[aureodd]

Hola. Ya he visto el error, he supuesto que \( 2p_2-P_2 >0 \)
cuando por la prop 8  \( P_2-2p_2>0 \)

Prop 8. En \(  3^{2m-3}p_1^2(3^2p_2^3 - P_2^3) =(P_2 -2p_2 ) qr  \) se tiene que dar que \( P_2-2p_2>0 \). Además \( 3^2p_2^3 - P_2^3 \) tiene que tener el mismo signo que \( P_2-2p_2 \), por lo tanto \( 3^2p_2^3 - P_2^3>0 \)

Algunas cuentas:
Elevando al cubo la igualdad de la Prop 5.1
\( (2p_2-P_2)^3=(3^{2m-3}p_1^2)^3 \)
y sumamos a ambos miembros el resultado de la prop 4.1
\( (2p_2-P_2)^3+ P_2^3-3^2p_2^3=(3^{2m-3}p_1^2)^3+qr \Longrightarrow{} \)
\( \left[8p_2^3-3(2p_2)^2P_2+3\cdot2p_2P_2^2-P_2^3\right] + P_2^3-3^2p_2^3=(3^{2m-3}p_1^2)^3+qr \Longrightarrow{} \)
\( -p_2^3-3(2p_2)^2P_2+3\cdot2p_2P_2^2=(3^{2m-3}p_1^2)^3+qr \Longrightarrow{} \)
II) \( -p_2^3-3\cdot2p_2P_2(2p_2-P_2)=(3^{2m-3}p_1^2)^3+qr  \)
Como \( 2p_2-P_2 >0 \) <<<<<< error
en II) tenemos que el lado izquierdo de la igualdad es negativo y el derecho es positivo.

¿Hay algo erróneo en las cuentas? ¿Qué los signos de la igualdad anterior sean distintos es una contradicción?

Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. Ya he visto el error, he supuesto que \( 2p_2-P_2 >0 \)
cuando por la prop 8  \( P_2-2p_2>0 \)

Prop 8. En \(  3^{2m-3}p_1^2(3^2p_2^3 - P_2^3) =(P_2 -2p_2 ) qr  \) se tiene que dar que \( P_2-2p_2>0 \). Además \( 3^2p_2^3 - P_2^3 \) tiene que tener el mismo signo que \( P_2-2p_2 \), por lo tanto \( 3^2p_2^3 - P_2^3>0 \)

Algunas cuentas:
Elevando al cubo la igualdad de la Prop 5.1
\( (2p_2-P_2)^3=(3^{2m-3}p_1^2)^3 \)
y sumamos a ambos miembros el resultado de la prop 4.1
\( (2p_2-P_2)^3+ P_2^3-3^2p_2^3=(3^{2m-3}p_1^2)^3+qr \Longrightarrow{} \)
\( \left[8p_2^3-3(2p_2)^2P_2+3\cdot2p_2P_2^2-P_2^3\right] + P_2^3-3^2p_2^3=(3^{2m-3}p_1^2)^3+qr \Longrightarrow{} \)
\( -p_2^3-3(2p_2)^2P_2+3\cdot2p_2P_2^2=(3^{2m-3}p_1^2)^3+qr \Longrightarrow{} \)
II) \( -p_2^3-3\cdot2p_2P_2(2p_2-P_2)=(3^{2m-3}p_1^2)^3+qr  \)
Como \( 2p_2-P_2 >0 \) <<<<<< error
en II) tenemos que el lado izquierdo de la igualdad es negativo y el derecho es positivo.

¿Hay algo erróneo en las cuentas? ¿Qué los signos de la igualdad anterior sean distintos es una contradicción?

Me iba a poner ahora. ¿Todo aclarado entonces?.

Saludos.

[aureodd]

Me iba a poner ahora. ¿Todo aclarado entonces?.

Saludos.

Sí sí, muchas gracias Luis!
Saludos

[aureodd]

Hola. Añado las citas y prop utilizadas hasta ahora y solo aquellas que voy a necesitar para las nuevas proposiciones. He puesto todas las pruebas como spoiler para facilitar la lectura. 

. . .

Hola.
Voy a reagrupar, revisar y rescribir los resultados que hemos ido obteniendo hasta ahora, teniendo en cuenta que todas las variables utilizadas \( \in{N} \):
. . .
Podemos poner \( 3^{m-1}P=(q-r) \) y
\( q^3 - (3^{m-1}P)^3-r^3=3\cdot 3^{m-1}Pqr=3^{m}Pqr \) con \( P \in \mathbb{N} \)

Tenemos entonces
V) \( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow{} q^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3  \)
y
VI) \( q^3-3^{3m-3}P^3-r^3=3^{m}Pqr \Rightarrow{ } q^3-r^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3   \)
por lo tanto
\( 2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3\Rightarrow{ } \)

\(  3^{3m-1}p^3 - 3^{3m-3}P^3 =3^{m}Pqr -2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow{} \)

VII) \(  3^{2m-3}(3^2p^3 - P^3) =(P -2p ) qr  \)

Teniéndose que dar la igualdad anterior en VII)
\(  3^{2m-3}(3^2p^3-P^3) =(P -2p ) qr  \)
hacemos las siguientes proposiciones:

Prop1. Si \( \dfrac{P-2p}{3^{2m-3}}=\dfrac{3^2p^3-P^3}{qr}=a \) entonces \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \)

Spoiler

Prueba:
Si \( P-2p=3^{2m-3}a \)
\( P^3=(2p+3^{2m-3}a)^3\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p)^3+aK \) (I)
con \( K \) igual al desarrollo que falta.
También tenemos \( 3^2p^3-P^3=aqr \) (II)
Sustituyendo el valor anterior de \( P^3 \) en (I)
\( 3^2p^3-aqr=(2p)^3+aK\Rightarrow{} \)
\( 3^2p^3-(2p)^3=a(K+qr)\Rightarrow{} \)
\( p^3=a(K+qr) \)
entonces \( p^3 \) es múltiplo de \( a \) y en (II) \( P^3 \) también es múltiplo de \( a \)

[cerrar]

Prop2.
Si \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \) entonces \( p \) y \( P \) tienen algún factor común con \( a \).

Spoiler

Prueba:
Si \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \) podemos elegir algún \( p_1 \) en \( p^3=p_1.p_2 \), algún \( P_1 \) en \( P^3=P_1.P_2 \) y algún \( a_1 \) en \( a=a_1.a_2 \) de modo que
\( a_1=p_1=P_1 \) y distintos de \( 1 \)

[cerrar]

Prop3. \( a=p_1^3 \), con \( p=p_1.p_2 \) y \( p_2 \) coprimo con \( a \).

Spoiler

Prueba:
Haciendo el desarrollo completo que tenemos en la Prop1
\( P-2p=3^{2m-3}a\Rightarrow{} \)
\( P=2p+3^{2m-3}a\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p+3^{2m-3}a)^3\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p)^3+3.(2p)^2.3^{2m-3}a+3.2p.(3^{2m-3}a)^2+(3^{2m-3}a)^3 \) (III)

También \( P^3-3^2p^3=aqr\Rightarrow{} \)
\( P^3=3^2p^3+aqr\Rightarrow{} \) sustituyendo en (III)
\( 3^2p^3+aqr=(2p)^3+3.(2p)^2.3^{2m-3}a+3.2p.(3^{2m-3}a)^2+(3^{2m-3}a)^3\Rightarrow{} \)

\( p^3=3.(2p)^2.3^{2m-3}a+3.2p.(3^{2m-3}a)^2+(3^{2m-3}a)^3-qra \)

\( \dfrac{p^3}{a}=3.(2p)^2.3^{2m-3}+3.2p.(3^{2m-3})^2.a+(3^{2m-3})^3.a^2-qr \) (IV)

Por la Prop2, si consideramos que el factor común o producto de factores comunes de \( a  \) y \( p \) es \( p_1 \)
y tomamos que \( p=p_1.p_2 \)

Ya que \( p_1|a \) y \( a|p^3 \)
entonces se tiene que dar \( a=p_1^3 \) y \( \dfrac{p^3}{a}=p_2^3 \)
De otro modo tendríamos que \( \dfrac{p^3}{a} \) es múltiplo de \( p_1 \)
y en (IV)
\( \dfrac{p^3}{a}=3.(2p)^2.3^{2m-3}+3.2p.(3^{2m-3})^2.a+(3^{2m-3})^3.a^2-qr
 \)
todos los términos serían múltiplos de \( p_1  \) excepto \( qr \). (Contradicción)
Por lo tanto
\( p_2^3=3.(2p)^2.3^{2m-3}+3.2p.(3^{2m-3})^2.a+(3^{2m-3})^3.a^2-qr \)

Si \( p_2  \) y \( a \) tienen algún factor común entonces, todos los sumandos tendrían algún factor común entre ellos excepto \( qr \).
Por lo que  \( p_2  \) y \( a \) tienen que ser coprimos.

[cerrar]

Prop4.
Si tomamos \(  P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \)  entonces \(  3^2p_2^3-P_2^3=qr \)

Spoiler

Prueba:
Sustituyendo los valores de \( a \) y \( p \)  que teníamos en la prop3
\( a=p_1^3 \), con \( p=p_1.p_2 \)

en la ecuación que teníamos en la prop1
\( \dfrac{3^2p^3-P_2^3}{qr}=a \)

Nos queda
\( \dfrac{(3^2(p_1p_2)^3-p_1P_2)^3}{qr}=p_1^3\Rightarrow{} \)

\(  3^2p_2^3-P_2^3=qr \)

[cerrar]

Prop5.
\( P_2-2p_2=3^{2m-3}p_1^2 \)

Spoiler

Prueba.
Inmediato de la prop1, prop3 y prop4
\( \blacksquare \)

[cerrar]

Prop6.
\( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( 3^mp_1p_2P_2 \)
luego lo podemos escribir como
\( q^3-r^3=3^mp_1p_2P_2k \) para algún \( k \) positivo.

Spoiler

Prueba.
Inmediato de V) y VI)

V) \( q^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3  \)
y
VI) \( q^3-r^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3   \)
\( \blacksquare \)

[cerrar]

Prop 7. \(  3^{2m-3}p_1^2(3^2p_2^3 - P_2^3) =(P_2 -2p_2 ) qr  \)

Spoiler

Prueba.
Simplemente es sustituir los valores de \(  P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \) que tenemos en la prop4 en VII)
queda
\(  3^{2m-3}p_1^2(3^2p_2^3 - P_2^3) =(P_2 -2p_2 ) qr  \)
\( \blacksquare \)

[cerrar]

Luis, hasta aquí, creo que todo lo habías revisado y estabas de acuerdo.
Lo nuevo:

Prop 10 En la expresión  \( q^3-r^3=3^mp_1p_2P_2k \) de la prop 6, el valor de \( k \) es \( k=3^2p_2^2-2P_2^2 \)

Spoiler

Prueba.
Tenemos en VI) \( q^3-r^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3   \)
sustituyendo el valor de \( q^3-r^3 \)
nos queda
\( 3^mp_1p_2P_2k=3^{m}p1P_2qr + 3^{3m-3}(p_1P_2)^3   \)

dividiendo por \( 3^mp_1P_2 \)
\( p_2k=qr + 3^{2m-3}(p_1P_2)^2   \)

susituimos el valor de \( 3^{2m-3}p_1^2 \) de la prop5 \( P_2-2p_2=3^{2m-3}p_1^2 \) y el valor de \( qr \) de la prop4 \( 3^2p_2^3 -P_2^3=qr \)

\( p_2k=3^2p_2^3 -P_2^3+ (P_2-2p_2 )P_2^2\Rightarrow{ } \)
\( p_2k=3^2p_2^3 -P_2^3+ P_2^3-2p_2P_2^2\Rightarrow{ } \)

\( k=3^2p_2^2-2P_2^2 \)

\( \blacksquare \)

[cerrar]

Prop 12 \(  P_2  \) y \( p_2 \) son coprimos. 
Prueba.
Inmediato de la prop 4
\(  3^2p_2^3-P_2^3=qr \)
Como  \( p=p_1p_2  \), si \(  P_2  \) y \( p_2 \) tuvieran algún factor común, lo tendrían con \( qr \) contradiciendo que \( q,r  \) y \( p \) son coprimos 
\( \blacksquare \)

Prop 13 \(  (q+r)^2=3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)+(3^2p_2^3-P_2^3) \)
Prueba.
En la prop10 tenemos
\( q^3-r^3=3^mp_1p_2P_2(3^2p_2^2-2P_2^2) \)
como  \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \) y teníamos que \( 3^{m-1}p_1P_2=(q-r) \)
entonces \( (q^2+qr+r^2)=3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2) \)

Como \( (q^2+qr+r^2)=(q+r)^2-qr \)
y en la prop4 \(  3^2p_2^3-P_2^3=qr \)
entonces
\( 3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)=(q+r)^2-(3^2p_2^3-P_2^3) \)
luego
\(  (q+r)^2=3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)+(3^2p_2^3-P_2^3) \)
\( \blacksquare \)

Prop 14 \(  (q+r)^2=(3^{m-1}p_1P_2)^2+4(3^2p_2^3-P_2^3) \)
Prueba.
Como \( (q+r)^2 = (q-r)^2 + 4qr \)
y teníamos
\( 3^{m-1}p_1P_2=(q-r) \)
y en la prop4, \(  3^2p_2^3-P_2^3=qr \)
entonces \(  (q+r)^2= (3^{m-1}p_1P_2)^2+4(3^2p_2^3-P_2^3) \)
\( \blacksquare \)

Conclusión
Ninguna. Llegamos al mismo resultado que tenemos en la prop5
Haciendo el desarrollo de la siguiente igualdad
\( 3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)+(3^2p_2^3-P_2^3) = (3^{m-1}p_1P_2)^2+4(3^2p_2^3-P_2^3) \)
\( \Rightarrow{} \)
\( P_2-2p_2 = 3^{2m-3}p_1^2 \)

Prueba.
Si \(  (q+r)^2=3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)+(3p_2^3-P_2^3) \) (prop13)
y
\(  (q+r)^2=(3^{m-1}p_1P_2)^2+4(3^2p_2^3-P_2^3) \) (prop14)
\( \Rightarrow{} \)
\( 3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)+(3^2p_2^3-P_2^3) = (3^{m-1}p_1P_2)^2+4(3^2p_2^3-P_2^3)\Rightarrow{} \)
\( 3p_2\cdot3^2p_2^2-2\cdot3^2p_2P_2^2+3^2p_2^3-P_2^3 = 3^{2m-2}p_1^2P_2^2+4\cdot3^2p_2^3-4P_2^3\Rightarrow{} \)
\( (3^3+3^2-4\cdot3^2)p_2^3-2\cdot3p_2P_2^2 = 3^{2m-2}p_1^2P_2^2- (4-1)P_2^3 \Rightarrow{} \)
\( -2\cdot3p_2P_2^2 = 3^{2m-2}p_1^2P_2^2- 3P_2^3 \Rightarrow{} \)
dividiendo por \( 3P_2^2 \)
\( -2p_2 = 3^{2m-3}p_1^2- P_2 \)
\( \blacksquare \)
¡Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola. Ya he visto el error, me faltaba un cuadrado de 3 que he arrastrado en las prop13, prop14 y conclusión.
Ya que no afecta a ningún comentario posterior lo he corregido en el mismo mensaje anterior.
Todo aclarado
Muchas gracias Luis!
Saludos

[aureodd]

Hola.
Las siguientes proposiciones, 15, 16 y 17 no las utilizo para el resultado final (lo subiré...), pero han servido para acotar los valores de \( p_2  \) en función de \( P_2 \) y obtener soluciones para \( (q+r)^2 \) en la prop13.
Equivalente al resultado de la prop17, \(  3^2p_2^3>P_2^3 >2^3p_2^3 \Rightarrow{}  \)
\( \sqrt[3]{9}p_2>P_2 >2p_2 \approx{} 2.08p_2>P_2 >2p_2  \)

Prop 13 \(  (q+r)^2=3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)+(3^2p_2^3-P_2^3) \)
Prueba.
En la prop10 tenemos
\( q^3-r^3=3^mp_1p_2P_2(3^2p_2^2-2P_2^2) \)
como  \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \) y teníamos que \( 3^{m-1}p_1P_2=(q-r) \)
entonces \( (q^2+qr+r^2)=3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2) \)

Como \( (q^2+qr+r^2)=(q+r)^2-qr \)
y en la prop4 \(  3^2p_2^3-P_2^3=qr \)
entonces
\( 3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)=(q+r)^2-(3^2p_2^3-P_2^3) \)
luego
\(  (q+r)^2=3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)+(3^2p_2^3-P_2^3) \)
\( \blacksquare \)

Tabla con algunas soluciones:



Prop 15. En \(  3^{2m-3}p_1^2(3^2p_2^3 - P_2^3) =(P_2 -2p_2 ) qr  \) se tiene que dar que \( P_2-2p_2>0 \). Además \( 3^2p_2^3 - P_2^3 \) tiene que tener el mismo signo que \( P_2-2p_2 \), por lo tanto \( 3^2p_2^3 - P_2^3>0 \)
Prueba.
Si \(  P_2-2p_2 <0  \)  se tendría que dar también que  \( 3^2p_2^3 - P_2^3 <0  \)
entonces si   \(  P_2-2p_2 <0 \Rightarrow{} P_2 < 2p_2 \Rightarrow{}  P_2^3 < 2^3p_2^3 \Rightarrow{}-P_2^3 > -2^3p_2^3 \Rightarrow{} 3^2p_2^3-P_2^3 >  3^2p_2^3-2^3p_2^3  =  p_2^3 >0 \) que contradice que \( 3^2p_2^3-2^3p_2^3  =  p_2^3 < 0 \)

Prop 16. Si \(  P_2-2p_2 >0  \) entonces \(  P_2^3>2^3p_2^3 \)
Prueba.
Inmediato
Si \(  P_2-2p_2 >0 \Rightarrow{} P_2>2p_2\Rightarrow{} P_2^3>2^3p_2^3  \)
\( \blacksquare \)

Prop 17. \(  3^2p_2^3>P_2^3 >2^3p_2^3  \)
Prueba.
Inmediato de
Prop 15: \( 3^2p_2^3 - P_2^3>0 \)
y
Prop 16: \(  P_2^3>2^3p_2^3 \)
\( \blacksquare \)

Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola.
Tenemos

Prop 13 \(  (q+r)^2=3p_2(3^2p_2^2-2P_2^2)+(3^2p_2^3-P_2^3) \)

equivalente a
\(  z^2=36x^3-6xy^2-y^3 \)
\( (q+r)=z \)
\( p_2=x \)
\( P_2=y \)
Sabiendo que hay soluciones enteras positivas ¿Qué método podemos utilizar para encontrar todas las soluciones?
Las que he ajuntado en la imagen del mensaje anterior contradicen proposiciones o resultados de este hilo.
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Sabiendo que hay soluciones enteras positivas ¿Qué método podemos utilizar para encontrar todas las soluciones?
Las que he ajuntado en la imagen del mensaje anterior contradicen proposiciones o resultados de este hilo.

Pues es una ecuación diofántica en tres variables de grado \( 3 \) (como \( a^3=b^3+c^3 \)). La teoría moderna estudia esas ecuaciones en el contexto de las curvas elípticas; y en general no es fácil resolverlas por completo.

Saludos.

[aureodd]

Hola

Sabiendo que hay soluciones enteras positivas ¿Qué método podemos utilizar para encontrar todas las soluciones?
Las que he ajuntado en la imagen del mensaje anterior contradicen proposiciones o resultados de este hilo.

Pues es una ecuación diofántica en tres variables de grado \( 3 \) (como \( a^3=b^3+c^3 \)). La teoría moderna estudia esas ecuaciones en el contexto de las curvas elípticas; y en general no es fácil resolverlas por completo.

Saludos.

Muchas gracias Luis! Aunque \( z \) sea de grado \( 2 \), ¿su resolución se engloba dentro de las ecuaciones diofánticas de grado \( 3 \)?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias Luis! Aunque \( z \) sea de grado \( 2 \), ¿su resolución se engloba dentro de las ecuaciones diofánticas de grado \( 3 \)?

Si. Mandan los términos de mayor grado.

Saludos.