Hola.
Un paréntesis...
Tenemos
\( x^3=y^3+z^3 \)
y queremos ver si tiene soluciones enteras, y puedo soponer que \( x \), \( y \) & \( z \) todos son positivos.
Puedo suponer también que \( x>y>z \)
Vamos a ver tres casos:
1) \( y+z <x \)
Este caso no puede darse.
Prueba.
si \( y+z <x \) podemos encontrar un \( a>0 \) de modo que \( y+z+a=x \)
entonces
\( (y+z+a)^3=x^3\Rightarrow{} \)
\( y^3+z^3+A=x^3 \) (I)
con \( A=(y+z+a)^3-y^3-z^3 \) y \( A>0 \)
si \( x^3=y^3+z^3 \) sustituyendo en (I)
\( x^3+A=x^3\Rightarrow{} A=0 \) contradiciendo que \( A>0 \)
\( \blacksquare \)
2) \( y+z=x \)
Este caso tampoco puede darse.
Prueba.
Si \( y+z=x \) lo sustituimos en
\( y^3+z^3=x^3 \)
\( y^3+z^3=(y+z)^3 \) esto contradice la igualdad ya que el lado derecho es mayor que el izquierdo para \( z \) e \( y \) positivos.
\( \blacksquare \)
3) \( y+z>x \)
Este caso tampoco puede darse.
Antes de la prueba:
3.1) Si \( y+z>x \) podemos encontrar un \( a>0 \) de modo que \( y+z=x+a \)
Prop1 \( a<z<y<x \)
Prueba
\( y+z=x+a \Rightarrow{} x+y=x+a \Rightarrow{} z=x-y+a \)
como \( x-y>0 \) entonces \( z>a \)
\( \blacksquare \)
Prop2 \( y+z>a \)
Prueba.
De \( a+x=y+z \)
\( \blacksquare \)
Prueba del caso 3)
Si \( y+z=x+a \Rightarrow{} x=y+z-a \)
Sustituyendo en \( x^3=y^3+z^3 \Rightarrow{} \)
\( ((y+z)-a)^3=y^3+z^3 \Rightarrow{} \)
\( (y+z)^3-3(y+z)^2a+3(y+z)a^2-a^3=y^3+z^3 \Rightarrow{} \)
\( [y^3+3y^2z+3yz^2+z^3]-3(y+z)^2a+3(y+z)a^2-a^3=y^3+z^3 \Rightarrow{} \)
\( [\cancel{y^3}+3yz(y+z)+\cancel{z^3}]-3(y+z)^2a+3(y+z)a^2-a^3=\cancel{y^3}+\cancel{z^3} \Rightarrow{} \)
\( 3yz(y+z)-3(y+z)^2a+3(y+z)a^2-a^3=0 \Rightarrow{} \)
pero la parte izquierda de la igualdad es \( >0 \):
i) \( 3(y+z)a^2-a^3 >0 \) ya que \( y+z>a \) por la prop2
también
ii) \( 3yz(y+z)-3(y+z)^2a>0 \) ya que \( yz>y+z>a \) (Nota: \( yz=y+z \) solo si \( y=z=2 \), contradiciendo la coprimalidad entre \( y \) y \( z \))
Luego el caso 3) no puede darse.
\( \blacksquare \)
¿Es correcto?
Seguro que se me escapa algo
, como siempre
Muchas gracias!
Saludos
