Hola.
Voy a reagrupar, revisar y rescribir los resultados que hemos ido obteniendo hasta ahora, teniendo en cuenta que todas las variables utilizadas \( \in{N} \):
Hola.
Voy a utilizar los comentarios adjuntos donde mantenemos que todos las variables son positivas y que será necesario para el resultado final.
Hola,
El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.
Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:
I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)
III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
Y este último es el que utilizado en los desarrollos de los post anteriores con \( p,q,r \) positivos.
En el documento para \( n=3 \) en el enlace http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
Nota: El enlace anterior está roto. Lo subí al foro como adjunto
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=29191.0;attach=14840
Hola el_manco,
el doc adjunto que utilicé para \( n=3 \) (faltaría incluir según apuntaste \( m\equiv 2 \pmod 3 \) y no sólo para \( m=2 \) como está actualmente) es una adaptación del doc para el caso general donde se cumple:
\( n(x+y)(x+z)M=b^n \)
donde uno de ellos tiene que ser múltiplo de \( n \) luego se puede poner
\( x+y=q^n \)
\( x+z=r^n \)
y
\( M=n^{m-1}p^n \) con \( m\equiv 0\pmod n \)
Entonces \( b=npqr \)
En definitiva son los mismos resultados que tienes en tu desarrollo en 4), 5) y 6) y que el nuevo factor que indicas queda dentro de \( M \).
Espero como siempre tus comentarios.
Muchas gracias!
Saludos
se puede seguir la línea del desarrollo pero modificando según comentaste:
Allí el término \( 3pqr \) pasaría a \( 3^{\frac{2m+1}{3}} \) y el término \( 3^2p^3 \) pasaría a \( 3^{2m}p^3 \).
Esto hace desaparecer la contradicción con la que concluye la prueba del Lema 6.
Es equivalente a III) haciendo el cambio de variable \( \frac{2m+1}{3}=j \Rightarrow 3j-1=2m \)
. . .
También estamos utilizando solo el caso particular donde \( x-z=3^{3m-1}p^3 \)
. . .
Sabíamos que uno de los términos \( x-z \), \( x-y \) o \( y+z \) es múltiplo de \( 3 \)
Voy a utilizar la ecuación III), caso particular \( x-z=3^{3m-1}p^3 \)
III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr\Rightarrow{} \)
IV) \( \boxed{q^3 - 3^{3m-1}p^3- r^3=2\cdot3^{m}pqr} \)
...
Entonces tenemos
\( q^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr-3^{3m-1}p^3\Rightarrow{} \)
\( q^3-r^3=3^{m}(2pqr-3^{2m-1}p^3) \)
Si \( q^3-r^3 \equiv{0 \pmod 3}\Rightarrow{}q-r \equiv{0 \pmod 3} \)
Como \( q^3 -r^3 =(q-r)(q^2+qr+r^2) \), y sabemos que \( q^2+qr+r^2 \) solo puede ser múltiplo de \( 3 \)
entonces \( q-r \) tiene que ser múltiplo de \( 3^{m-1} \)
Podemos poner \( 3^{m-1}P=(q-r) \) y
\( q^3 - (3^{m-1}P)^3-r^3=3\cdot 3^{m-1}Pqr=3^{m}Pqr \) con \( P \in \mathbb{N} \)
Tenemos entonces
V) \( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow{} q^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3 \)
y
VI) \( q^3-3^{3m-3}P^3-r^3=3^{m}Pqr \Rightarrow{ } q^3-r^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3 \)
por lo tanto
\( 2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3\Rightarrow{ } \)
\( 3^{3m-1}p^3 - 3^{3m-3}P^3 =3^{m}Pqr -2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow{} \)
VII) \( 3^{2m-3}(3^2p^3 - P^3) =(P -2p ) qr \)
Prop 13. En VII) \( 3^{2m-3}(3^2p^3 - P^3) =(P -2p ) qr \) se tiene que dar que \( P-2p>0 \). Además \( 3^2p^3 - P^3 \) tiene que tener el mismo signo que \( P-2p \), por lo tanto \( 3^2p^3 - P^3>0 \)
Prueba.
Si \( P-2p <0 \) se tendría que dar también que \( 3^2p^3 - P^3 <0 \)
entonces si \( P-2p <0 \Rightarrow{} P < 2p \Rightarrow{} P^3 < 2^3p^3 \Rightarrow{}-P^3 > -2^3p^3 \Rightarrow{} 3^2p^3-P^3 > 3^2p^3-2^3p^3 = p^3 >0 \) que contradice que \( 3^2p^3-2^3p^3 = p^3 < 0 \)
\( \blacksquare \)
Vamos a reescribir las siguientes proposiciones utilizando que todas las variables son números enteros positivos.
Teníamos
Prop1.
Si \( \dfrac{P-2p}{3^\frac{2m-7}{3}}=\dfrac{P^3-3^2p^3}{qr}=a \) entonces \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \)
De VII) tenemos \( 3^{2m-3}(3^2p^3 - P^3) =(P -2p ) qr \)
\( \dfrac{3^2p^3 - P^3}{qr}=\dfrac{P -2p }{ 3^{2m-3}} \)
podemos reformular entonces:
Prop1. Si \( \dfrac{3^2p^3 - P^3}{qr}=\dfrac{P -2p }{ 3^{2m-3}} =a \) entonces \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \)
Creo que la demostración es al misma que la Prop 1 antigua sin verse alterada por el cambio de variables-notación.
Las proposiciones 2 y 3 no cambian nada.
Prop2.
Si \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \) entonces \( p \) y \( P \) tienen algún factor común con \( a \).
Prop3. \( a=p_1^3 \), con \( p=p_1.p_2 \) y \( p_2 \) coprimo con \( a \).
Y esta proposición 4
Prop4.
Si tomamos \( P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \) entonces \( P_2^3-3^2p_2^3=qr \)
la reescribimos como
Prop4.
Si tomamos \( P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \) entonces \( 3^2p_2^3 -P_2^3=qr \)
Ahora vamos a necesitar de las siguiente proposiciones:
Prop5.
\( P_2-2p_2=3^{2m-3}p_1^2 \)
Prueba.
Inmediato de la prop1, prop3 y prop4
\( \blacksquare \)
Prop6.
\( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( 3^mp_1p_2P_2 \)
luego lo podemos escribir como
\( q^3-r^3=3^mp_1p_2P_2k \) para algún \( k \) positivo.
Prueba.
Inmediato de V) y VI)
V) \( q^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3 \)
y
VI) \( q^3-r^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3 \)
\( \blacksquare \)
Si hasta aquí está todo bien:
Prop7.
Si \( q^3-r^3=3^mp_1p_2P_2k \) para algún \( k \) positivo entonces la siguiente igual no puede darse para números enteros positivos.
\( k(P_2-p_2)+(P_2-2p_2)(P_2^2-3^2p_2^2)=3^2p_2^3-P_2^3 \)
Prueba.
De V) y VI) tenemos
V) \( q^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3 \)
y
VI) \( q^3-r^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3 \)
y por la Prop6
\( q^3-r^3=3^mp_1p_2P_2k \)
Susituyendo los valores de \( p \) y \( P \) que teníamos en la prop4, \( P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \) entonces V) y VI) nos quedan:
V) \( 3^mp_1p_2P_2k=2\cdot 3^{m}p_1p_2qr + 3^{3m-1}(p_1p_2)^3 \)
y
VI) \( 3^mp_1p_2P_2k=3^{m}p1P_2qr + 3^{3m-3}(p_1P_2)^3 \)
y dividiendo V) por \( 3^mp_1p_2 \) y VI) por \( 3^mp_1P_2 \)
V) \( P_2k=2qr + 3^{2m-1}(p_1p_2)^2 \)
y
VI) \( p_2k=qr + 3^{2m-3}(p_1P_2)^2 \)
\( \Rightarrow{} \)
\( k(P_2-p_2)+3^{2m-3}p_1^2 (P_2^2-3^2p_2^2)=qr \)
por la prop5.
\( k(P_2-p_2)+(P_2-2p_2)(P_2^2-3^2p_2^2)=qr \)
y por la prop4.
VIII) \( k(P_2-p_2)+ (P_2-2p_2)(P_2^2-3^2p_2^2)=3^2p_2^3 -P_2^3 \)
Ahora por la prop13, \( P-2p>0 \Rightarrow{} P_2-2p_2> 0 \Rightarrow{} P_2 - p_2 >0 \)
entonces en VIII) \( P_2^2-3^2p_2^2 \) y \( 3^2p_2^3 -P_2^3 \) tienen que tener el mismo signo. Como en la prop 13 \( 3^2p_2^3 -P_2^3>0 \) entonces \( P_2^2-3^2p_2^2 >0 \)
Entonces, si \( P_2^2-3^2p_2^2 >0 \Rightarrow{}P_2^3-3^2p_2^2P_2 >0 \Rightarrow{}P_2^3>3^2p_2^2P_2 \), además \( 3^2p_2^2P_2 > 3^2p_2^3 \)
hasta aquí tenemos entonces que
IX) \( P_2^3>3^2p_2^2P_2 > 3^2p_2^3 \)
como \( 3^2p_2^3 -P_2^3 \) tiene que ser \( >0 \) entonces \( 3^2p_2^3 > P_2^3 \), añadiéndolo a IX)
\( P_2^3>3^2p_2^2P_2 > 3^2p_2^3 > P_2^3 \Rightarrow{} \)
\( P_2^3>P_2^3 \)
Pero esta desigualdad no puede darse para números enteros positivos.
\( \blacksquare \)
¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
