
\( a^2p-b^2t=T^2 \) (*)
con \( a=2p \) y  \( b=6p+t \)
Si \( p \) no es múltiplo de \( 3 \) como habíamos visto ¿\( a \) y \( b \) son coprimos?
¿Crees que se podría aplicar aquí el th. de Legendre para demostrar que no hay soluciones?
Tenemos también que (*) es equivalente a
\( (a/T)^2p-(b/T)^2t=1  \) (**)
que es una ecuación diofántica de grado 1 con coeficientes racionales, luego las soluciones para \( p \) y \( t \) son racionales? En este caso bajo que condiciones \( T \) hace que (**) tenga soluciones enteras (si las tuviera)?
Muchas gracias!!
Saludos