[Luis Fuentes]

Hola

Siguiendo mi notación para intentar no perderme con los signos, teníamos
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)(1)
De aquí se puede deducir:
I) \( q-r<3^mp \)
Prueba:
Si ponemos \( q-r \geq 3^mp \)
se puede comprobar que la igualdad en (1) no puede darse (lado izquierdo de la igualdad mayor que el lado derecho), luego \( q-r<3^mp \)

No lo he comprobado  . Pero me lo creo. Digamos que de momento no me interesan demasiado las desigualdades, ya que salvo que cambies radicalmente los argumentos en que vas a basarte después son esencialmente relativos a la divisibilidad. Y esto no depende del signo.

II) \( q-r \equiv 0 \pmod 3 \)
Prueba:
Utilizando el PTF en (1)

Correcto.

Ahora quiero ver si \( q-r \equiv 0 \pmod p \)
De I) y II)
\( q-r =3^mp -3u  \) para algún \( u \) (2)
Como \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \), sustituimos en (1)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
y utilizando (2) nos queda
\( (3^mp-3u)^3+3qr(3^mp-3u)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
donde todos los términos son múltiplos de \( p \) excepto
\( -(3u)^3-3^2uqr=-3^2u(3u^2+qr) \)

Correcto.

Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\(  p|u \)?

¡No!. Puede ocurrir que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Y en ese caso \( u \) no lo sería.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,

Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\(  p|u \)?


¡No!. Puede ocurrir que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Y en ese caso \( u \) no lo sería.

totalmente de acuerdo. De hecho creo que si las cuentas son correctas, si \(  p|u \) se llega a una contradicción, luego necesariamente se tiene que dar que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Lo revisaré...
Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola el_manco,
parto de la ecuación a la que habíamos llegado en un post anterior (#69):
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
la voy a escribir (para clarificar la notación) utilizando \(  m=2 \)
Considero 2 casos:
I) \( (q-r)^3-3^{5}p^3 >0 \)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{5}p^3=2\cdot3^2pqr \)
\( (q-r)^3-3^{5}p^3=2\cdot3^2pqr-3qr(q-r)=3qr(2\cdot3p-(q-r)) \)
\( (q-r)^3-3^{5}p^3=3qr(2\cdot3p-(q-r)) \) (1)
Como \( q-r\equiv 0 \pmod 3 \) implica que el lado izquierdo de la ecuación anterior tienen que ser múltiplo de \( 3^3 \)
luego podemos poner
\( (q-r)^3-3^{5}p^3=3qr\cdot3^2k \) para algún \( k>0 \)
y
\( 2\cdot3p-3^2k=q-r \)
Entonces
\( (2\cdot3p-3^2k)^3-3^{5}p^3=3qr\cdot3^2k \)
\( (2p-3k)^3-3^{2}p^3=qrk \)
pero \( (2p-3k)^3<3^{2}p^3 \)
luego el lado izquierdo de la igualdad es negativo, por lo tanto este caso no puede darse.
II) \( 3^{5}p^3 - (q-r)^3>0 \)
escribimos (1) como
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr((q-r)-2\cdot3p) \)
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \) para algún \( k>0 \)
y
\( 2\cdot3p+3^2k=q-r \)
Entonces
\( 3^{5}p^3-(2\cdot3p+3^2k)^3=3qr\cdot3^2k \)
\( 3^{2}p^3-(2p+3k)^3=qrk \)
¿De aquí se puede deducir que \( k|p^3 \) ?
El resto es todo correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

\( 3^{2}p^3-(2p+3k)^3=qrk \)
¿De aquí se puede deducir que \( k|p^3 \) ?

Si. Si hacemos cuentas queda:

\( p^3=qrk+36p^2k+54pk^2+27k^3=k(qr+36p^2+54pk+72k^2) \)

El resto es todo correcto?

Si, creo que si. Aunque nota que en todo esto es indiferente el signo de \( k \). Es decir, una vez más no veo demasiado interesante pararse a analizar las desigualdades.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
analizando las desigualdades quería ver para que rango de valores se tiene que dar la igualdad inicial. Creo como dices que más allá de esto no tiene demasiada relevancia.
Entonces si \(  k|p^3  \) se puede deducir en
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \)
que \(  k|(q-r)^3  \) ?

Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces si \(  k|p^3  \) se puede deducir en
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \)
que \(  k|(q-r)^3  \) ?

Si, claro.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
volviendo a la ecuación
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)
donde \( p,q \) y \( r \) son coprimos, no múltiplos de \( 3 \).
Todos los términos son múltiplos de \( 3^m \) excepto \( q^3-r^3 \). Si consideramos que \( m\geq{3} \)
para que \( q^3-r^3 \) sea múltiplo de \( 3^m \), \( q \) tiene que se múltiplo de \( 3 \) (también \( r \) es múltiplo de \( 3 \)), y hemos supuesto que \( q \) no lo es. Es correcto?
Muchas gracias!!

Saludos



 

[Luis Fuentes]

Hola

volviendo a la ecuación
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)
donde \( p,q \) y \( r \) son coprimos, no múltiplos de \( 3 \).
Todos los términos son múltiplos de \( 3^m \) excepto \( q^3-r^3 \). Si consideramos que \( m\geq{3} \)
para que \( q^3-r^3 \) sea múltiplo de \( 3^m \), \( q \) tiene que se múltiplo de \( 3 \) (también \( r \) es múltiplo de \( 3 \)), y hemos supuesto que \( q \) no lo es. Es correcto?

No entiendo de todo la pregunta. Si \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( 3^m \) con \( m\geq 3 \).

- Sin más hipótesis no veo que pueda deducirse de ahí ni que \( q \) ni que \( r \) sean múltiplos de tres.
- Lo que si es cierto es que si uno de los dos es múltiplo de tres (\( q \) o \( r \)) el otro también lo es. Pero nuestras hipótesis entiendo que son que ninguno de los dos son múltiplos de tres.

Por tanto no veo que de esto se saque nada en limpio.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?
Podemos poner entonces
\( q^3-r^3=(3^{m-1}k+r)^3-r^3 \Rightarrow q^3-r^3 =(3^{m-1}k)^3+3qr\cdot3^{m-1}k= \)
\( =(3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k \)
que al sustituir en (1)
\( (3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow \)
\( 3^mqr(k-2p)=3^{3m-1}p^3-(3^{m-1}k)^3=3^{3m-1}p^3-3^{3m-3}k^3\Rightrrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}k^3=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3)\Rightarrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)
Ahora para que la igualdad anterior se cumpla, \( k-2p>0 \)
Si llamamos \(  k-2p=u \Rightarrow k=2p+u \)
sustituimos en (2)
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
Ahora para que el miembro derecho de la igualdad sea múltiplo de \( u \)
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) tiene que ser múltiplo de \( u \)?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?

Correcto.

Spoiler

Tenemos:

\( q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^m pqr=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)

Si \( 3^m \) divide a \( q^3-r^3 \), divide a \( (q-r)(q^2+qr+r^2) \). Dado que

\( (q-r)^2=(q^2+qr+r^2)-3qr \)

y \( q,r \) son coprimos con \( 3 \), se deduce que necesariamente la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( q^2+qr+r^2 \) es \( 3^1 \) y así \( 3^{m-1} \) divide a \( q-r \).

[cerrar]

Podemos poner entonces
\( q^3-r^3=(3^{m-1}k+r)^3-r^3 \Rightarrow q^3-r^3 =(3^{m-1}k)^3+3qr\cdot3^{m-1}k= \)
\( =(3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k \)
que al sustituir en (1)
\( (3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow \)
\( 3^mqr(k-2p)=3^{3m-1}p^3-(3^{m-1}k)^3=3^{3m-1}p^3-3^{3m-3}k^3\Rightrrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}k^3=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3)\Rightarrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)

Correcto. Son cuentas y si no me he equivocado al revisarlas están bien hechas.

Ahora para que la igualdad anterior se cumpla, \( k-2p>0 \)

No veo porqué. ¿No podrían ser los dos términos negativos?. Sea como sea, en principio es intrascendente para lo que sigues haciendo. Solo te preocupas de la divisibilidad por \( u \) y eso es independiente del signo que tome.

Si llamamos \(  k-2p=u \Rightarrow k=2p+u \)
sustituimos en (2)
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
Ahora para que el miembro derecho de la igualdad sea múltiplo de \( u \)
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) tiene que ser múltiplo de \( u \)?

Correcto. Ya que tendríamos:

\( qru=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}(2p)^3-u(3^{2m-2}\cdot (2p)^2+3^{2m-2}\ccdot (2p)\cdot u+3^{2m-3}u^2) \)

Saludos.